第8題 積事件與相互獨(dú)立事件的概率（原卷）

第8題積事件與相互獨(dú)立事件的概率一、原題呈現(xiàn)【原題】有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則（）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【解析】由題意可得故選B.【就題論題】本題涉及相互獨(dú)立事件的判斷,同學(xué)們習(xí)慣根據(jù)相互獨(dú)立立事件的概率計(jì)算公式,求相互獨(dú)立立事件的概率,本題反過來(lái)利用概率計(jì)算的結(jié)果判斷事件是否相互獨(dú)立,高考全國(guó)卷選擇題中首次考查此類問題,故該題背景新穎,但思路不難想到,與第7題相比較,該題難度略低于第7題.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查用概率判斷相互獨(dú)立事件,考查數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.【考情分析】概率與統(tǒng)計(jì)是高考重點(diǎn),該模塊涉及知識(shí)點(diǎn)比較多,高考命題沒有固定的熱點(diǎn),一般情況下會(huì)有2道客觀題,一道解答題.【得分秘籍】(1)“獨(dú)立”與“互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型)．兩事件相互獨(dú)立通常不互斥,兩事件互斥通常不獨(dú)立．若事件A,B互斥,則,若事件A,B不互斥,則,若事件A,B相互獨(dú)立,則(2)理解事件中常見詞語(yǔ)的含義：=1\*GB3①A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B；=2\*GB3②A,B都發(fā)生的事件為AB；=3\*GB3③A,B都不發(fā)生的事件為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；=4\*GB3④A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；=5\*GB3⑤A,B至多一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).(3)條件概率的求法解決條件概率問題的步驟：第一步,判斷是否為條件概率,若題目中出現(xiàn)“在……條件下”“在……前提下”等字眼,一般為條件概率．題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼,但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí),也需注意是否為條件概率．若為條件概率,則進(jìn)行第二步：計(jì)算概率,這里有兩種思路．思路一：縮減樣本空間法計(jì)算條件概率．如求P(A|B),可分別求出事件B,AB包含的基本事件的個(gè)數(shù),再利用公式P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)計(jì)算．思路二：直接利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算條件概率,即先分別計(jì)算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)計(jì)算．為了求一些復(fù)雜事件的條件概率,往往可以先把它分解為兩個(gè)(或若干個(gè))互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)進(jìn)行計(jì)算,其中B,C互斥.(4)正確理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與相互獨(dú)立事件間的關(guān)系獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的、各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即要么發(fā)生、要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率都是一樣的.在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若Ai(i＝1,2,…,n)是第i次試驗(yàn)的結(jié)果,則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生k次的概率為(每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p)Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量X,其分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2,…,n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X～B(n,p).此時(shí)有.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此),就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣．一般地,有“恰好”等字眼的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單,就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣．(5)對(duì)于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件,準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次判斷事件是A＋B還是AB事件,確定事件至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解．【易錯(cuò)警示】混淆事件A+B與事件AB要弄清n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次p)n－k與Pk＝(1－p)k－1p的區(qū)別．(3)處理復(fù)雜事件的概率、分布列問題一般采取“大化小”的解決策略,即將“大”的分布列或期望問題化為“小”的隨機(jī)變量概率問題；再將“大”的概率問題化為“小”的獨(dú)立事件概率問題,一般是P(A＋B)＝P(A)＋P(B),P(A)＝1－P(),P(AB)＝P(A)P(B)這三個(gè)公式的聯(lián)用．注意分清每一個(gè)事件是由哪幾個(gè)基本事件構(gòu)成的,做到不重不漏．三、以例及類（以下所選試題均來(lái)自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021湖南省“五市十校教研教改共同體”高三下學(xué)期5月大聯(lián)考）有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8.在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是()A．0.72 B．0.8C．0.86 D．0.92．（2021山東省濟(jì)南市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),大約的人喜歡在網(wǎng)上購(gòu)買兒童玩具,其余的人則喜歡在實(shí)體店購(gòu)買兒童玩具.經(jīng)工商局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn),網(wǎng)上購(gòu)買的兒童玩具合格率為,而實(shí)體店里的兒童玩具的合格率為.現(xiàn)工商局12345電話接到一個(gè)關(guān)于兒童玩具不合格的投訴,則這個(gè)兒童玩具是在網(wǎng)上購(gòu)買的可能性是（）A． B． C． D．3．（2021江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三下學(xué)期高考全真模擬）人的眼皮單雙是由遺傳基因決定的,其中顯性基因記作,隱性基因記作.成對(duì)的基因中,只要出現(xiàn)了顯性基因,就一定是雙眼皮,也就是說,“雙眼皮”的充要條件是“基因?qū)κ?或”.人的卷舌與平舌(指是否能左右卷起來(lái))也是由一對(duì)基因?qū)Q定的,分別用,表示顯性基因?隱性基因,基因?qū)χ兄灰霈F(xiàn)了顯性基因,就一定是卷舌的生物學(xué)上已經(jīng)證明：控制不同性狀的基因遺傳時(shí)互不干擾,若有一對(duì)夫妻,兩人決定眼皮單雙和舌頭形態(tài)的基因都是,不考慮基因突變,那么他們的孩子是雙眼皮且卷舌的概率為（）A． B． C． D．4．（2021湖南省長(zhǎng)郡十五校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）十二生肖作為中國(guó)民俗文化的代表,是中國(guó)傳統(tǒng)文化的精髓,很多人把生肖作為春節(jié)的吉祥物,以此來(lái)表達(dá)對(duì)新年的祝福.某課外興趣小組制作了一個(gè)正十二面體模型（如圖）,并在十二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案,作為春節(jié)的吉祥物.2021年春節(jié)前,其中2個(gè)興趣小組成員將模型隨機(jī)拋出,希望能拋出牛的圖案朝上（即牛的圖案在最上面）,2人各拋一次,則恰好出現(xiàn)一次牛的圖案朝上的概率為（）A． B． C． D．5．（2021湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期三模）2020年1月,教育部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（簡(jiǎn)稱“強(qiáng)基計(jì)劃”）,明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為,那么三人中恰有兩人通過的概率為（）A． B． C． D．6．（2021河北省秦皇島市高三二模）某地病毒爆發(fā),全省支援,需要從我市某醫(yī)院某科室的名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)?名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派名男醫(yī)生和名女醫(yī)生,則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下,兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（）A． B． C． D．7．（2021河北省張家口市高三一模）某大學(xué)進(jìn)行“羽毛球”、“美術(shù)”、“音樂”三個(gè)社團(tuán)選拔．某同學(xué)經(jīng)過考核選拔通過該校的“羽毛球”“美術(shù)”、“音樂”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為,已知三個(gè)社團(tuán)中他恰好能進(jìn)入兩個(gè)的概率為,假設(shè)該同學(xué)經(jīng)過考核通過這三個(gè)社團(tuán)選拔成功與否相互獨(dú)立,則該同學(xué)一個(gè)社團(tuán)都不能進(jìn)入的概率為（）A． B． C． D．8．（2021廣東省汕頭市高三二模）交通事故已成為世界性的嚴(yán)重社會(huì)問題,加強(qiáng)中小學(xué)生交通安全教育具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.為此,某校舉行了一場(chǎng)交通安全知識(shí)競(jìng)賽,一共有3道難度相當(dāng)?shù)谋卮痤}目,李明同學(xué)答對(duì)每道題目的概率都是0.6,則李明同學(xué)至少答對(duì)2道題的概率是（）A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.9049．（2021福建省漳州市高三2月月考）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國(guó)傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動(dòng)中,對(duì)投壺的壺也有所改進(jìn),即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目,如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺,每一位參賽者各有四支箭,投入壺口一次得分.投入壺耳一次得分,現(xiàn)有甲?乙兩人進(jìn)行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨(dú)立的),甲四支箭已投完,共得分,乙投完支箭,目前只得分,乙投中壺口的概率為,投中壺耳的概率為.四支箭投完,以得分多者贏請(qǐng)問乙贏得這局比賽的概率為（）A． B． C． D．10．（2021河北省高三下學(xué)期仿真模擬）某迷宮有三個(gè)通道,進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即等可能）為你打開一個(gè)通道.若是號(hào)通道,則需要小時(shí)走出迷宮；若是號(hào)、號(hào)通道,則分別需要小時(shí)、小時(shí)返回智能門.再次到達(dá)智能門時(shí),系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道,直至走出迷宮為止.則你走出迷宮的時(shí)間超過小時(shí)的概率為（）A． B． C． D．11．（2021湖北省武漢市高三下學(xué)期五月供題）A同學(xué)和B同學(xué)參加某市青少年圍棋比賽并進(jìn)入決賽,決賽采取“3局2勝”制,若A同學(xué)每局獲勝的概率均為,且每局比賽相互獨(dú)立,則在A先勝一局的條件下,A最終能獲勝的概率是（）A． B． C． D．12．（2021湖南省高三下學(xué)期三模）在一次“概率”相關(guān)的研究性活動(dòng)中,老師在每個(gè)箱子中裝了10個(gè)小球,其中9個(gè)是白球,1個(gè)是黑球,用兩種方法讓同學(xué)們來(lái)摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一個(gè)小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個(gè)小球．將方法一、二至少能摸出一個(gè)黑球的概率分別記為和,則（）A． B． C． D．以上三種情況都有可能二、多選題13．（2021江蘇省淮安市高三下學(xué)期5月模擬）甲?乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽局,且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為,則（）A． B．C． D．的最大值為14．（2021湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三下學(xué)期月考）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球,給出下列4個(gè)結(jié)論,其中正確的有（）A．從中任取3球,恰有一個(gè)白球的概率是B．從中有放回的取球6次,每次任取一球,則取到紅球次數(shù)的方差為C．現(xiàn)從中不放回的取球2次,每次任取1球,則在第一次取到紅球后,第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到紅球的概率為15．（2021湖北省高三下學(xué)期4月調(diào)研）四張外觀相同的獎(jiǎng)券讓甲,乙,丙,丁四人各隨機(jī)抽取一,其中只有一張獎(jiǎng)券可以中獎(jiǎng),則（）A．四人中獎(jiǎng)概率與抽取順序無(wú)關(guān)B．在甲未中獎(jiǎng)的條件下,乙或丙中獎(jiǎng)的概率為C．事件甲或乙中獎(jiǎng)與事件丙或丁中獎(jiǎng)互斥D．事件甲中獎(jiǎng)與事件乙中獎(jiǎng)互相獨(dú)立三、填空題16．（2012廣東省部分學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考）三分損益法是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義,三分損一是指將原有長(zhǎng)度作3等分而減去其1份,即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度；而三分益一則是指將原有長(zhǎng)度作3等分而增添其1份,即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度,兩種方法可以交替運(yùn)用?連續(xù)運(yùn)用,各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生,假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長(zhǎng)度為243,每次損益的概率為,則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長(zhǎng)度為128的概率為___________.17．（2021湖北省恩施高中、龍泉中學(xué)、宜昌一中高三下學(xué)期4月聯(lián)考）已知紅箱內(nèi)有個(gè)紅球、個(gè)白球,白箱內(nèi)有個(gè)紅球、個(gè)白球,所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去,第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球,然后再放回去,依次類推,第次從與第次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球,然后再放回去．則第次取出的球是紅球的概率為___________．四、解答題18．（2021福建省廈門市高三5月二模）足球比賽中規(guī)定,若雙方在進(jìn)行了90分鐘激戰(zhàn)和加時(shí)賽仍然無(wú)法分出勝負(fù),則采取點(diǎn)球大戰(zhàn)的方式?jīng)Q定勝負(fù),點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下：兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員,雙方輪流踢,如果在踢滿5輪前,一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次時(shí)可能射中的球數(shù),則不需再踢,若5輪之后雙方進(jìn)球數(shù)相同,則繼續(xù)點(diǎn)球,直到出現(xiàn)某一輪結(jié)束時(shí),一方踢進(jìn)且另一方未踢進(jìn)時(shí)比賽結(jié)束,現(xiàn)有甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn),每支球隊(duì)每次點(diǎn)球進(jìn)球的概率均為,每輪點(diǎn)球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.（1）最少進(jìn)行幾輪比賽能分出勝負(fù)？并求相應(yīng)概率：（2）求至少進(jìn)行5輪比賽才能分出勝負(fù)的概率.19．（2021河北省邯鄲市高三三模）現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,經(jīng)常使用戰(zhàn)斗機(jī)攜帶空對(duì)空導(dǎo)彈攻擊對(duì)方戰(zhàn)機(jī),在實(shí)際演習(xí)中空對(duì)空導(dǎo)彈的命中率約為20%,由于飛行員的綜合素質(zhì)和經(jīng)驗(yàn)的不同,不同的飛行員使用空對(duì)空