2.4曲線與方程（講義6大題型）（原卷版）

2.4曲線與方程1、結合已學過的曲線與方程的實例，了解曲線與方程的對應關系；2、理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；3、通過具體的實例掌握求曲線方程的一般步驟，會求曲線的方程．知識點1曲線的方程與方程的曲線1、曲線與方程定義一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線與方程之間具有如下關系：（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；（2）以方程的解為坐標的點都在曲線上．則稱曲線為方程的曲線，方程為曲線的方程．【注意】（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解．它闡明的含義是曲線上沒有坐標不滿足方程的點．（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．它闡明的含義是適合條件的所有點都在曲線上，即沒有遺漏的點．所以兩個條件充分保證了曲線上的點一個也不多，一個也不少，即曲線上的點集與方程的解集之間建立了一一對應關系．2、兩條曲線的交點坐標（1）已知曲線和曲線，求這兩條曲線的交點坐標，只要求方程組的實數(shù)解就可以得到．（2）直線與曲線交點個數(shù)判斷直線與曲線的交點問題，一般通過聯(lián)立兩方程消元得到關于或的方程．若是一元二次方程，則根據(jù)一元二次方程根的判別式來判斷（有時也可利用數(shù)形結合來判斷）：=1\*GB3①當時，由兩個交點；=2\*GB3②當時，無交點；=3\*GB3③當時，有一個交點，此時直線與曲線相切．知識點2由曲線求它的方程1、求動點軌跡方程的步驟（1）設動點的坐標為（如果沒有平面直角坐標系，需先建立）；（2）寫出要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用的坐標表示出來；（3）化簡并檢驗所得方程是否為的軌跡方程．2、建立坐標系的基本原則（1）讓盡量多的點落在坐標軸上；（2）盡可能地利用圖形的對稱性,使對稱軸為坐標軸．建立適當?shù)淖鴺讼凳乔笄€方程的首要一步,應充分利用圖形的幾何性質，如中心對稱圖形，可利用對稱中心為原點建系；軸對稱圖形以對稱軸為坐標軸建系；條件中有直角,可將兩直角邊作為坐標軸建系等．知識點3軌跡與軌跡方程1、軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點，點的軌跡方程是指點的坐標滿足的關系式。軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）.2、“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別（1）“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣鳎唬?）“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍．【常用解題技巧】1、曲線與方程的關系判定曲線的方程是的充分必要條件是曲線C上所有點的坐標都是方程的解，并且以方程的實數(shù)解為坐標的點都在曲線上，這是識別曲線和方程關系的基本依據(jù)．曲線與方程建立了對應，即把點和坐標的對應過渡到曲線與方程的對應，因此判斷曲線與方程的關系時，需同時判斷以方程的解為坐標的點是否都在曲線上及曲線上的點的坐標是否都是方程的解．2、判斷點與曲線關系的方法（1）從點的坐標角度若點在方程所表示的曲線C上，則；或若，則點不在方程表示的曲線C上．（2）從方程的解的角度若，則點在方程所表示的曲線C上；或若點不在方程表示的曲線C上，則．3、求曲線方程的常用方法（1）直接法：建立適當?shù)淖鴺讼岛?，設動點為，根據(jù)幾何條件尋求之間的關系式．（2）定義法：如果所給幾何條件正好符合已學曲線的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．（3）代入法：利用所求曲線上的動點與已知曲線上動點的關系，把所求動點轉換為已知動點．具體地說，就是用所求動點的坐標來表示已知動點的坐標，并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此可求得動點坐標滿足的關系．（4）參數(shù)法：如果問題中所求動點滿足的幾何條件不易得出，也沒有明顯的相關點,但能發(fā)現(xiàn)這個動點受某個變量(像角度、斜率、比值、截距、時間、速度等)的影響，此時，可先建立分別與這個變量的關系，然后將該變量(參數(shù))消去,即可得到的關系式．4、設曲線C的方程為：，一般有如下規(guī)律：①如果以代替y，方程保持不變，那么曲線關于x軸對稱；②如果以代替x，方程保持不變，那么曲線關于y軸對稱；③如果同時以代替x，以代替y，方程保持不變，那么曲線關于原點對稱．例：曲線C的方程為：，則曲線C關于原點對稱．題型一曲線與方程的概念【例1】曲線的方程是：，那么是點在曲線上的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】“點M在曲線上”是“點M到兩坐標軸距離相等”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式12】“點M在曲線上”是“點M的坐標滿足方程”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式13】（2324高二上·上海·期末）已知坐標滿足方程的點都在曲線C上，則下列命題中正確的是（

）A．曲線C上的點的坐標都適合方程B．不在曲線C上的點的坐標必不適合方程C．凡坐標不適合方程的點都不在曲線C上D．不在曲線C上的點的坐標有些適合方程題型二點與曲線的位置關系【例2】下列各點中，在曲線上的點是A．（2，2） B．（4，3） C．（3，10） D．（2，5）【變式21】（2223高二上·安徽·期末）方程表示的圖形經(jīng)過點，，，中的（

）A．個 B．個 C．個 D．個【變式22】設曲線和的交點為P，那么曲線必定（）A．經(jīng)過P點 B．經(jīng)過原點C．不一定經(jīng)過P點 D．經(jīng)過P點和原點【變式23】若點在方程的曲線上，則．題型三由方程研究曲線的圖形【例3】（2223高二下·四川南充·月考）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．與 B．與C．與 D．與【變式31】（2324高二上·福建莆田·期中）設方程表示的曲線是（

）A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線C．一個圓 D．一條直線【變式32】（2324高二下·貴州六盤水·期末）關于的方程對應的曲線不可能是（

）A．B．C． D．【變式33】（2223高三上·重慶·月考）在平面直角坐標系中，已知曲線的方程為，則曲線圍成的圖形面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12題型四由方程研究曲線的性質【例4】（2324高二下·上海·期中）關于方程所表示的曲線，下列說法正確的是（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于對稱 D．關于原點中心對稱【變式41】（2324高二上·廣東中山·月考）（多選）下列四個方程所表示的曲線中既關于軸對稱，又關于軸對稱的是（

）A． B．C． D．【變式42】（2324高二上·北京海淀·期中）兩個曲線方程：，：，我們可以推斷出它們的性質，其中錯誤的是（

）A．曲線關于y＝x對稱B．曲線關于原點對稱C．曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積D．曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積【變式43】（2223高二上·上海閔行·期中）關于曲線，則以下結論正確的是（

）①曲線關于原點對稱；②曲線中；③曲線是不封閉圖形，且它與圓有四個公共點；④曲線與曲線有4個交點，這4點構成正方形.A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④題型五兩曲線交點問題【例5】曲線與曲線的公共點的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式51】已知曲線與曲線恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式52】（2223高二上·遼寧沈陽·期末）方程有且僅有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是．【變式53】（2223高二上·北京海淀·月考）已知曲線與曲線恰好有三個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是.題型六求平面軌跡方程【例6】（2324高二上·河南開封·期中）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于的點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式61】（2324高二上·江西上饒·）已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（