2022年秋《等差數(shù)列課時4》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精編資源1/16《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計課時4等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向等差數(shù)列的概念學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)運算【考查內(nèi)容】1.等差數(shù)列中基本量的計算(知三求二),通常涉及用性質(zhì)解決等差數(shù)列的片段求和等問題2.求等差數(shù)列前n項和的最值3.依據(jù)求與等差數(shù)列相關(guān)的遞推數(shù)列的求和問題(如裂項相消求和、分組求和及倒序相加求和)【考查題型】選擇題、填空題、解答題等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用邏輯推理數(shù)學(xué)運算等差數(shù)列的前n項和公式邏輯推理數(shù)學(xué)運算等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是對等差數(shù)列及其前n項和公式的初步探究,主要介紹等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及應(yīng)用;等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)及應(yīng)用,這些內(nèi)容是等差數(shù)列的核心知識.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠通過生活中的實例,理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式,理解等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的關(guān)系.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題,體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.等差數(shù)列的概念2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項和公式4.等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)建模邏輯推理核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念以及表示方法,所以學(xué)習(xí)本節(jié)等差數(shù)列是有知識基礎(chǔ)的,但是本節(jié)知識作為高考數(shù)學(xué)深入探究考查的一個重點,大部分學(xué)生還是會對等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用以及前n項和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用等方面有難度,不僅包括理解上的難度,也有計算上的難度.對前n項和公式的推導(dǎo)上也存在邏輯推理的困難.學(xué)情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計】1.等差數(shù)列的概念2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項和公式4.等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計】1.通過生活中的實例,理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義,達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題,達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平.3.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式,理解等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的關(guān)系,達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平.4.能在具體的問題情境中利用數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平.【教學(xué)策略設(shè)計】因為等差數(shù)列問題在日常生活中有大量的應(yīng)用,如存款利息,每日溫差等與人們生活關(guān)系密切的現(xiàn)實問題,人們解決許多實際問題也需要有關(guān)數(shù)列的知識.實際教學(xué)中可以利用教材中的實際案例作為教學(xué)引入,引導(dǎo)學(xué)生注意觀察數(shù)字或圖形的變化特征,鍛煉邏輯推理核心素養(yǎng),充分發(fā)揮學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能動性,實現(xiàn)情境教學(xué)、先學(xué)后教的教學(xué)策略,提高學(xué)生自主探究的能力,對等差數(shù)列及其前n項和有深入的理解和靈活的掌握.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點難點】重點:1.理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì),探索并掌握等差數(shù)列的通項公式,會用公式解決一些簡單的問題,體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式,學(xué)會用公式解決一些實際問題,體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.難點:1.概括通項公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維方法.2.等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動設(shè)計教學(xué)導(dǎo)入師:同學(xué)們,上課之前,我們先回顧下上節(jié)課的重點內(nèi)容,都學(xué)了哪些重要知識和性質(zhì)應(yīng)用呢?請幾位同學(xué)為我們推導(dǎo)一下等差數(shù)列的前項和公式.【學(xué)生復(fù)習(xí)教材,積極練習(xí),積極發(fā)言,教師指定同學(xué)回答并予以鼓勵和肯定,總結(jié)歸納】師:推導(dǎo)等差數(shù)列前項和有奇偶項法和倒序相加法,常用倒序相加法.其中,從奇偶項法中,我們可以得到奇偶項數(shù)的性質(zhì).從推導(dǎo)得到的等差數(shù)列的前項和公式中,我們又可以得到和這兩個新的等差數(shù)列.其間的知識聯(lián)系,同學(xué)們要細(xì)心體會.這節(jié)課我們首先通過一個題復(fù)習(xí)下前項和公式的簡單應(yīng)用.【設(shè)情境巧引入】本節(jié)課內(nèi)容和上節(jié)課聯(lián)系緊密,通過復(fù)習(xí)上節(jié)課知識要點從而引出本節(jié)課學(xué)習(xí)重點,起到承上啟下的作用,既復(fù)習(xí)了知識,又引出了課題.教學(xué)精講【典型例題】利用等差數(shù)列的前項和求其他基本量例1某校新建一個報告廳,要求容納800個座位,報告廳共有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多2個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位.師:這道實際應(yīng)用問題是一道關(guān)于什么的問題?生:等差數(shù)列問題.師:從哪里看出來的?生:從第2排起后一排都比前一排多2個座位,可知公差是2.師:很好,并且我們還知道,前20項和是800,先找到里邊的幾個基本量,再通過基本量之間的關(guān)系,就可以解決問題了.【引導(dǎo)學(xué)生積極思考,獨立完成,教師指定學(xué)生回答并予以肯定,解得第1排應(yīng)安排21個座位】師:這道題還只是一道簡單的實際應(yīng)用問題,我們重點是要將實際生活的語言還原成數(shù)學(xué)概念語言,從而找到解題方法.那這道問題我們是借助了哪個公式?請同學(xué)來幫大家復(fù)習(xí)一下.生:等差數(shù)列的前項和公式,或.師:好的,那這道題屬于等差數(shù)列前項和公式的一個簡單應(yīng)用,我們再來看一個它的另一種應(yīng)用,就是求最值.【意義學(xué)習(xí)】教師由實際問題出發(fā),將實際問題和數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系,采用分步提問的方式引導(dǎo)學(xué)生的思路,培養(yǎng)學(xué)生的解題意識.【典型例題】求等差數(shù)列前項和的最值例2已知等差數(shù)列的前項和為,若,公差,則是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值時的值;若不存在,請說明理由.【學(xué)生閱讀教材,積極思考,合作交流】師:同學(xué)們,這道例題怎樣去求前項和的最大值?由公式可知,,里邊的和是未知的,借助等差數(shù)列的單調(diào)性可以嗎?【教師引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生獨立做題,教師巡視檢查,并做總結(jié)講解】生:因為公差是小于0的,所以這個等差數(shù)列是遞減數(shù)列.師:很好.所以從某一項開始,可能就會減小到0,減小到小于0.又由,可知:當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以我們就可以得到前項和的大小變化:從中可以得到當(dāng)或6時,取最大,且最大值是30.【自主學(xué)習(xí)】教師啟發(fā)學(xué)生解題思路,即采用數(shù)列的單調(diào)性解題,學(xué)生先自主獨立思考,然后教師總結(jié)整理答案,更能使學(xué)生對知識理解深刻.【方法策略】求等差數(shù)列前項和的最值的解法一總結(jié)方法:(1)當(dāng)時,由不等式組可求得取最大值時的值.(2)當(dāng)時,由不等式組可求得取最小值時的值.師:關(guān)于這道題還有一種解法,前項和公式有很多種書寫形式,如果我們把再改寫一下,使它和二次函數(shù)有一樣的格式,是否又能得到一些求最值的思路呢?【情境學(xué)習(xí)】學(xué)生在求前n項和最值的問題情境中,總結(jié)方法,通過具體問題理解方法,更能加深印象.【要點知識】求等差數(shù)列前項和公式補充等差數(shù)列的前項和可以改寫成.當(dāng)時,是關(guān)于的二次函數(shù)(為正整數(shù)).師:由此我們可以知道等差數(shù)列前項和具有和二次函數(shù)類似的性質(zhì),所以要想求前項和的最大值,我們應(yīng)該怎么做?生:先寫出公式再代入數(shù)值,因為要求最值,所以可以先配方..師:很好.又因為公差為負(fù)數(shù),所以這個數(shù)列的前項和如果先把它看成是二次函數(shù)解析式的話,是不是開口向下?開口向下有最大.所以由解析式我們知道當(dāng)時,取最大,但是因為數(shù)列是特殊的函數(shù),自變量必須是正整數(shù),所以我們只能選取離最近的正整數(shù),那么等于多少呢?最大值又是多少呢?生:當(dāng)或6時,取最大,最大值是30.師:正確.和第一種解法得到的答案一致.所以通過這個題我們要明確一點:計算等差數(shù)列前項和的最值,可以借助二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和方法,但是要注意的是,在等差數(shù)列前項和公式中,自變量只能取正整數(shù),這也是數(shù)列與函數(shù)的主要區(qū)別.師:同學(xué)們,比較一下這兩個求等差數(shù)列前項和最值的方法,哪個更簡便一些?當(dāng)然每個方法都有不同知識的側(cè)重點,我們重點掌握其中的推理過程以及思路方法.所以我們再做一道類似的思考題.如果把這道例題中的公差改換成,那么有最大值嗎?采用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點式的解法作答.【教師引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生分組交流,認(rèn)真演算,教師指定學(xué)生回答問題】生:通過將等差數(shù)列前項和公式化為二次函數(shù)頂點式的方法,得到當(dāng)時,取最大值.師:正確!因為求最值,我們可以利用二次函數(shù)頂點式求解,所以有沒有解決更一般的等差數(shù)列前項和最大值的通用解法?【簡單問題解決能力】由已知的二次函數(shù)配方法代入到解決數(shù)列前n項和最大值的問題中,建立數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的簡單問題解決能力.【分析計算能力】通過對比由不等式組和二次函數(shù)性質(zhì)求解數(shù)列前n項和的最值.培養(yǎng)學(xué)生的分析計算能力.【方法策略】求等差數(shù)列的前項和最值的解法2公差不為0的等差數(shù)列的前項和可以表示成的形式,我們可將其變形為.(1)若,則當(dāng)最小時,有最小值;(2)若,則當(dāng)最小時,有最大值.注:其中,.師:其實這個公式還有一個應(yīng)用,就是已知數(shù)列的前項和公式是,可以判定數(shù)列是等差數(shù)列.綜合前面講到的通項公式,總結(jié)一下判定數(shù)列為等差數(shù)列的幾種方法.【意義學(xué)習(xí)】教師講解了解題思路,通過類似的思考題,引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生分組合作學(xué)習(xí),參與到解決問題的過程中來,加深對解題思路的理解.【方法策略】判定數(shù)列為等差數(shù)列的方法1.定義法:證明對任意正整數(shù)都有等于同一個常數(shù).2.等差中項法:證明對任意正整數(shù)都有后,可遞推得出,根據(jù)定義得出數(shù)列為等差數(shù)列.3.通項公式法:得出為常數(shù))后,得對任意正整數(shù)恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列為等差數(shù)列.4.前項和公式法:得出(為常數(shù))后,根據(jù)的關(guān)系,得出,再使用定義法證明數(shù)列為等差數(shù)列.【概括理解能力】通過對通項公式的綜合學(xué)習(xí),概括總結(jié)出判定數(shù)列為等差數(shù)列的方法,鞏固所學(xué)知識,提高學(xué)生的概括理解能力.師:接下來,我們練習(xí)幾道習(xí)題.【鞏固練習(xí)】等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用1.某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了兩種領(lǐng)獎方式:第一種,獲獎?wù)呖梢赃x擇2000元的獎金;第二種,從12月20日到第二年的1月1日,每天到該商場領(lǐng)取獎品,第1天領(lǐng)取的獎品價值為100元,第2天為110元,以后逐天增加10元.你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎方式獲獎?wù)呤芤娓?2.已知數(shù)列的前項和,求這個數(shù)列的通項公式.3.已知等差數(shù)列的前項和為是否存在最大(小)值?如果存在,求出取得最值時的值.4.求集合,且中元素的個數(shù),并求這些元素的和.5.已知數(shù)列的通項公式為,前項和為.求取得最小值時的值.師:好的,同學(xué)們,本節(jié)課我們主要學(xué)了等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用.主要學(xué)習(xí)了:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性求前項和最值;(2)利用二次函數(shù)的頂點式求前項和最值.因為等差數(shù)列內(nèi)容比較多,我們分了4個課時完成.下面我們組織一個小組比賽活動,同學(xué)們分小組,每個小組內(nèi)一名同學(xué)說一條重要知識或公式,最先說完的小組為獲勝組.【學(xué)生分小組活動,合作交流,積極發(fā)言】師:現(xiàn)在已經(jīng)產(chǎn)生獲勝組,請組內(nèi)一名代表具體幫我們概述一下,等差數(shù)列全部的重點概念.【課堂小結(jié)】等差數(shù)列前n頂和公式的應(yīng)用1.等差數(shù)列的概念.2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用3.等差數(shù)列的前n項和公式.4.等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)及應(yīng)用.【設(shè)計意圖】通過實際例子導(dǎo)入、自主、情境、活動學(xué)習(xí)等方式,理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系,掌握在具體情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)問題,培養(yǎng)分析計算、簡單問題解決能力、提升數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).教學(xué)評價等差數(shù)列的通項公式和前項和公式本身具有很多性質(zhì),有關(guān)通項公式和前項和公式的應(yīng)用問題解法角度會有多個,解決問題需應(yīng)對解題策略方法有所選擇.應(yīng)用所學(xué)知識,完成下面各題:1.若數(shù)列為等差數(shù)列,求.思路:本題通過等差數(shù)列的概念和性質(zhì)來求解通項公式.解析:方法一:令數(shù)列的首項為,公差為,則即解得方法二:∵,∴.方法三:∵為等差數(shù)列,,∴解得.方法四:∵為等差數(shù)列,∴為等差數(shù)列,∴,又.【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生整理知識,使學(xué)生體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,提高學(xué)生的學(xué)科能力,提升核心素養(yǎng).2.等差數(shù)列的前項和為,若.(1)求公差的取值范圍;(2)為何值時,最大,并說明理由.思路:本題通過利用等差數(shù)列的前項和性質(zhì)求基本量的取值范圍和最值.解析:(1)由又由,得,代入不等式組,∴解得.(2)方法一:由(1)知:且數(shù)列是遞減數(shù)列,由得即中最后一個正數(shù)項是開始為負(fù)數(shù)項,∴當(dāng)時,最大.方法二:由(1)知:且數(shù)列是遞減數(shù)列,若要最大,需確定數(shù)列中最后一個非負(fù)數(shù)項是第幾項.由