24.3正多邊形的畫法（第2課時）（作業(yè)）（夯實基礎能力提升）

24.3正多邊形的畫法（第2課時）（作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，已知，求作：內接正六邊形，以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．進而即可判斷【詳解】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，六邊形是正六邊形，即甲同學的作業(yè)正確．由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．六邊形為正六邊形，即乙同學的作業(yè)正確．故選C【點睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關知識是解題的關鍵．2．（2022·江蘇·九年級課時練習）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標為（2，3）．則頂點C的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正六邊形的性質以及坐標與圖形的性質進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接BD交CF于點M，交y軸于點N，設AB交x軸于點P，根據題意得：BD∥x軸，AB∥y軸，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y軸，∴，∴，∵點A的坐標為（2，3），∴AP=3，OP=BN=2，∴，BP=1，∴點C的縱坐標為1+2=3，∴點C的坐標為．故選：A【點睛】本題考查正多邊形，勾股定理，直角三角形的性質，掌握正六邊形的性質以及勾股定理是正確計算的前提，理解坐標與圖形的性質是解決問題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（

）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【分析】如圖，連接CF與AD交于點O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．【詳解】連接CF與AD交于點O，∵為正六邊形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長為4mm，故選：D．【點睛】本題考查了正多邊形與圓的性質，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關系是解題的關鍵．二、填空題4．（2022·湖北·武漢市第十一中學九年級階段練習）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素．如圖這個圖案繞著它的中心旋轉后能夠與它本身重合，則旋轉角α最小可以為_____度．【答案】60【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據旋轉變換的性質解答即可．【詳解】解：根據題意得：該圖形可以看做為一個正六邊形，∵360°÷6=60°，∴旋轉角α最小可以為60°，故答案為：60【點睛】本題考查的是旋轉對稱圖形、正多邊形的性質，求出正六邊形的中心角是解題的關鍵．5．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，頂點C、F在x軸上，頂點A的坐標為（1，），則頂點D的坐標為______．【答案】（，）【分析】根據圖形，利用對稱的性質計算即可求出D的坐標．【詳解】解：根據題意，點D與點A關于原點對稱，∵點A的坐標為：（1，），∴點D的坐標為：（，）；故答案為：（，）；【點睛】此題考查了正多邊形和圓，以及坐標與圖形性質，熟練掌握對稱的性質是解本題的關鍵．6．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結果保留根號）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關鍵．7．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是_____平方分米．【答案】【分析】求出內部留的小正六邊形的邊長，再根據正六邊形的面積的計算方法進行計算即可．【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質可知斜邊是短直角邊的2倍；根據拼圖可知，內部留下一個小的正六邊形的邊長為1分米，所以它的面積為16（平方分米），故答案為：．【點睛】本題考查正多邊形與圓，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的邊角關系以及正多邊形與圓的有關計算方法是解決問題的前提．三、解答題8．（2022·陜西·西安鐵一中濱河學校九年級開學考試）如圖，△ABC中，AB＝AC．求作一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，并證明你作圖的正確性．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】分別以B，C為圓心，以AB長畫弧，兩弧相交一點，即為D點.【詳解】如圖即為所求作的菱形理由如下：∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四邊形ABDC是菱形．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖和菱形的性質，解題的關鍵是掌握尺規(guī)作圖和菱形的性質.9．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析【分析】（1）結合外心的定義和等邊三角形的性質推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結論即可；（2）①結合（1）的結論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．【詳解】（1），∵O為三角形的外心，∴O為三角形三邊中垂線的交點，又∵三角形為等邊三角形，∴可得CD垂直平分AB，根據垂徑定理可得：；（2）①如圖所示，在（1）的基礎之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；②如圖所示：（方法不唯一）【點睛】本題主要考查復雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關系，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：(1)在圖1中，畫出CD的中點G；(2)在圖2中，點G為CD中點以G為頂點畫出一個菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖的問題，掌握正六邊形的性質、中線的性質、菱形的性質是解題的關鍵．11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖所示的是以O為圓心的圓，上有一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】直接作出直徑AC，再過點O作AC的垂線，進而得出答案；【詳解】如圖所示：正方形ABCD即為所求；【點睛】此題主要考查了圓內接正方形的作圖，正確掌握正方形的性質是解題關鍵．12．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，∴BD為的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是的內接正方形．【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質，正方形的判定．【能力提升】一、單選題1．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長為6，將每條邊三等分，沿每個頂點相鄰的兩個等分點連線剪下6個小三角形（如圖1中6個陰影部分的三角形），把剪下的這6個小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內切圓⊙O，如圖3，得到如下結論：①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長之比為3：2：；③圖3中正六邊形的邊上任意一點到⊙O上任意一點的最大距離為4+．以上結論正確的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①【答案】A【分析】①根據題意可知過點作于，根據正六邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，求得，即可判斷①；②根據正六邊形的性質，結合①的結論，分別求得三個正六邊形的邊長，即可判②；③依題意可知圖形的內接圓的半徑與外接圓的半徑之和即為所求，根據正六邊形的性質，等邊三角形的性質即可求解．【詳解】解：標注字母如圖，過點作于，為的三等分點，為是三等分點，∵正六邊形的每一個內角為∴中，，在中，，①不正確，圖形，邊長為6，所以圖形的周長為如圖，依題意可得則，依題意，是正六邊形，所以圖形的周長為把圖2中空白部分記作“圖形”，由①可得，是正六邊形，所以圖形的周長為∴圖形的周長之比為=3：2：；故②正確；如圖，過點作于點，交內切圓于點，則即為所求，根據正六邊形的性質可得是等邊三角形，，，，，故③正確，故選A．【點睛】本題考查了正六邊形與內切圓的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，理解題意求得各線段長是解題的關鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正五邊形和正三角形都是的內接多邊形，則的度數(shù)是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】如圖，連接利用正多邊形的性質求出，，可得結論．【詳解】解：如圖，連接．是等邊三角形，，，是正五邊形，，．故選：C．【點睛】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的性質，屬于中考?？碱}型．3．（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．【詳解】解：如圖所示，∵正六邊形的中心角為60°，∴每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，∴，，，因此每個正六邊形的面積為：，圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：．整個圖形是一個矩形，長為12，寬為，矩形的面積為：，因此圖中陰影部分的面積是：，故選C．【點睛】本題考查等邊三角形相關計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關鍵．二、填空題4．（2022·黑龍江綏化·三模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內接于☉O，點P是上的任意一點，則∠CPE的度數(shù)為____．【答案】．【分析】連接OD,OC,OE,利用正八邊形的中心角的定義，計算圓心角∠COE，根據圓心角與圓周角的關系定理計算即可．【詳解】連接OD,OC,OE,∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形,∴∠COD=∠DOE==45°,∴∠COE=45°+45°=90°,∴∠CPE=∠COE=45°.故答案為：45°．【點睛】本題考查了正多邊形的中心角，圓心角與圓周角關系定理，連接半徑，構造中心角是解題的關鍵．5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，正八邊形ABCDEFGH內接于⊙O，若AC＝4，則點O到AC的距離為____．【答案】2【詳解】解：連接OB交AC于M，∵正八邊形ABCDEFGH內接于⊙O，∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，∴＝，∠AOC＝90°，∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，∵OA＝OC，∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，∴∠OAM＝∠AOB，∴AM＝OM，在Rt△AOC中，∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，∴2OA2＝AC2＝42＝16，∴OA＝2，在Rt△AOM中，∵OM2+AM2＝OA2，∴2OM2＝（2）2，∴OM＝2，∴點O到AC距離為2，故答案為：2．6．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，O為格點，⊙經過格點A．（1）⊙的周長等于____；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出⊙的內接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）_____．【答案】

見解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延長交網格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，∴⊙的周長，故答案為：（2）如圖：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵過圓心,，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．故答案為：如圖，延長交網格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【點睛】此題考查作圖中的復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題,屬于中考?？碱}型．三、解答題7．（2022·江西·尋烏縣教育局教學研究室一模）如圖，正六邊形ABCDEF在正三角形網格內，點O為正六邊形的中心，僅用無刻度的直尺完成以下作圖．（1）在圖1中，過點O作AC的平行線；（2）在圖2中，過點E作AC的平行線．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【分析】（1）利用正六邊形的特性作圖即可；（2）結合等邊三角形的性質以及正六邊形的性質作圖即可.【詳解】（1）如圖所示（答案不唯一）：（2）如圖所示（答案不唯一）：8．（2021·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．【分析】（1）直接利用正多邊形的性質得出頂點P的位置；（2）利用正五邊形的性質，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；（2）如圖所示：點O為所求；【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及等腰三角形的性質和正多邊形的性質，正確應用正五邊形的性質是解題關鍵．9．（2020·吉林省實驗繁榮高級中學九年級期中）圖①、圖②均為4×4的正方形網格，線段AB、BC的端點均在格點上，按要求在圖①、圖②中作圖并計算其面積．（1）在圖①中畫一個四邊形ABCD，點D在格點上，使四邊形ABCD有一組對角相等，并求．（2）在圖②中畫一個四邊形ABCE，點E在格點上，使四邊形ABCE有一組對角互補，并求．【答案】（1）圖見詳解，6；（2）圖見詳解，4.5【分析】（1）過C畫AB的平行線，過A畫BC的平行線，兩線交于一點D，根據平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質可知∠CBA=∠CDA，然后用用割補法求出面積即可；（2）根據圖中正方形網格和∠B的特點，作出∠E與∠B互補，然后用割補法求面積即可．【詳解】解：（1）如圖，S四邊形ABCD=3×4×2=6；（2）如圖，S四邊形ABCE=3×3×2=．【點睛】此題主要考查了應用設計作圖，首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，然后利用割補法求面積．10．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）連接AD，BE交于點O，即可得到所求三角形；（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．【點睛】本題主要考查正六邊形的性質，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內角都等于120°，是解題的關鍵．11．（2021·全國·九年級專題練習）請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）．（1）如圖1，E是平行四邊形ABCD邊AD上一點，過點A畫一條直線，使其與EC平行；（2）如圖2，正六邊形ABCDEF（六邊相等，六角相等的六邊形），在圖中畫一條直線，使其垂直平分AF；（3）如圖3，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，且AB＝BC＝CD，在圖中畫一條異于BC的直線，使其與AD平行．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）連接AC，BD交于點O，作直線OE交BC于F，作直線AF即可．（2）連接AE，BF交于點G，連接BD，CE交于點H，作直線GH即可．（3）作直徑BE，CF，作直線EF即可．【詳解】解：（1）如圖1，直線AF即為所求作．（2）如圖2，直線GH即為所求作．（3）如圖3，直線EF即為所求作．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，線段的垂直平分線，平行四邊形的性質，正多邊形和圓等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．12．（2022·廣東深圳·一模）如圖，已知，點在圓上，請以為一頂點作圓內接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見詳解【分析】先作直徑AC，再過O點作AC的垂線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD為正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．13．（2022·全國·九年級課時練習）已知：射線求作：，使得點在射線上，，．作法：如圖，①在射線上取一點，以為圓心，長為半徑作圓，與射線相交于點；②以為圓心，為半徑作弧，在射線上方交⊙于點；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴__________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點，都在⊙上，∴．（）（填推理的依據）∴．即為所求的三角形．【答案】（1）見解析；（2）90；一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半【分析】（1）以點C為圓心，OC長為半徑畫弧線，交圓于一點即為點D，連接AD，補全圖形即可；（2）證明：連接．由為⊙的直徑，得到90．證明等邊三角形，得到，由此得到即為所求的三角形．【詳解】解：（1）補全的圖形如圖所示：

（2）證明：連接．∵為⊙的直徑，∴90．∵，∴等邊三角形．∴．∵點，都在⊙上，∴．（一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）（填推理的依據）∴．即為所求的三角形．故答案為：90；一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．．【點睛】此題考查尺規(guī)作圖，等邊三角形的判定及性質，圓周角等于同弧所對圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角，熟記各定理是解題的關鍵．14．（2022·北京四中九年級階段練習）閱讀下面材料：小巖遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA＝1，，PC＝2