相似三角形基本模型綜合基礎(chǔ)訓(xùn)練（四）

相似三角形基本模型綜合基礎(chǔ)訓(xùn)練（四）1．如圖，點(diǎn)，將線段平移得到線段，若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖過(guò)點(diǎn)C作軸垂線，垂足為點(diǎn)E，∵∴∵∴在和中，，∴，∴，則,∵點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，∴點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，3)，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(6，5)，選項(xiàng)D符合題意，故答案選D2．如圖，點(diǎn)是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，連結(jié)PD、PE，若，，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)AP的長(zhǎng)是（

）A．18 B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接DE，過(guò)D作于延長(zhǎng)至使連接QE，交AB于P，則此時(shí)最短，∵是的中位線，故選：B．3．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，若交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】解：∵在矩形中，∴AD∥BC，AD=BC，∴，∴，即：3EF=，延長(zhǎng)AE交DC得延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠HCE=90°，∵是的中點(diǎn)，∴BE=CE，又∵∠AEB=∠CEH，∴，∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴HF=2，∵3EF=，∴4EF=4，∴EF=1，故選C．4．如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點(diǎn)E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折疊得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF?BC414，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，∵S△ABCAC?BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S陰影部分DE?BG4．故選：D．5．如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別是射線，射線上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，∴．故選：B6．如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)H在AD上，且，點(diǎn)E繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，且，在AE的上方作正方形AEFG，則線段FH的最小值是______．【答案】【詳解】解：連接CA、AF、CH，在正方形ABCD和AEFG中，∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，∴，∠BAE=∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在以A為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)H最小，∴，∵AH=2，∴DH=6，在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，∴CH=10，∴FH=．故答案為：7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，連接AE，作BF⊥AE于F，作DG⊥AE于G，連接DF，若EF=1，AG=3，則線段DF的長(zhǎng)為__________．【答案】【詳解】解：過(guò)F作MH∥BC交AB于H，交DC于M，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=DC=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴HM∥BC，∴∠BHM=180°∠ABC=90°，∴∠BHM=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形BHMC為矩形，∴MC=HB，HM=BC，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB=∠DGA=90°，∵∠DAG+∠BAF=∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，在△BAF和△ADG中，，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF=AG=3，∵EF=1，∴BE=，設(shè)AB=x，∵∠EBF+∠BEF=∠BAE+∠BEF=90°，∴∠BAE=∠FBE，∠AEB=∠BEF，∴△ABE∽△BFE，∴，即，∴,,∴AF=AEEF=9，∵HF∥BE，∴∠HFB=∠FBE，∵∠BHF=∠EFB=90°，∴△HBF∽△FEB，∴，即，∴，∴DM=DCMC=，F(xiàn)M=HMHF=，∴DF=．故答案為：．8．如圖，矩形，E，F(xiàn)分別為中點(diǎn)，P，Q分別在線段上且，過(guò)點(diǎn)B作于H，連接，則線段的長(zhǎng)度最小值為___________．【答案】【詳解】解：連接EF交PQ于M，連接BM，取BM的中點(diǎn)O，連接OH，OD，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于N．∵四邊形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，∴四邊形ADFE是矩形，∴EF=AD=6，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴，∵PE=FQ，∴EM=MF，∴EM=2，F(xiàn)M=4，∵M(jìn)F∥ON∥BC，MO=OB，∴FN=CN=2，DN=DF+FN=6，，∴，∵BH⊥PQ，∴∠BHM=90°，∵OM=OB，∴，∵DH≥ODOH，∴DH≥，由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)O也是定點(diǎn)，當(dāng)O，H，D共線時(shí)，此時(shí)DH最小，∴DH的最小值為，故答案為：．9．如圖，E是正方形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AE的垂線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，連接AN，若，則△AMN的面積為_________．【答案】【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AD于G，∵正方形ABCD，∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9，∵AB=3DE，∴DE=3，∵NG⊥AD于G，∴四邊形ABNG是矩形，∴NG=AB=9，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE=，∵M(jìn)N垂直平分AE，∴∠AFM=90°，AF=AE=，∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°，∴△AFM∽△ADE，∴，即，∴AM=5，∴S△AMN=，故答案為：．10．如圖，在中，，，AD平分，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是__________．【答案】【詳解】解：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)G，連接DG，如下圖．∵在中，，，AD平分，∴點(diǎn)D到AB與點(diǎn)D到AC的距離相等，點(diǎn)A到BD與點(diǎn)A到DC的距離相等，∴，，∴，∴，∴．∵，AD平分，∴AD是BG的垂直平分線，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．11．如圖，將正方形ABCD的邊AB，BC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到線段，，連接交CD于點(diǎn)E，連接，，若，則______．【答案】75°【詳解】連接AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，.∵，∴．設(shè)，∴，，∴．∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：75°．12．如圖1，和都是等腰三角形，．(1)觀察發(fā)現(xiàn)請(qǐng)直接寫出：的值是______，的值是______；(2)問(wèn)題探究如圖2，固定不動(dòng)，將繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接BN和AM．的值改變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)(2)的值不變，理由見解析【解析】(1)如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于H，過(guò)點(diǎn)M作MT垂直O(jiān)N于T．∵AO=AB，AH⊥OB，∴OH=HB，∵∠O=30°，∴，∴，同法可證，，∴，故答案為：(2)的值不變，理由如下：由（1）可知：，∵∠AOB=∠NOM=30°，∴∠AOB+∠AON=∠NOM+∠AON，∴∠BON=∠AOM，∴△BON∽△AOM，∴．13．【探究】已知，點(diǎn)，，，分別在四邊形的四條邊上，且(1)如圖，若四邊形為正方形，，則______；(2)如圖，若四邊形為矩形，，，求的值．(3)【拓展】如圖，四邊形中，點(diǎn)，分別在，上，且，若，，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，四邊形是正方形，，∴四邊形ABNE、四邊形BCMG是矩形，∴AB=EN，BC=MG，又，，，，，，，，，，，

在和中，，，，故答案為；(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，同（1）的得，，，，，；(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，四邊形是矩形，∠G=∠H=90°，在和中，，，，∴∠HAD+∠BAG=90°，又∠HAD+∠HAD=90°，∴∠BAG=∠HAD，又∠G=∠H=90°，，，設(shè)，，，

在中，由勾股定理得，，(舍)或，∴BG=CH=10+6=16，由（2）知，．14．如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，AE＝AD，EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．(1)求證：BD⊥EC；(2)若AB＝2，求AE的長(zhǎng)；(3)如圖2，連接AG，求證：EG﹣DGAG．【答案】(1)見解析(2)AE(3)見解析【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），，則有a?（a﹣b）＝b2，化簡(jiǎn)得a2﹣ab﹣b2＝0，解得ab或b（舍去），∴AE：AB＝a：b，∵AB＝2，∴AE；(3)證明：如圖，在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG為等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG．15．四邊形，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，將一個(gè)含有角的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，使其一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一條直角邊與交于點(diǎn)．(1)如圖1，若四邊形是正方形，求證：；（請(qǐng)用兩種方法證明）(2)如圖2，若四邊形是矩形，且，，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)過(guò)程見解析；(2)，過(guò)程見解析【解析】（1）連接EC，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∠BAE=∠BCE．∵∠AEF=90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE=360°，∴∠BAE+∠BFE=180°．∵∠BFE+∠EFC=180°，∴∠EFC=∠BAE，∴∠EFC=∠BCE，∴EF=EC，∴AE=EF；方法二：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．∵EM⊥AB，EN⊥BC，∴四邊形BNEM是正方形，∴EM=EN，∠MEN=90°，∴∠MEF+∠FEN=90