考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

?【課程安排細(xì)目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯(cuò)分析

五、刷好題

六.刷壓軸

?????一??一????■■?■■■■■■■??一?**???一?**?一?■?一■?■■??■?■■■?????一?**?????????????????**?■????■???,■-■?**???■?一■?一?*?

出一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對(duì)于力，令。=2,b=\,<?=-1,d=-2,滿(mǎn)足。>b>c>d,但a+d=b+c,故力錯(cuò)誤,

對(duì)于8,'*a>b>c>d,即a>Z>,c>d,

，由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故8正確，

對(duì)于C,令”=2,b=l,c=-\,d=-2,滿(mǎn)足”>b>c>d,但”c=bd,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于O,令a=2,b=l,c=-1,d=-2,滿(mǎn)足但ad〈bc,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（）

A.a2+b2^2abB.a2+/>2>-2abC.a+b22r|abID.a2+62C-lab

【分析】利用（a+b）22恒成立，可直接得到/田》-2/成立，通過(guò)舉反例可排除力CD.

【解答】解：A.顯然當(dāng)。<0,匕>0時(shí)，不等式/+^^2"不成立，故彳錯(cuò)誤；

B.V（a+Z>）220,：.a2+b2+2ab^0,：.a2+b2^-2ab,故8正確；

C.顯然當(dāng)aVO,bVO時(shí)，不等式a+b22/|ab|不成立,故C錯(cuò)誤；

D.顯然當(dāng)a>0,Z>>0時(shí)，不等式。2+/>2遼-2R>不成立，故O錯(cuò)誤.

故選:B.

[點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

3.(2022?上海)若實(shí)數(shù)人6滿(mǎn)足。>6>0,下列不等式中恒成立的是()

A.a+/)>2VabB.a+Z><2VabC.-^-2/)>2VabD.-^2/><2Vab

22

【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡(jiǎn)即可判斷求解.

【解答】解：因?yàn)椤?gt;方>0,所以。+622侑，當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)取等號(hào)，

又a>b>0,所以故4正確，8錯(cuò)誤，

]+2b>2患>2b=24，當(dāng)且僅當(dāng)方=21>，即。=48時(shí)取等號(hào)，故CO錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021?上海)已知兩兩不相等的xi,ji,X2,”，X3,盧，同時(shí)滿(mǎn)足①xiVyi,X2<y2^X3<y3；②xi+yi

=>2力2=*3+尸3；(3)x\yi+xyy3=2x^2,以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立()

2

A.2x2<-x\+xyB.2X2>XI+X3C.X2<X|X3D.X^>X\X3

xi=m-aXo=m-bXo=m-ca"+c"=2b

【分析】設(shè)《,,,根據(jù)題意，則有，可得x\+x3-2x2=2b

22

y廣m+ay2=m+by3=m+cm>b

-(a+c),通過(guò)求解(2b)2-(a+c)2>0,可得X1+X3-2x2=26-(a+c)>0,可得4正確，8錯(cuò)誤;

利用作差法可得MX3-★2=(2b-a-c)m--產(chǎn),而上面已證(2b-a-c)>0,因無(wú)法知道m(xù)的

2

正負(fù)，可得該式子的正負(fù)無(wú)法恒定，即無(wú)法判斷CQ,即可得解..

【解答】解：設(shè)Xl+_yi=X2+”=X3+y3=2〃7,

xpm-aX2=m-bX3=IR-C

i，<

ypm+ay2=in+by3=m+c

[a盧b盧c

根據(jù)題意,應(yīng)該有

(a,b,c>0,

J@Lw2-a2+w2-C2=2Cm2-b2)>0,

a2+c2=2b2

則有

m2>b2

則xi+x3-2x2=(w~a)+(ni-c)-2(/?-Z>)=2b-(a+c),

因?yàn)?26)2-(a+c)2=2(a2+c2)-(a+c)2>0>

所以x\+x3-2x2=2b-(a+c)>0,

所以4項(xiàng)正確，5錯(cuò)誤.

/_\2

xixy-X22—（w-a）（w-c）-（〃？-/>）*—（2d-a-c）m+ac-b1—（2Z?-a-o'）m--ac?——，而_L

2

面已證C2b-a-c）>0?

因?yàn)椴恢馈?，的正?fù)，

所以該式子的正負(fù)無(wú)法恒定.

故迷：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等關(guān)系與不等式的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化恚想，屬于中檔題.

二.填空題（共5小題）

5.（2022?上海）不等式上1<0的解集為（0,1）.

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由題意得x（x-1）<0,

解得0<x<l,

故不等式的解集（0,1）.

故答案為：（0,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?上海）不等式紅臣VI的解集為（?7,2）.

x-2

【分析】由已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化2tzco,進(jìn)行可求.

x-2

【解答】解：紅色vin紅電/von左二vo,

x-2x-2x-2

解得，-7VxV2.

故答案為：-7,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)。、b滿(mǎn)足所4b=1,則"的最大值為.

―16―

【分析】直接利用基本不等式求出結(jié)果.

【解答】解：正實(shí)數(shù)。、方滿(mǎn)足a+4b=1,則"=!xa?4b<（x（生*）2令，當(dāng)且僅當(dāng)b=^

時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)

題.

8.（2021?上海）已知函數(shù)/（x）=3'+」一（a>0）的最小值為5,貝Ua=9.

3X+1

【分析】利用基本不等式求最值需要滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成/（x）

=301+——-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等號(hào)成立的條件.

3X+1

【解答】解：/（x）=3x+—^—=3x+\+—^—~1^2Va-1=5,

3X+13X+1

所以。=9,經(jīng)檢驗(yàn)，3、=2時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及整體的思想，解題的關(guān)睫是構(gòu)造積為定值，屬于基礎(chǔ)

題.

9.（2020?上海）不等式工>3的解集為（0,1）.

x3

【分析】將不等式化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由工>3得上配>0，

xx

則x（1-3x）>0,即x（3x-1）<0,解得0<x<X

3

所以不等式的解集是（0,1），

3

故答案為：（0,工）.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題（共1小題）

10.（2022?上海）為有效塑造城市景觀(guān)、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線(xiàn)入地工程

的建設(shè).如圖是一處要架空線(xiàn)入地的矩形地塊488,AB=30m,AD=\5m.為保護(hù)。處的一棵古樹(shù)，

有關(guān)部門(mén)劃定了以。為圓心、D4為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線(xiàn)入線(xiàn)口為邊

上的點(diǎn)E,出線(xiàn)口為CO邊上的點(diǎn)尸，施工要求￡”與封閉區(qū)邊界相切，M右側(cè)的四邊形地塊4。尸石將

作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).（計(jì)算長(zhǎng)度精確到〃?，計(jì)算面積精確到

（1）若N￡=20°,求E尸的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)入線(xiàn)口E在48上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

【分析】（1）作然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出E凡

（2）設(shè)N4）E=0,結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示4E,FH,然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行

化簡(jiǎn)，再由基本不等式可求.

【解答】解：（1）作垂足為",

則E/=E，+，〃=15tan200+15tan500

(2)設(shè)則4E=15tan。，ffl=15tan(900-20),

Syaai?ADFE=2S^ADE^S^DFH=2x-i-X15X15tan0+-^-x15X15tan(90°-2B),

IRIR.四小食守）=等（喜聲呼,

=—(30tan8+15cot29)=—x3.8

22

當(dāng)且僅當(dāng)3lanB=—1—,即tan0也時(shí)取等號(hào)，此時(shí)/E=15tan8=56，最大面積為450-些叵

tan832

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不筆式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)颼是由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)

題，屬于中檔題.

B二、考點(diǎn)清單

一、等式與不等式的性質(zhì)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>Q^a>b,

⑴作差法a—b=O=a三_b,

a—b<Q<^>a<b.

0>1(a￡R,b>0)=a>b(a《R,b>0),

b-

⑵作商法三b(。，斤0),

0<1(a￡R,b>0)=a<bO,b>0).

%一

2.等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱(chēng)性：若a=b,則b=。.

(2)傳遞性：若a=btb=c,則a=c.

⑶可加性：若a=b,則a+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,則ac=bc；若a=b,c=d,貝i]ac=bd.

3.不等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱(chēng)性：a>b^b<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>ci

(3)可加性：a>b=a+c>b+c：a>b,c>dna+c>b+d：

(4)可乘性：a>b,c>O^ac>bc：a>b,c<O^ac<bc；a>b>0,c>d>O^ac>_bd；

(5)可乘方：a>b>0=>an>bn(nGN,〃21)；

nn

(6)可開(kāi)方：a>b>0=a>b(n￡N,〃22).

二、均值不等式及其應(yīng)用

1.均值不等式：質(zhì)W專(zhuān)

⑴均值不等式成立的條件：。20,820.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)^時(shí)取等號(hào).

⑶其口也稱(chēng)為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，也稱(chēng)為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2-

2.兩個(gè)重要的不等式

(l)a2+b2>2ab(a,b￡R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

卜+叩

(2)ab(l2J(a,b￡R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

3.利用均值不等式求最值

已知xNO.y^O,則

⑴如昊積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)匕時(shí)，x+y有最小值是2p（簡(jiǎn)記：積定和最?。?

⑵如吳和x+y是定值5,那么當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)匕時(shí)，xy有最大值是。簡(jiǎn)記：和定積最大）.

4

三、從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式4="一4"6>0A=0z3<0

二次函數(shù)

義

y=ax2+bx+c

9>0）的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根X],有兩相等實(shí)根X1=X2

2沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ax+bx+c=Ob

X2（XL<X）=—

22a

（a>0）的根

ax2+bx+c>0

{X|X>X2

R

(a>0)的解集或XVxi}

ax2+bx+c<0

{xIxiVxVx2}00

(。>0)的解集

3.(x—a)(x-b)>0或(x—#(x—b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x—a)(x—b)>0bdx<a或x>b}(xlxWa)(xlxcb或

(x-a)(x—b)<0{x|a<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式與整式不等式

g(M

（2）/320（W0）=f（幻”（x）20（W0）且HOW0.

g（x）

出三、題型方法

一.等式與不等式的性質(zhì)（共2小題）

1.（2022?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知aVb,cNO,則下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<bcB.a2c^h2cC.a2+c<h2+cD.adWbW

【分析】利用不等式的性質(zhì)和特殊值法，判斷力、B、C、。即可.

【解答】解：對(duì)于4：“：a〈b,c^0>?tac^hcy則選項(xiàng)力不正確；

對(duì)于8和C：當(dāng)a=?l,b』時(shí)，即/>房，

2

:.a2c2trc和a2+c>b2+c成立，則選項(xiàng)8、C不正確；

對(duì)于D：丁?！贰?，，（:22。，；.ac2Wbc2,則選項(xiàng)O正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?楊浦區(qū)模擬）設(shè)r，X2GR,則“用+&>6且~陽(yáng)>9”是“用>3且切>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及不等式的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：令xi=l,X2=9,滿(mǎn)足r+x2>6且XIX2>9,但XI<3,故充分性不成立，

當(dāng)對(duì)>3且0>3時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，XI+X2>6且XIX2>9,故必要性成立，

故"XI+X2>6且XLX2>9"是"xi>3且X2>3”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

二.不等關(guān)系與不等式（共3小題）

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知在R,下列穴等式中正確的是（）

A.上〉工B.1>1

2X33x2-x+lx2+x+l

【分析】舉反例可排除力、B、C,再利用不等式的性質(zhì)可證明。正確即可.

【解答】解：取x=0可得工=l=」j故4錯(cuò)誤；

2X3X

取x=0可得——=1=_1—,故8錯(cuò)誤；

x-x+1X+x+l

取X=1可得不4r=《=Y^，故C錯(cuò)誤；

2|x|2x2+1

選項(xiàng)O,???/+2>/+1>0,:?一，，故。正確.

22

x+lX+2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式比較大小，舉反例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

4.（2023?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)a、6滿(mǎn)足/>拉>0,則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2h

C.a>|Z>|D.Iog2?2>log2^2

【分析】舉反例可判斷48。錯(cuò)誤，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷。正確.

【解答】解：對(duì)于4取a=-2,b=l,滿(mǎn)足/，川〉。，但是不成立，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于從取。=-2,b=l,滿(mǎn)足。2>從>0,但是2@」<2。=2,即2a>2人不成立，故8錯(cuò)誤；

4

對(duì)于C,取。=-2,6=1,滿(mǎn)足。2>〃2>0,但是向不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,Va2>b2>0,且y=log2X在（0,+°°）上單調(diào)遞增，

2>2,

?*,log2a5log2b故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023?嘉定區(qū)模擬）不等式」一<1的解集為（-8,1）.

x-l

【分析】利用分式不等式的解法，化簡(jiǎn)解出不等式.

【解答】解：」一〈1等價(jià)于」--i<o,

X-1X-1

化簡(jiǎn)得：一Jvo,

X-1

即X-IVO,

解得XVI,

故答案為：（-8,1）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

三.基本不等式及其應(yīng)用（共9小題）

6.（2023?寶山區(qū)二模）已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）=|x-加+1|-2,若正實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足/（a）+f（2b）

=m,則上二的最小值為()

ab

98

A.—B.9C.—D.8

55

【分析】由/(x)為偶函數(shù)可得-〃?+l=0,進(jìn)而求出機(jī)的值，得到/(%)的解析式，再由正實(shí)數(shù)“、b

滿(mǎn)足/(a)4/(2b)=陽(yáng)，可得a+2b=5,結(jié)合基本不等式求解即可.

【解答】解：???/(x)=卜-m+1卜2為R上的偶函數(shù)，

-zzr+1=0>w=1,

?V(x)=|x|-2,

又；正實(shí)數(shù)。、6滿(mǎn)足/(a)4/(26)=機(jī)，

:.(a-2)+⑵-2)=1,

即a+2b=5,

???工(a+2b)(工工)=工(5+區(qū)」旦)>1(5+2、色?生)=―當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)衛(wèi)，即

ab5ab5ba"^5'?ba"5ba

a=b="1時(shí)，等號(hào)成立，

即工4的最小值為?.

ab5

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2023?黃浦區(qū)模擬)若關(guān)于x的不等式f+bx+cNO(b>l)的解集為R,則上空曳的最小值為

b-l

8.

【分析】由題意可得aw?；?jiǎn)得c>^，所以"誓J>(b-1)謂~+4,利用基本不等式即可求

解.

【解答】解：因?yàn)椴坏仁絝+bx+c20(b>l)的解集為R,

,2

則△:b2-4c400c?，

4

因?yàn)閆>>1,所以6-1>0,

所衛(wèi)塞產(chǎn)少警旦"l)2”b.l)+4=(b_n44>2/_^+4=8,

b-lb-lb-lb-lVb-l

當(dāng)且僅當(dāng)b-l二一二，即6=3時(shí)，取到等號(hào).

b-l

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】悲痛主要考查了不等式恒成立求解參數(shù)范圍，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

8.（2023?奉賢區(qū)二模）已知兩個(gè)正數(shù)m6的幾何平均值為1,則『+房的最小值為2.

【分析】由幾何平均值的定義得到必=1，利用基本不等式求解即可.

【解答】解：由題意得府=1，即必=1,故次+廬22"=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=l時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2023?金山區(qū)二模）已知正實(shí)數(shù)或b滿(mǎn)足工+卷=1，則2a+b的最小值為8.

【分析】由題意可得，2a+b=（2a+b）（!」■）=4+且四，再利用基本不等式求解即可.

abab

【解答】解：??Z>0,b>0,且上g=i，

：,2a+b=（2a+b）（工彳）=4+互々>4+20■祟=8,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)??，即。=2,6=4時(shí)，等

號(hào)成立，

即2a+b的最小值為8.

故答案為:8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2023?嘉定區(qū)二模）已知函數(shù)y=2用■上，定義域?yàn)椋?,+~）,則該函數(shù)的最小值為1.

8x

【分析】利用基本不等式直接求解.

【解答】解：???x>0,

???j=2x+5>2不2乂仔=1，當(dāng)且僅當(dāng)您=（，即x=/l寸，等號(hào)成立，

即該函數(shù)的最小值為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2023?崇明區(qū)二模）己知正實(shí)數(shù)〃、方滿(mǎn)足如=1,則。+46的最小值等于4.

【分析】直接利用基本不等式計(jì)算得到答案.

【解答】解：a+4b>2V4ab=2>/4=4,當(dāng)。=4人即。=2,時(shí)等號(hào)成立，

故《+46的最小值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2023?浦東新區(qū)模擬)對(duì)于正實(shí)數(shù)公代數(shù)式一的最小值為5.

x+1

【分析】由已知利用基本不等式直接計(jì)算即可求解.

【解答】解：因?yàn)楣ぃ?,

故"一9一="1+—9--1-1=5，當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)取等號(hào).

x+1x+1S'1Jx+1

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模)若實(shí)數(shù)x,『滿(mǎn)足個(gè)=1,則廿+產(chǎn)的最小值為，血一

【分析】根據(jù)基本不等式可得.

【解答】解：:孫=1,???2?+/22q2丫2=2近,(當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=土返時(shí)，取等)，

2

故答案為：2V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.

14.(2022?上海模擬)已知函數(shù)歹=/(x)的定義域?yàn)?。，值域?yàn)?若D44,則稱(chēng)f(x)為型函數(shù)”;

若/GO,則稱(chēng)f(x)為“N型函數(shù)”.

(1)設(shè)f(x)=x-5x+8,D=[l,4],試判斷/(x)是“河型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

x

(2)設(shè)f(x)=x^g(X)="X2+x)+bf(2-x),若g(x)既是“"型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求

實(shí)數(shù)。，6的值；

(3)設(shè)/(X)=?-2ax+b,D=[\,3],若/(x)為“N型函數(shù)”，求/(2)的取值范圍.

【分析】(1)利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解：

(2)分。＞0,6V。和aVU,。＞。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論求解；

(3)分。不同的取值結(jié)合“N型函數(shù)”的定義即可求范圍.

x5x+8

【解答】解：(1)當(dāng)xw[l,4]時(shí)，f(x)=~=x-f^--5＞4V2-5*

XX

當(dāng)且僅當(dāng)'二小巧時(shí)取等號(hào)，

由于/(1)=4,/(4)=1,

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)閼c=[4&-5,4],

因?yàn)樗設(shè)U4,

所以/(》)是“M型函數(shù)”：

(2)g(x)=aV2+x+bV2Zx,定義域?yàn)閇-2,2],

由題意得函數(shù)g(x)的值域也為[-2,2],

顯然MVO,否則值域不可能由負(fù)到正，

當(dāng)a>0,Z)VO時(shí)，g(x)在［-2,2］上單調(diào)遞增，

則<g(2)=2a=2,得q=i,方=_］；

g(-2)=2b=-2

當(dāng)QVO,b>0時(shí)，g(x)在［-2,2］上單調(diào)遞減，

則<g(2)=2a=-2得片I：

g(-2)=2b=2

(3)/(x)-2ax+b=Cx-a)2+b-a2,D=［\,3］,

由題意得函數(shù)/(x)的值域111,3］,

當(dāng)QWI時(shí)，/G)的最小值/(I)=l-2a+b21,

當(dāng)lVaW3時(shí)，/(x)的最小值/(a)=6-『21,

當(dāng)值3時(shí),/(x)的最小值/(3)=9?6a+b/l,

當(dāng)aW2時(shí),/(%)的最大值/(3)=9?6a+bW3,

當(dāng)a>2時(shí)，/(x)的最大值/(D=l-2a+bW3,

因?yàn)?(2)=4-4a+b,由點(diǎn)(mb)所在的可行域,

當(dāng)a=2,6=6時(shí)，/(2)取最大值，最大值為2,

3/(2)=4-4"b與b=j+l相切，

即。=2,6=5時(shí)，/(2)取最小值，最小值為1,

因此/(2)的取值范圍是[1,2].

【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

四.其他不等式的解法(共5小題)

15.(2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模)下列各組不等式中，解集完全相同的是()

A.21<生為/〈.什6

x+1x+1

B.(x-2)(x+1)vo與(x-2)(x+1)<0

2

x

C.(x+2)d)>0與x+2>0

x-1

D./>,+1與x-3>2x+l

x-x+1x-x+l

【分析】把各個(gè)不等式等價(jià)變形，可得結(jié)論.

【解答】解：V-AL<^,等價(jià)于(X+2)vo,???xV-2,或-1VXV3.

x+1x+1x+1

而由x?Vx+6,求得?2VxV3,故4錯(cuò)誤.

?.?(x+2)(x-l)>o,等價(jià)于卜+2>0,即-2VxVl或QI；

x-1xTtl

而(x-2)(x+1)<0,等價(jià)于-1VxV2,故B錯(cuò)誤.

...(x+2)(x-l)>o,等價(jià)于x>-2且xWl,故C錯(cuò)誤；

X-1

2

VA2-A-+1=(V—)+旦>0恒成立，故>4*1，等價(jià)于x-3>2x+l,故。正確，

乙.x-x+1x-x+1

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式不等式的解法，等價(jià)變形，屬于中檔題.

16.(2023?嘉定區(qū)二模)已知A={x|a<0}，8={x|x21},則4n8=⑴.

x

【分析】先求出集合人再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.

【解答】解：由忙1<0,可得OVxWl,

x

所以/={MOVx《i}，

又因?yàn)?={xW—l},

所以4n8={1}.

故答案為：{1}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2023?青浦區(qū)二模)已知函數(shù)丁=/+瓜+。的圖像如圖所示，則不等式(ox+b)(bx+c)(以+〃)V0的

解集是9)U(3,+8)一

/0

【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得。＞0且方程雙2+於匕=0的兩個(gè)根為1和2,由此分析可得

b=-3a,c=2a,則不等式等價(jià)于(x-3)(3x-2)(2x+l)>0,解可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，由函數(shù)卜=加+6"。的圖像，有。＞0,

-=2+1=3

且方程加+6根=0的兩個(gè)根為1和2,則有I3

貝I有b=-3a,c=2a,

合2X1=2

貝I」(ox+6)(6x+c)(cx+a)<O<=>(ax-3a)(-3a+2a)(2a+a)VOO(A:-3)(3A-2)(2x+l)>0,

解可得：〈善或Q3,即不等式的解集為（劣,）U（3，+8）.

故答案為:（4*9）U（3,+8）.

乙0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2023?寶山區(qū)二模）已知函數(shù)f（乂）=—----（。＞0且1）,若關(guān)于x的不等式/（。/+方X+°）＞0

ax+l2

的解集為（1,2）,其中左（-6,1）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（1,2）.

【分析】先解/（x）＞0的解集，再將^斗bx+c當(dāng)做一個(gè)整體，結(jié)合不等式/（*2+加氣）＞0的解集形

式即可化簡(jiǎn)該不等式，從而建立方程，解出。，人的關(guān)系式，最后再由b的范圍即可求得。的取值范圍.

【解答】解：若/（x）＞0,則」一一?＞0,

x,-I2

a+1乙

?"V1,

???當(dāng)0<aVl時(shí)，x>0；當(dāng)a>l時(shí)，A<0,

???不等式f(aW+bx+c)>0的解集為(1,2),

.*.?>1>“f+bx+cVO,且ox2+bx+cVO的解集為(1,2),

:.1和2是方程ax^+bx+c=Q的兩個(gè)根，

/.--L=1+2=3,：,a=--b?

a3

?：hW(-6,1),：.aE(-工，2),

3

又：.aE(1,2),

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2).

故答案為：(1,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)不等式、一元二次不等式的解法，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

x,x)01

19.(2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知函數(shù)/G)滿(mǎn)足：f(x)=]x+1,則不等式f(x)玲)萌勺解

-f(-x),x<0

集為[-1,+8).

【分析】分和xVO兩種情況，寫(xiě)出/(x)的解析式，解分式不等式，即可.

【解答】解：當(dāng)工20時(shí)，/(x)=工=主上工=1?二-20恒成立，所以X20滿(mǎn)足題意；

x+1x+1x+1

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=?/(?x)=-二一=」一，

-x+1-x+1

不等式f(X)卷)潸價(jià)于浸丁費(fèi)0,解得-IWXVO,

綜上所述，不等式的解集為[-1,+8).

故答案為：[-1,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式的解法，分段函數(shù)的解析式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

五.指、對(duì)數(shù)不等式的解法(共3小題)

20.(2023?楊浦區(qū)二模)由函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)，不等式3*+收.遼3的解集是(0,1).

【分析】不等式化為3、W3?/gx,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=3x和y=3-/gx的圖象，利用函數(shù)的圖象求出

不等式的解集.

【解答】解：不等式3、+/gxW3可化為3*W3-/gx,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=3*和y=3-妙的圖象，如圖所示:

由3'=3-/gx,得x=l,

所以由函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)知，不等式3*+/gxW3的解集是(0,1].

故答案為：(0,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

21.（2022?閔行區(qū)二模）不等式2、-5V0的解集為（-8,6坨）.

【分析】根據(jù)題意，y=2》在R上單調(diào)遞增，求解即可.

【解答】解：2x-5<0,

2r<5,丁=2》在R上單調(diào)遞增，

/.A<10g25.

故答案為：（-°°,logz5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

22.（2022?寶山區(qū)二模）已知函數(shù)/（x）=

X+1

3+b

（1）當(dāng)a=6=l時(shí)，求滿(mǎn)足/（x）23*的x的取值范圍；

（2）若y=/（x）的定義域?yàn)镽，又是奇函數(shù)，求y=/（x）的解析式，判斷其在R上的單調(diào)性并加以證

明.

【分析】（1）由題意可得上支_23、從中解得?解此指數(shù)不等式即可求得x的取值范圍；

3x+1+13

（2）由f（0）=0,可求得m/（I）（-1）=0可求得6，從而可得的解析式；利用單調(diào)

性的定義，對(duì)任意XI，X2WR，X|VX2，再作差/（XI）-/（X2），最后判斷符號(hào)即可.

上^—力化簡(jiǎn)得?、）2X分）

【解答】解：（1）由題意,3\3（3+2X3-K0-（2

3叫1

解得-工…（4分）

3

所以xW-1…（（6分），如果是其它答案得5分）

（2）已知定義域?yàn)镽,所以/（0）=￡^=0=。=1,…（7分）

又f（1）4/（-1）=0=6=3,…（8分）

所以/8=分7…（9分）

/2品=—)

對(duì)任意XI，X2WR，X1<X2,

可知/（X】）-f（X2）=—（----------------------）=?2（---------3T'--------）…（12分）

33Xl+l3'+13（3修+1）（3七+1）

因?yàn)閤i〈X2，所以3方-gXl>0,所以/（xi）>/（X2）,

因此/（x）在R上遞減.…（14分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)不等式的解法，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于綜

合題，難度大，運(yùn)算量大，屬于難題.

六.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象（共3小題）

23.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)/（x）=/-6慟+8的單調(diào)減區(qū)間是（-8,-31和10,31.

x2一6x+8YQ

【分析】由題意，/（x）=f-6R+8=,'，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求

2

X+6X+8,X<0

出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

_X2-6X+8,X>0

【解答】解：由題意，/（x）=X2-6|X|+8=-,

2

X+6X+8,X<0

所以當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)/（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,

所以/（x）在［0,3］單調(diào)遞減；在（3,+8）單調(diào)遞增，

當(dāng)xVO時(shí)，函數(shù)/（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-3,

所以/（x）在（-8,-3］單調(diào)遞減；在［3,0）單調(diào)遞增，

綜上，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（?8,?3］和［0,3］.

故答案為：（?8,?3］和［0,3］.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱(chēng)“勇敢者的游戲“，觀(guān)賞性和

挑戰(zhàn)性極強(qiáng).如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門(mén)點(diǎn)4出發(fā)，沿著助滑道曲線(xiàn)f滑

到臺(tái)端點(diǎn)8起跳，然后在空中沿拋物線(xiàn)g（x）="2?20紈-6（x>0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線(xiàn)

段8。的長(zhǎng)度稱(chēng)作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績(jī).已知g（x）=紈2?20仆-6在區(qū)間［0,30］上的最

大值為-30,最小值為-70.

（1）求實(shí)數(shù)a,b的值及助滑道曲線(xiàn)45的長(zhǎng)度.

（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門(mén)點(diǎn)4的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）.

A(起滑門(mén))

【分析】(1)令y=/(x),即可得到?+)2=乩(-gWO,-bWjWO),即可得到了")的幾何意義,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到g(10)=-30,g(30)=-70,即可求出a、6的值，從而求出曲線(xiàn)43的長(zhǎng)

度；

(2)由(1)可得g(x)的解析式，依題意可得加=-120,代入解析式中解出x,即可求出。點(diǎn)坐標(biāo)，

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.

【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)二.五2./(_b<x《O)，令y=/(x),則/+/=必，(-b4M0,-b

qwo),

所以f(x)=-小)2-乂2(-b<x<O)表示以(°，°)為圓心，半徑I的卷圓弧，

因?yàn)間(x)=av2-20ax-b(x>0)由圖象可知函數(shù)開(kāi)口向下,

解得Qa-下，所以篇4x2冗X40=20兀，

4

b=40

BP=—,b=40,助滑道曲線(xiàn)48的長(zhǎng)度為20TT米：

a10