考研高數(shù)講義 新高等數(shù)學(xué)下冊(cè)輔導(dǎo)講義-第十二章上課

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

給定一個(gè)數(shù)列“1，”2’“3,…，/，…將各項(xiàng)依次

OO

相加，簡(jiǎn)記為

n=l

OO

u

即Sn=+〃2+〃3T-----卜〃〃9稱該式為無(wú)窮

n=l

級(jí)數(shù)，其中第幾項(xiàng)叫叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).

級(jí)數(shù)的前〃項(xiàng)和S“=Z散=〃1+〃2+〃3+i+〃〃稱

k=l

為級(jí)數(shù)的部分和。

若limS〃=S存在，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，并稱S為

〃一＞8

OO

級(jí)數(shù)的和，記作若lims〃不存在，則

n=l8

稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。

【例1】（93三）級(jí)數(shù)￡01丁的和為

n=l2

-In3

【答案】------

2-ln3

結(jié)論：等比（幾何）級(jí)數(shù)E產(chǎn)’：

當(dāng)141Vl時(shí)收斂

當(dāng)14IN1時(shí)發(fā)散

二、收斂級(jí)數(shù)的和

若Z%收斂，則其和定義為

n=l

8n

S=￡/=lim￡uk=limSn。

n=l〃784=1〃78

三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

OOOO

(1)若級(jí)數(shù)E%收斂于S,即§=!>〃，則各項(xiàng)

n=ln=l

oo

乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)Ec即也收斂，其和為cS。

n=l

注：級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變

OOOO

(2)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)S=E，則

n=ln=l

OO

級(jí)數(shù)2(〃〃土%)也收斂，其和為S±。。

n=l

注：該性質(zhì)表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減

【例】取〃〃=（-1產(chǎn),Vn=（一1產(chǎn)+1,而〃〃+=0。

（3）在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不會(huì)影響級(jí)

數(shù)的斂散性。

(4)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)

數(shù)的和。

推論：若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散。

注：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂。

【彳列】(1-1)+(1-1)+,,,=0,彳旦1-1+1—1+,,

散。

【例2】判斷級(jí)數(shù)的斂散性：

---1-----1----+1-----1-----+...

V2—1A/2+1V3-1V3+1

K級(jí)數(shù)收斂的必要條件

OO

必要條件：若Z〃〃收斂，貝

n=l

逆否命題：若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必

發(fā)散。

【例】1_2+3_4++1工+

2345n+1

注：并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件

n—8

81111

【例】調(diào)和級(jí)數(shù)￡!=1+++???+!+???

n=l〃23H

【例3】判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂求其和:

8(I)(2)idl-cos^

(1)Zin1+-

n=l\n=lY〃

【答案】（1）發(fā)散；（2）發(fā)散

五、兩個(gè)重要級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)與。級(jí)數(shù)的斂散性

OO

(1)幾何級(jí)數(shù)：當(dāng)|r|vl時(shí)收斂；當(dāng)

n=l

時(shí)發(fā)散.

81(8X)

(2)p級(jí)數(shù)(或?qū)?shù)P級(jí)數(shù))：ET?S\npn'

n=ln\n=2〃n111〃J

當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)P《1時(shí)發(fā)散。

第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

OO

正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若即NO,則稱X即為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

n=l

OO___

收斂定理1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)E〃〃收斂等價(jià)于部分和序

n=l

歹ljs(〃=1,2,…)有界。

ooOO

收斂定理2：（比較審斂法）設(shè)是兩個(gè)

n=ln=l

正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在NEZ+,對(duì)一切〃,N,有

un<kvn（常數(shù)4>0）,則有

OOOO

（1）若強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂，則弱級(jí)數(shù)E4也收斂;

n=ln=l

oooo

（2）若弱級(jí)數(shù)發(fā)散，則強(qiáng)級(jí)數(shù)Ev〃也發(fā)散。

n=ln=l

調(diào)和級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù)。

【例1】判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性

OOOO]

⑴己仔(2)Z----(〃>0皿。1)

n=l〃n=i1+a

【答案】（1）收斂；（2）當(dāng)0<a<l時(shí)，發(fā)散；當(dāng)。>1時(shí)，收斂;

86"OO1

(3)2^-(4)2

n=l7n—5n=lA/Fl?+〃+1

【答案】（3）收斂；（4）發(fā)散;

oo

(5)2

n=l

【答案】（5）收斂

【例2】（97—）

、11

設(shè)%=（一）（〃=??）

2,an+1=-an+12

2an

oo

證明：（I）lima〃存在；（II）級(jí)數(shù)收斂

8n

n=l'+l

【解析】（1）用單調(diào)有界必收斂證明；（2）用比較審斂法證明

收斂定理3：(比較審斂法的極限形式)

OO8"

設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿足lim%=1,則有:

n=ln=l18Vn

(1)當(dāng)0V/<8時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;

OOOO

(2)當(dāng)，=0時(shí)，且￡右收斂時(shí)，Z〃〃也收斂;

n=ln=l

OOOO

(3)當(dāng)2=8時(shí)，且，右發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。

n=ln=l

【例3］判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性

3

（1）—IH丁H------F---------產(chǎn)+…

23V24V3（n+l）A/n

OO1

⑵E—1%（其中常數(shù)p>o）

n=2

【答案】（1）收斂；（2）發(fā)散

oo

【例4】(04—)設(shè)Z%為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中

n=l

正確的是

OO

(A)若limy=0,則級(jí)數(shù)收斂.

n—>8?，

n=l

(B)若存在非零常數(shù)4,使得lim〃*二九則級(jí)數(shù)

n—>oo

Ze發(fā)散?

n=l

oo

(C)若級(jí)數(shù)［%收斂，WlimnX=0.

n=l〃一＞8

OO

(D)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)2,,使得

n=l

limnan=2.

【答案】(B)

oo

收斂定理4：(比值審斂法)設(shè)2%為正項(xiàng)級(jí)數(shù),

n=l

且lim4地=p,則有：

nTgUn

(1)當(dāng)夕VI時(shí),級(jí)數(shù)收斂；

(2)當(dāng)夕＞1或"=8時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

(3)當(dāng)0=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

OOII

【例】P-級(jí)數(shù)E：：

n=inP

【例5】判斷級(jí)數(shù)的斂散性

⑴蒸⑵.空

【答案】（1）收斂；（2）發(fā)散

【例6】(04H)設(shè)有下列命題:

OOOO

①若￡(42“一1+42〃)收斂，貝UE與收斂.

n=ln=l

OOOO

②若2X收斂，則L冊(cè)+ioo收斂?

n=ln=l

〃00

③若則Z即發(fā)散.

，In=l

0000OO

若Z(4+%)收斂，則E%92%都收斂.

n=ln=l

則以上命題中正確的是.

OO5+1)!

【例7】（88三）討論級(jí)數(shù)，的斂散性.

M+1

【答案】收斂.

oo

收斂定理5:(根值審斂法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且

n=l

lim=p,則有：

n—8

(1)當(dāng)"Vl時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

(2)當(dāng)夕＞1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散;

(3)當(dāng)"=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

OO1|

【例】P-級(jí)數(shù)

n=inP

【例8】判斷級(jí)數(shù)的斂散性

8.3〃oo^2n-l

(1)(2)Z

n=l4〃n=l(In-1R2”T

【答案】（1）收斂；（2）發(fā)散

-、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

設(shè)肛>0,〃=1,2,…，則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)

數(shù)〃〃2+〃3---1"(-1)〃…稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。

收斂定理6：(萊布尼茨判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足

條件：(1)un>un+l5=1,2,…);

(2)lim=0,

n—g

oo

則級(jí)數(shù)收斂

n=l

【例9］用萊布尼茨判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性：

OOn-1Inn

2(—1)

n=2

【解析與答案】單調(diào)性，極限

【例10】(95—)設(shè)%=(-L)〃ln[l+4=),則級(jí)數(shù)

I7n)

OO00

(A)z〃〃與Z說(shuō)都收斂.

n=ln=l

0000

(B)與z說(shuō)都發(fā)散.

n=ln=l

0000

(C)z%收斂而2*發(fā)散.

n=ln=l

0000

(D)z〃〃發(fā)散而E謚收斂.2。

n=ln=l

三、絕對(duì)收斂與條件收斂

OOOO

定義：對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)2%,若收斂，則稱原

n=ln=l

OO

級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若原級(jí)數(shù)收斂，但取絕對(duì)值

n=l

OO

以后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱原級(jí)數(shù)條件收斂。

n=l

OO181

【例】E(-l)i,條件收斂；￡二為絕對(duì)收斂。

n=l〃n=l〃

定理7絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。

【例11】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

OO

(1)￡(-l)n—(2)Z(-1尸

n=lCn=l

OO[

1三sinner

(3)Z(-1)"-—(4)'4-

n=lnln=ln

【答案】（l）絕對(duì)收斂；（2）條件收斂；（3）絕對(duì)收斂；（4）絕對(duì)收斂

ook+n

【例12】（87—）設(shè)常數(shù)左＞0,則級(jí)數(shù)，（一1）

n=l

（A）發(fā)散.（B）絕對(duì)收斂.

（C）條件收斂.

（D）收斂或者發(fā)散與由勺取值有關(guān).

【答案】（C）

【13](90—)設(shè)。為常數(shù)，則級(jí)數(shù)會(huì)迎髻一1

n=lnv

(A)絕對(duì)收斂.(B)條件收斂.

(C)發(fā)散.(D)收斂性與a的取值無(wú)關(guān).

【答案】(C)

【例14](92—)級(jí)數(shù)￡(T)"(l-cos2)(常數(shù)a>o)

n=l〃

(A)發(fā)散.(B)條件收斂.

(C)絕對(duì)收斂.(D)收斂性與。有關(guān).

【答案】(C)

oo

[15015](94-)設(shè)常數(shù)1>0,且級(jí)數(shù)￡片收斂,

n=l

則級(jí)數(shù)

n=lA/n+2

(A)發(fā)散.(B)條件收斂.

(C)絕對(duì)收斂.(D)收斂性與4有關(guān).

【答案】(C)

oo

【例16](96—)設(shè)a”>0(〃=1,2,…)且Z冊(cè)收斂,

n=l

w

常數(shù)公(0百，則級(jí)數(shù)E(-l)(ntan^)?2w

2n=in

(A)絕對(duì)收斂.(B)條件收斂.

(C)發(fā)散.(D)斂散性與2有關(guān).

【答案】(A)

【例17](96H)下述各選項(xiàng)正確的是

OOOOOO

(A)若2片和2W都收斂，則%)2收斂.

n=ln=ln=l

OOOOOO

(B)若z%乙|收斂,則A說(shuō)與zW收斂?

n=ln=ln=l

(C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則%之上

n=l

oo

(D)若級(jí)數(shù)收斂，且〃%5=1,2,…),則

n=l

OO

級(jí)數(shù)X%也收斂.

n=l

【答案】(A)

第三節(jié)幕級(jí)數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

設(shè)〃〃（%）5=1,2,…）為定義在區(qū)間/上的函數(shù),

OO

則稱=〃i（%）+〃2（%）+……

n=l

為定義在區(qū)間/上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

oo

對(duì)％o￡1,若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z4(xo)收斂，稱與為其

n=l

收斂點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域；

OO

若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡%(與)發(fā)散，稱與為其發(fā)散點(diǎn),

n=l

所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域。

在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是”的函數(shù)

5(x),稱它為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并寫成

OO

s(x)=

n=l

oo

【例】等比級(jí)數(shù)Ex=1+X+%?4----FXnH

n=0

二、募級(jí)數(shù)及其收斂性

形如：

+（X-Xg）W+,??

的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為幕級(jí)數(shù)，其中數(shù)列

an5=0,1,…）稱為幕級(jí)數(shù)的系數(shù)。

下面著重討論勺=0的情形，即

OO2〃

2n

=?0+arx+a2xH------FanxH—

w=0

OO

定理1（阿貝爾定理）若幕級(jí)數(shù)Z%/在x=%

n=0

點(diǎn)收斂，則對(duì)滿足不等式X|<|x0|的一切X幕級(jí)數(shù)

都絕對(duì)收斂。反之，若當(dāng)％時(shí)該幕級(jí)數(shù)發(fā)散，

則對(duì)滿足不等式|x|>|小1的一切X,該寨級(jí)數(shù)也發(fā)

散。

K稱為收斂半徑，（-凡⑷稱為收斂區(qū)間。（_凡?加

上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域。

定理2若發(fā)內(nèi)〃的系數(shù)滿足則

n=0an

(1)當(dāng)"。0時(shí)，R=y-

(2)當(dāng)"=0時(shí)，尺=8；

(3)當(dāng)夕=8時(shí)，R=。。

【例1】(95—)幕級(jí)數(shù)￡h的收斂

n=12n+(-3f

半徑A=________

【答案】V3

【例2】（02三）設(shè)幕級(jí)數(shù)￡4工〃和￡2工〃的收

n=ln=l

斂半徑分別為彳與1,則幕級(jí)數(shù)￡號(hào)工〃的收斂半

33n=i，I

徑為

(A)5.(B)再(C)(D)

335

【答案】(A)

【例3］求幕級(jí)數(shù)E三的收斂半徑及收斂域。

gon2n

【答案】收斂域?yàn)椋?2,2)

【例4】（求幕級(jí)數(shù)E生二；的收斂域.

n=in<3

【答案】［0,6）

【例5】（若￡?！?1）〃在*=-1處收斂,

n=l

則此級(jí)數(shù)在x2處（）

(A)條件收斂(B)絕對(duì)收斂

(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定

答案：(B)

三、幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算

OOOO

定理3設(shè)幕級(jí)數(shù)》”"及Z髭”"的收斂半徑分

n=0M=0

別為用,&3令氏=111加｛尺1，/^｝，則有：

8OO

2￡axn=（X為常數(shù)）|x<Ri

n=0nn=0

000000

土Ebxn=X（a±b）xn\x\<R

w=0n=0nn=0nn

000000

（2冊(cè)工"）（￡bxn）=Hcxn\x<R

w=0n=0nn=0n

（其中c〃=sab_）

4=0knk

oo

定理4若塞級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0,則其和

M=0

函數(shù)S(*)在收斂域上連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù)，且在

收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，運(yùn)算前后

收斂半徑相同：

oooo

S\x)=X(axn)f=xe(—R,R)

n=0nn=l

OOOO"

JoS(x)dx=￡a^xndx=Sxn+1

n=0nn=0〃+1

XG(—/?,!?)

OO

[例6](97-)設(shè)幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為3,

n=0

則幕級(jí)數(shù)ZsJx-l嚴(yán)的收斂區(qū)間為

n=l

【答案】(—2,4)

第四節(jié)函數(shù)展開成塞級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)求和

一、泰勒級(jí)數(shù)

復(fù)習(xí)泰勒中值定理：若函數(shù)〃*）在X。的某鄰域內(nèi)

具有〃+1階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)有:

frr()

/(x)=/(x)+/，(x)(x-x)+^-—x^(x-x)2+---

000/?0

?廣）（/）

(x-xJl+R(x)

n\n

泰勒級(jí)數(shù)的定義：若/（"）在/的某個(gè)鄰域內(nèi)具有

任意階導(dǎo)數(shù)，則稱〃

z2

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^°\x-x0)+--

1

+(x-XQy+…

n\

為了(%)的泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)*0=0時(shí)泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥

克勞林級(jí)數(shù)。

函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件(數(shù)一)：設(shè)/(%)

在X。的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則/(%)在該

鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是『(")

的泰勒余項(xiàng)

5+1)?

((%)=(x-xr+i70(〃T8),”是該鄰

5+1)!o

域中的點(diǎn)，4介于/與“之間).此時(shí)，有泰勒級(jí)數(shù)

nf^(Y}

xn

f(x)=/(x0)+Z—-o)+凡(x)

k=ik?

(n)(Xo)

=/u0)+E-T(x-x0ro

n=l〃?

二、幾個(gè)常見函數(shù)的麥克勞林展開式

x￡三■廣￡(-8,+8);

(1)e=

〃=0〃?

(2)ln(l+x)=Z-------xn+\xe(-1,“；

n=0〃+1

OO

(3)sinX二工

?=o金%—+8卜

oo(T)"小

(4)cosx=E(-8,+8)；

n=0(2〃)！

1oo

⑸XjSD；

(6)(1+x)a=1+ax+——x2H—

2!

。(。一1)???(。一〃+l)

H---------------------------X+???,％￡U)

n\

⑺-^-=J（-irx\xG（-i,i）o

1+n=0

三、函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)

展開方法

［直接展開法一利用泰勒公式

［間接展開法一利用已知其級(jí)數(shù)展開式的函數(shù)

1、直接展開法

由泰勒級(jí)數(shù)理論可知，函數(shù)/(")展開成幕級(jí)數(shù)的

步驟如下：

第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在”=0處的值;

第二步寫出麥克勞林級(jí)數(shù)，并求出其收斂半

徑段

第三步判別在收斂區(qū)間(-凡氏)內(nèi)是否

l〃i一m＞84(%)

為Oo

【例1】將八%)=向展開成X的幕級(jí)數(shù)。

【答案】

2、間接展開法

具體方法：利用一些已知的函數(shù)展開式及幕級(jí)數(shù)

的運(yùn)算性質(zhì)，將所給函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)。

【例2】(87H)將函數(shù)/⑴二七擊展開通

級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.

【答案】〃x)=￡尤"+1￡oo(i+Jr)H，

其收斂區(qū)間為(—1,1).

/:=!ZH=0Z

【例3】(95三)將函數(shù))=111(1一工-2/)展成“的

幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.

gr_iV+1_9n「11、

【答案】ln(l-x-2/)=￡」!-------x"，收斂區(qū)間為一個(gè)二.

M〃L22)

1+X

【例4】(89—)將函數(shù)/(x)=arctan展為X的

幕級(jí)數(shù).

【答案】生+之仁%2"+1,

4七2〃+1

【例5】(94—)

將函數(shù)/(%)=-ln^+X+—arctanx-%展開成x的

41-x2

寨級(jí)數(shù).

oo471+1

【答案】=~7(—1<X<1)

M4〃+l

【例6】將「平山展成紙幕級(jí)數(shù)。

【答案】F(x)=y上丫-----x2n+'(―8<X<+8)

念(2〃+1)!2//+1

K級(jí)數(shù)求和

（一）孱級(jí)數(shù)求和

具體方法：利用已知幕級(jí)數(shù)的展開式間接求解和

函數(shù)。

OO

【例7］求幕級(jí)數(shù)￡（--2的和函數(shù)。

n=l

'2—]

【答案】—^7,X€(T,1)

(1+X)

【例8】求幕級(jí)數(shù)￡皿由工”1的和函數(shù)。

n=l2

【答案】擊—D

ooIn

【例9】求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

n=l〃

【答案】-ln(l-x2),XG(-1,1)

oo2n

【例10】求幕級(jí)數(shù)￡（-1）——的和函數(shù)。

n=ln(2n-l)

【答案】-2xarctanx+ln(l+d),xe[-1,1]

oo

【例11]（90—）求塞級(jí)數(shù)t（2〃+l）/的收斂域,

n=0

并求其和函數(shù).

]+X

【答案】收斂域是（一1,1）；5（幻=丁卞，

X

【例12】(05三)求幕級(jí)數(shù)，―1—-1在區(qū)

”=八2〃+1)

間內(nèi)的和函數(shù)S(x).

【答案】S(x)=<21n￡-T^7'?昨(0』)，

0,x=0

OO1

【例13】（87—）求塞級(jí)數(shù)的收斂域,

n=in2

并求其和函數(shù).

2

【答案】收斂域?yàn)閇一2,2),S(x)=2xln——,xe[-2,2).

2-x

（二）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和

具體方法：選擇適當(dāng)?shù)哪患?jí)數(shù)求和，然后將、的數(shù)

值帶入求值。

【例⑷求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Nd）的和。

【答案】—ln(V2+l)

2

OOfl

[1501512(96-)求級(jí)數(shù)E2-”的和?

n=2(M2-l)2W

53

【答案】---ln2

84

【例16】（93—）求級(jí)數(shù)￡（~0：（嗎二十1）的和.

n=02

22

【答案】—

27

第五節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)（數(shù)一）

一、函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)

（1）"X）在［-兀，句上的傅里葉級(jí)數(shù)定義為

oo

cosnx

/(%)?2+Z+bnsinnx)；

2n=l

其中"'71

f(x)cosnxdx^n=0,1,2,…

-71

bn=~rf(x)sinndx,n=1,2,稱為/(x)的

兀J-71

傅里葉系數(shù)。

（2）若（1）中的區(qū)間換為一般的[一,/],則

OO

/（%）?？+Z

x+bnsniin-x5

n=l\

1rlIm

其中-I/(x)cos-xdx^n=0,1,2,…

IiI

I/?i〃兀

bn=-I/(x)sin—xdx,n=l,2--,稱為f(x)

II<

的傅里葉系數(shù)。

【例1】（93—）設(shè)函數(shù)/（%）=%%+，（-乃vxv%）

的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

OQ

。0

+Z(%cosnx+bnsinnx),則其中系數(shù)4的值

n=l

為—

【答案】42

3

【例2］設(shè)/(%)是周期為2%的周期函數(shù)，它在

［-7T,4］上的表達(dá)式為

X,-7T<X<0?

f(x)=<,n//，將/(%)展成傅里葉

2X,0<X<7T

級(jí)數(shù)。

二、狄利克雷收斂定理

設(shè)函數(shù)/(X)在［TJ］上連續(xù)或只有有限個(gè)第

一類間斷點(diǎn),并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),則/(%)

的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且

(D當(dāng)X是/(*)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于/(%);

(2)當(dāng)％是/(X)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于

〃x-O)+/(x+O)

2，

(3)當(dāng)％=±/時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于/"+°)+〃'一°)。

2

_.八.—1,-7T<X<0..7~13?

w【例73】求/(“)={，以2%為周期

[1+],Q<X<7T

的傅里葉級(jí)數(shù)在”=0,1兩點(diǎn)處的值。

【例4】(-)設(shè)是周期為2的周期函數(shù),

它在區(qū)間(-1,1］上定義為/(*)=：一：：：：：'，則

了(“)的傅里葉級(jí)數(shù)在”=1處收斂于

3

【答案】-

2

三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

(1)若/(X)在［TJ］是奇函數(shù),EP/(-x)=-/(x),

其傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)，即%=0,?=0,1,2,-.

oo

?么一4-f.?2fIr.W7T[

/(%)ZsinX,其中=7]。,"'口了工也

n=lI

(2)若〃x)在是偶函數(shù),即f(r)=f(x),

其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)，即d=0,〃=0」,2,…,

a_c、OO〃兀

了(%)?寸COS-X,

2n=iI

其中=—j/(x)cos-xdx.

/。I

(3)如果/(%)是定義在［0用上的函數(shù)，將其作奇

延拓，就可利用(1)將其展開成正弦級(jí)數(shù)；將其

作偶延拓，就可利用(2)將其展開成余弦級(jí)數(shù).

【例5】(89一)設(shè)函數(shù)=0<x<l,而

OO

S(x)=bnsinn7rx,-8<x<+8.其中

n=l

b=2\/(x)sinn^Jx,n=1,2,3,???，貝l]S(——)為

nJo2

1

(A)T(B)一(D)

⑹T2

【答案】（B）

[例6](0一)將函數(shù)/(x)=l—，(0W%<%)展

二iV1

開成余弦級(jí)數(shù),并求的和

n=l〃

本章強(qiáng)化練習(xí)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別

1、(11三)設(shè)也｝是數(shù)列，則下列命題正確的是

()

oo

oo_____

(A)若收斂，則Z(%1T+%)收斂

n=ln=l

0000

(B)若收斂，則z%收斂

n=ln=l

0000

(C)若E%收斂，則收斂

n=ln=l

00oo

(D)若Z(%T-%)收斂，則Z%收斂

n=ln=l

答案：(A)

2、(09-)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列!{〃“},也}，若理a/°，

貝IJ()

OOOO

(A)當(dāng)“收斂時(shí)，“收斂

n=ln=l

OOOO

(B)當(dāng)z么發(fā)散時(shí)，z。/.發(fā)散

n=ln=l

oooo

(O當(dāng)z也i收斂時(shí),z毗收斂

n=ln=l

OOOO

(D)當(dāng)￡也|發(fā)散時(shí),z。;照發(fā)散

n=ln=l

答案：(C)

oo

3、(06-H)若級(jí)數(shù)￡”收斂，則級(jí)數(shù)()

n=l

OOoo

(A)Zk畋斂(B)Z(T)%〃收斂

n=ln=l

OOOO|

(C)y收斂.(D)Z"嘰收斂.

n=ln=l/

答案：(D)

oo

4、(05三)設(shè)〃>0/=l,2,…，若發(fā)散,

n=l

OO

￡(-1廣％〃收斂，則下列結(jié)論正確的是

n=l

oooo

(A)收斂,242〃發(fā)散.

n=ln=l

OOoo

(B)Z“2〃收斂，1>2〃-1發(fā)散?

n=ln=l

oooo

（C）2（。2〃-1+。2〃）收斂（口）￡（。2〃一1-。2〃）收斂?

n=ln=l

一、5a+aa-a

5、（03-）設(shè)。〃=^^,/=^^,〃=1,2產(chǎn)?,

則下列命題正確的是

OOOOOQ

（A）若Z冊(cè)條件收斂，則Epn與E冊(cè)都收斂.

n=ln=ln=l

OOOOoo

（B）若Z冊(cè)絕對(duì)收斂,則Zp〃與E冊(cè)都收斂.

n=ln=ln=l

oooooo

(c)若z冊(cè)條件收斂，則Zp〃與E劣斂散性都

n=ln=ln=l

不定.

oooooo

(D)若L冊(cè)絕對(duì)收斂，則Ep〃與z劣斂散性都

n=ln=ln=l

不定.

答案：(B)

6、(04—)設(shè)有方程*"+內(nèi)-1=0,其中〃為正整

數(shù).證明此方程存在唯一正實(shí)根乙,并證明當(dāng)a>l

OO

時(shí)，級(jí)數(shù)￡琮收斂.

n=l

二、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求解

1、(11一)設(shè)數(shù)列｛6｝單調(diào)遞減，

=0,S==1,2,...)無(wú)界，則帚級(jí)數(shù)

nn

ik=1

之X(x-1)"的收斂域()

k=l

(A)(-1,1](B)[-1,1)

(C)[0,2)(D)(0,2]

答案：（C）

oon-(-l)n

2、（09三）幕級(jí)數(shù)￡

2的收斂半徑

n=l

為.

答案：e

oo

3、（08—）已知幕級(jí)數(shù)WX（%+2）〃存在x=0處收

?=0

oo

斂，在*=-4處發(fā)散，則幕級(jí)數(shù)fX（x-3）”的收

〃=0

斂域?yàn)镺

答案：（1,5]

oo（工-2）2

4、（92H）級(jí)數(shù)￡的收斂域?yàn)?/p>

n

n=ln4

答案：（0,4）

三、幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)求解

8(-if1

1、(10-)求幕級(jí)數(shù)的收斂域及和

M2〃一1

函數(shù).

答案：收斂域?yàn)閇T[]；和函數(shù)為xarctanx,xe[-1,1]

oo(-1廣…

2、(06H)求募級(jí)數(shù)￡的收斂域及和

n=l〃(2〃-1)

函數(shù)s(%).

答案：收斂域?yàn)?/p>

和函數(shù)S(x)=2x2arctanx-xln(l+x2),xG[-1,1]

oo

3、(03H)求幕級(jí)數(shù)1+2(-1)〃=(國(guó)＜1)的和函

n=i2n

數(shù)及其極值.

答案：/(x)=l—；ln(l+尤2)(|劉＜1),極大值為1

4、求下列幕級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù):

(D

念n+1

l,x=0,

答案：(1)(-1,1)S(x)=二_金(1—),。＜小1.

(1-X)X

oo

(2)^n(n+l)xn

n=l

2x

答案：(2)(—1,1)S(M]X3，T<X<1

I、函數(shù)展開成塞級(jí)數(shù)

1

…。7三)將函數(shù)〃展開成一

的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.

答案：11?［「［產(chǎn)1+萬(wàn)(丁T)卜"〕*/一八1)”'六㈠，,3

2、(06-)將函數(shù)〃月=」^展開成”的幕

級(jí)數(shù)。

1g1

答案：/u）=-E/一（—i）"

J〃=oL2_

3、(03-)將函數(shù)/(%)=arctan共五展開成”的

ooz-g\n

幕級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)￡聶占的和.

姿心取、兀cF(T)"4"x2"+i(-l)n兀

答案：工-------:---1

/(-V)=-■-22'12，.乙y

4ti2/J+I〃=02九+17

五、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題

1V(