24.3正多邊形的畫(huà)法（第2課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)能力提升）

24.3正多邊形的畫(huà)法（第2課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點(diǎn)、；③作的垂直平分線交于點(diǎn)、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)；③同上述作圖方法逆時(shí)針作出點(diǎn)、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩人都不對(duì) B．甲對(duì)，乙不對(duì) C．兩人都對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【答案】C【分析】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫(huà)弧可得．進(jìn)而即可判斷【詳解】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，六邊形是正六邊形，即甲同學(xué)的作業(yè)正確．由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫(huà)弧可得．六邊形為正六邊形，即乙同學(xué)的作業(yè)正確．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）．則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)P，根據(jù)題意得：BD∥x軸，AB∥y軸，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y軸，∴，∴，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），∴AP=3，OP=BN=2，∴，BP=1，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【分析】如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．【詳解】連接CF與AD交于點(diǎn)O，∵為正六邊形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長(zhǎng)為4mm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·湖北·武漢市第十一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，則旋轉(zhuǎn)角α最小可以為_(kāi)____度．【答案】60【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：該圖形可以看做為一個(gè)正六邊形，∵360°÷6=60°，∴旋轉(zhuǎn)角α最小可以為60°，故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，求出正六邊形的中心角是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，頂點(diǎn)C、F在x軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】（，）【分析】根據(jù)圖形，利用對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算即可求出D的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，）；故答案為：（，）；【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點(diǎn)H．②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．③AG長(zhǎng)即為正五邊形的邊長(zhǎng)、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點(diǎn)，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點(diǎn)，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個(gè)大的正六邊形，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長(zhǎng)是1分米，那么這個(gè)小的正六邊形的面積是_____平方分米．【答案】【分析】求出內(nèi)部留的小正六邊形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正六邊形的面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形的邊長(zhǎng)為1分米，所以它的面積為16（平方分米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的邊角關(guān)系以及正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算方法是解決問(wèn)題的前提．三、解答題8．（2022·陜西·西安鐵一中濱河學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC中，AB＝AC．求作一點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，并證明你作圖的正確性．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】分別以B，C為圓心，以AB長(zhǎng)畫(huà)弧，兩弧相交一點(diǎn)，即為D點(diǎn).【詳解】如圖即為所求作的菱形理由如下：∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四邊形ABDC是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖和菱形的性質(zhì).9．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：___．（2）請(qǐng)你僅使用無(wú)刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個(gè)正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過(guò)程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）．②請(qǐng)?jiān)趫D2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的對(duì)稱軸，保留作圖痕跡(作圖過(guò)程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）．

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合外心的定義和等邊三角形的性質(zhì)推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結(jié)論即可；（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，可直接連接AO，BO，分別延長(zhǎng)與圓相交，再順次連接各交點(diǎn)即可；②如圖，延長(zhǎng)AF，EC，交于一點(diǎn)，此時(shí)可構(gòu)成等邊三角形，從而連接交點(diǎn)與圓心的直線即為所求的對(duì)稱軸．【詳解】（1），∵O為三角形的外心，∴O為三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，又∵三角形為等邊三角形，∴可得CD垂直平分AB，根據(jù)垂徑定理可得：；（2）①如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)之上，連接AO，并延長(zhǎng)至E，連接BO，并延長(zhǎng)至F，順次連接圓周上各點(diǎn)即可；②如圖所示：（方法不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關(guān)系，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，按要求畫(huà)圖：(1)在圖1中，畫(huà)出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點(diǎn)H，分別延長(zhǎng)線段BC、線段ED于點(diǎn)I，連接HI與線段CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求；（2）如圖2，延長(zhǎng)線段IH與線段AF交于點(diǎn)J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點(diǎn)H，分別延長(zhǎng)線段BC、線段ED于點(diǎn)I，連接HI與線段CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求；（2）如圖2，延長(zhǎng)線段IH與線段AF交于點(diǎn)J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度直尺作圖的問(wèn)題，掌握正六邊形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的是以O(shè)為圓心的圓，上有一點(diǎn)A，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】直接作出直徑AC，再過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，進(jìn)而得出答案；【詳解】如圖所示：正方形ABCD即為所求；【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓內(nèi)接正方形的作圖，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AC為的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，∴BD為的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是的內(nèi)接正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．【能力提升】一、單選題1．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長(zhǎng)為6，將每條邊三等分，沿每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)等分點(diǎn)連線剪下6個(gè)小三角形（如圖1中6個(gè)陰影部分的三角形），把剪下的這6個(gè)小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長(zhǎng)之比為3：2：；③圖3中正六邊形的邊上任意一點(diǎn)到⊙O上任意一點(diǎn)的最大距離為4+．以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①【答案】A【分析】①根據(jù)題意可知過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，即可判斷①；②根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合①的結(jié)論，分別求得三個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)，即可判②；③依題意可知圖形的內(nèi)接圓的半徑與外接圓的半徑之和即為所求，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：標(biāo)注字母如圖，過(guò)點(diǎn)作于，為的三等分點(diǎn)，為是三等分點(diǎn)，∵正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為∴中，，在中，，①不正確，圖形，邊長(zhǎng)為6，所以圖形的周長(zhǎng)為如圖，依題意可得則，依題意，是正六邊形，所以圖形的周長(zhǎng)為把圖2中空白部分記作“圖形”，由①可得，是正六邊形，所以圖形的周長(zhǎng)為∴圖形的周長(zhǎng)之比為=3：2：；故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交內(nèi)切圓于點(diǎn)，則即為所求，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得是等邊三角形，，，，，故③正確，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形與內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，理解題意求得各線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正五邊形和正三角形都是的內(nèi)接多邊形，則的度數(shù)是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】如圖，連接利用正多邊形的性質(zhì)求出，，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．是等邊三角形，，，是正五邊形，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．3．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出1個(gè)正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．【詳解】解：如圖所示，∵正六邊形的中心角為60°，∴每個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形由六個(gè)全等的等邊三角形組成，∴，，，因此每個(gè)正六邊形的面積為：，圖中未涂色部分面積等于16個(gè)正六邊形的面積：．整個(gè)圖形是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為12，寬為，矩形的面積為：，因此圖中陰影部分的面積是：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計(jì)算，利用等邊三角形計(jì)算出每個(gè)正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·黑龍江綏化·三模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于☉O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，則∠CPE的度數(shù)為_(kāi)___．【答案】．【分析】連接OD,OC,OE,利用正八邊形的中心角的定義，計(jì)算圓心角∠COE，根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理計(jì)算即可．【詳解】連接OD,OC,OE,∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形,∴∠COD=∠DOE==45°,∴∠COE=45°+45°=90°,∴∠CPE=∠COE=45°.故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角，圓心角與圓周角關(guān)系定理，連接半徑，構(gòu)造中心角是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，若AC＝4，則點(diǎn)O到AC的距離為_(kāi)___．【答案】2【詳解】解：連接OB交AC于M，∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，∴＝，∠AOC＝90°，∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，∵OA＝OC，∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，∴∠OAM＝∠AOB，∴AM＝OM，在Rt△AOC中，∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，∴2OA2＝AC2＝42＝16，∴OA＝2，在Rt△AOM中，∵OM2+AM2＝OA2，∴2OM2＝（2）2，∴OM＝2，∴點(diǎn)O到AC距離為2，故答案為：2．6．（2022·天津南開(kāi)·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，O為格點(diǎn)，⊙經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A．（1）⊙的周長(zhǎng)等于____；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出⊙的內(nèi)接等邊，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)B，C的位置是如何找到的（不要求證明）_____．【答案】

見(jiàn)解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延長(zhǎng)交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點(diǎn)G，作直線交于點(diǎn)B，C，連接，，則即為所求．【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，∴⊙的周長(zhǎng)，故答案為：（2）如圖：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵過(guò)圓心,，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．故答案為：如圖，延長(zhǎng)交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點(diǎn)G，作直線交于點(diǎn)B，C，連接，，則即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查作圖中的復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考常考題型．三、解答題7．（2022·江西·尋烏縣教育局教學(xué)研究室一模）如圖，正六邊形ABCDEF在正三角形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)O為正六邊形的中心，僅用無(wú)刻度的直尺完成以下作圖．（1）在圖1中，過(guò)點(diǎn)O作AC的平行線；（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析.【分析】（1）利用正六邊形的特性作圖即可；（2）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)作圖即可.【詳解】（1）如圖所示（答案不唯一）：（2）如圖所示（答案不唯一）：8．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正五邊形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點(diǎn)P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點(diǎn)，使點(diǎn)稱為正五邊形的中心．【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析．【分析】（1）直接利用正多邊形的性質(zhì)得出頂點(diǎn)P的位置；（2）利用正五邊形的性質(zhì)，得出對(duì)角線交點(diǎn)，進(jìn)而得出其中心P點(diǎn)位置．【詳解】解：（1）如圖所示：點(diǎn)P為所求；（2）如圖所示：點(diǎn)O為所求；【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2020·吉林省實(shí)驗(yàn)繁榮高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，線段AB、BC的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求在圖①、圖②中作圖并計(jì)算其面積．（1）在圖①中畫(huà)一個(gè)四邊形ABCD，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，使四邊形ABCD有一組對(duì)角相等，并求．（2）在圖②中畫(huà)一個(gè)四邊形ABCE，點(diǎn)E在格點(diǎn)上，使四邊形ABCE有一組對(duì)角互補(bǔ)，并求．【答案】（1）圖見(jiàn)詳解，6；（2）圖見(jiàn)詳解，4.5【分析】（1）過(guò)C畫(huà)AB的平行線，過(guò)A畫(huà)BC的平行線，兩線交于一點(diǎn)D，根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知∠CBA=∠CDA，然后用用割補(bǔ)法求出面積即可；（2）根據(jù)圖中正方形網(wǎng)格和∠B的特點(diǎn)，作出∠E與∠B互補(bǔ)，然后用割補(bǔ)法求面積即可．【詳解】解：（1）如圖，S四邊形ABCD=3×4×2=6；（2）如圖，S四邊形ABCE=3×3×2=．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，然后利用割補(bǔ)法求面積．10．（2021·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)專題練習(xí)）已知已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個(gè)含30°的直角三角形．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）連接AD，BE交于點(diǎn)O，即可得到所求三角形；（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都等于120°，是解題的關(guān)鍵．11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡（用虛線表示畫(huà)圖過(guò)程，實(shí)線表示畫(huà)圖結(jié)果）．（1）如圖1，E是平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)一條直線，使其與EC平行；（2）如圖2，正六邊形ABCDEF（六邊相等，六角相等的六邊形），在圖中畫(huà)一條直線，使其垂直平分AF；（3）如圖3，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，且AB＝BC＝CD，在圖中畫(huà)一條異于BC的直線，使其與AD平行．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，作直線OE交BC于F，作直線AF即可．（2）連接AE，BF交于點(diǎn)G，連接BD，CE交于點(diǎn)H，作直線GH即可．（3）作直徑BE，CF，作直線EF即可．【詳解】解：（1）如圖1，直線AF即為所求作．（2）如圖2，直線GH即為所求作．（3）如圖3，直線EF即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，平行四邊形的性質(zhì)，正多邊形和圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．12．（2022·廣東深圳·一模）如圖，已知，點(diǎn)在圓上，請(qǐng)以為一頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)詳解【分析】先作直徑AC，再過(guò)O點(diǎn)作AC的垂線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD為正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：射線求作：，使得點(diǎn)在射線上，，．作法：如圖，①在射線上取一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與射線相交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作弧，在射線上方交⊙于點(diǎn)；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴__________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）90；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線，交圓于一點(diǎn)即為點(diǎn)D，連接AD，補(bǔ)全圖形即可；（2）證明：連接．由為⊙的直徑，得到90．證明等邊三角形，得到，由此得到即為所求的三角形．【詳解】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：

（2）證明：連接．∵為⊙的直徑，∴90．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．故答案為：90；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．．【點(diǎn)睛】此題考查尺規(guī)作圖，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022·北京四中九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料：小巖遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝1，，PC＝2