備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)106離散型隨機變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差含詳解

專題10.6高敝型應(yīng)機變量及劣分布列、教學(xué)期望與方差

三）題型目錄

題型一離散隨機變量

題型二求分布列

題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用

題型四求離散隨機變量的均值與方差

題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用

題型六決策問題

/典例集練

題型一離散隨機變量

例i.下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）

A.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和

B.某人早晨在車站等出租車的時間

C.連饃不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)

D.袋中有2個黑球6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性

例2.（多選）下面給出四個隨機變量，其中是離散型隨機變量的為（）

A.高速公路某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X

B.一個沿直線y=x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置y

c.某景點7月份每天接待的游客數(shù)量

D.某人一生中的身高X

舉一反三

練習(xí)1.下面給出四個隨機變量：

①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)九

②一個沿X軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在X軸上的位置人

③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X；

④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y.

其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

練習(xí)2.（多選題）下列變量：

①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為X；

②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X；

③某水電站觀察到一天中長江的水位為X；

④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為X.

其中是離故型隨機變量的是（）

A.①中的XB.②中的X

C.③中的XD.④中的X

練習(xí)3.侈選）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用J表示甲的得分，則伯=3｝

表示的可能結(jié)果為（）

A.甲贏三局

B.甲向一局輸兩局

C.甲、乙平局三次

D.甲筑一局平兩局

練習(xí)4.下列隨機變量中是離散型隨機變量的是,是連續(xù)型隨機變量的是（填序號）.

①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；

②某水文站觀察到一天中江水的水位X；

③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X;

④某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.

練習(xí)5.盒中有9個正品和3個次品零件，每次從中取一個零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品

為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為1t

（1）寫出J的所有可能取值；

⑵寫出｛€=1｝所表示的事件.

題型二求分布列

例3.(多選)已知隨機變量1f的分布列為:

4-2-10123

134121

P

121212121212

若P($<X)=￡,則實數(shù)x的值可以是()

A.5B.7

C.9D.10

例4.不透明的盒子中有6個球，其中4個綠球，2個紅球，這6個小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出

1個球，取出紅球即停.記X為此過程中取到的綠球的個數(shù).

⑴求尸(X=2)；

(2)寫出隨機變量X的分布列，并求E(X).

舉一反三

練習(xí)6.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游

覽哪個景點互不影響，設(shè)4表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，則49等于

練習(xí)7.擲兩顆骰子，用X表示兩點數(shù)差的絕對值.求X的分布.

練習(xí)8.同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù).設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點數(shù)分別為％,X2.記

X=max{X?X2}.

(1)求X的概率分布；

⑵求P(2<X<5).

練習(xí)9.同學(xué)甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面

朝上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進入闖關(guān)界面后能夠

成功通過關(guān)卡的概率均為:，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行.

(1)同學(xué)甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；

⑵同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為g,求g的分布列.

練習(xí)i().某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎機會.在一個

不透明的盒子中放有四個大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標有1,2,3,5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒

中一次性抽取兩個小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個小球上的數(shù)字分別為3",若為奇數(shù)即為中獎.

(1)求某顧客甲獲獎的概率；

(2)求隨機變量X=|g-*的分布列與數(shù)學(xué)期望E(x).

題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用

例5.(多選)隨機變量X的概率分布如表，其中2b=a+c,且c時，

4

A.a+b+c=lB.a=—

7

例6.設(shè)隨機變量X的分布列為

則當。在(0,1)內(nèi)增大時()

A.0X)增大

B.必X)減小

C.D(X)先減小后增大

D.O[X)先增大后減小

舉一反三

練習(xí)11.已知隨機變量X的分布列為P(X=/)=2G=1,2,3,4,5),則尸(2<YV5)=()

a

練習(xí)12.下列表中能稱為隨機變量X的分布列的是()

練習(xí)13.已知隨機變量，的分布列為尸(7=幻=，成伏=123),設(shè)尸(x)=PC4x),則尸)

2

A.2B.C.D.

2363

練習(xí)14.設(shè)隨機變量J的分布列如下:

412345678910

aa3

Pq2出。5%%%%。10

且數(shù)列｛6｝滿足P化")=kak｛k=1,2,3,JO),則旦教=

練習(xí)15.設(shè)隨機變量4的概率分布為P（J=￡|=皆，。為常數(shù)，k=l,2,3,4,則。=

題型四求離散隨機變量的均值與方差

例7.甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏

的概率都是g,隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，則（）

26ft

A.E(X)=^,D(X)=^B.E(X)=—,D(X)=—

yoi9v781

22R

C.E(X)=-,D(X)=-D.E(X)=—,D(X)=—

Vo19v781

例8.甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃.已知每次

投籃甲、乙命中的概率分另呢，1.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為0貝叱的方差為一.

舉一反三

練習(xí)16.（多選）設(shè)0<xvg,隨機變量的分布列如下:

A.儀4）減小B.七仁）增大

C.。q）減小D.。代）增大

練習(xí)17.隨機變量X的概率分布列如下:

X-101

Pabc

其中4,八C成等差數(shù)列，若隨機變量X的期望4X)=3,則其方差D(x)=.

練習(xí)18.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦.中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參

加男子100米比賽.比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級才能進入決賽.已知甲在預(yù)賽和

半決賽中晉級的概率均為7；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為三和;；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別

452

為〃和3p,其中1<〃<5甲、乙、丙三人晉級與否互不影響.

226

⑴試比較甲、乙、丙三人進入決賽的可能性大??；

(2)若甲、乙、丙三人都進入決賽的概率為:，求三人中進入決賽的人數(shù)4的分布列和期望.

O

練習(xí)19.甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,甲乙約定比賽采取“3局2

勝制”.

(1)求這場比賽甲獲勝的概率；

(2)這場比賽甲所勝局數(shù)的數(shù)學(xué)期望(保留兩位有效數(shù)字)；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，計算這場比賽甲所勝局數(shù)的方差.

練習(xí)20.喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識競賽，賽制規(guī)定：共進行5輪比賽，每輪比賽每個班可以從A8

兩個題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個班的題目必須來自

同一題庫，A題庫每題20分，8題庫每題30分，一班能正確回答題庫每題的概率分別為'3、i1二班能正確

回答A8題庫每題的概率均為,，且每輪答題結(jié)果互不影響.

(1)若一班前兩輪選A題庫，后三輪選8題庫，求其總分不少于100分的概率；

(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了8題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成A

題庫，二班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為X,求X的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個班贏

下這場比賽？

題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用

例9.設(shè)隨機變量X的分布列如下(其中O(X)表示X的方差，則當/從0增大到1時()

X012

1-P

PP_

222

A.A（X）增大B.aX）減小

C.O（X）先減后增D.O（X）先增后減

例10.（多選）已知隨機變量X的分布列為

X-101

Pm0.20.3

若隨機變量y=aX+b（a>0,bwR）,E（K）=10,D（K）=19,則下列選項正確的為（）

A.m=0.5B.a=6C.6=11D.P（r=16）=0.3

舉一反三

練習(xí)21.（多選）已知離散型隨機變量X的分布列為

若離散型隨機變量y滿足y=2x+i,則下列說法正確的有（）

A.P（|X|=1）=|B.E（x）+E（y）=oC.°（y）=ED.尸（丫=1）=；

練習(xí)22.（多選）若隨機變量X服從兩點分布，其中P（X=0）=g,E（X）,O（X）分別為隨機變量X的均值與方

差，則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=1）=￡（X）B.E（3X+2）=4

Q

C.仇3X+2）=4D.D（X）=^

練習(xí)23.（多選）已知隨機變量g的分布列如下表所示，且滿足E（4）=0,則下列選項正確的是（）

A.0q）=lB.。（冏）=1C.D（2^+l）=4D.0（3閭-2）=6

練習(xí)24.（多選）設(shè)某項試驗成功率是失敗率的2倍，若用隨變量X描述一次試臉的成功次數(shù)，E（X）,￡）（X）分

別為隨機變量的均值和方差，則（）

14

A.P（X=0）=-B.E（2X）=-

9

C.Q（X）苦D.￡＞（3X+1）=3

練習(xí)25.已知隨機變量X的分布列為

X-2-1012

1

Pm

43520

⑴求小的值；

⑵求E（X）；

（3）若y=2x—3,求照）.

題型六決策問題

例11.從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的

概率為P,正確答案是三個選項的概率為（其中.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨立解題.

（1）假設(shè)每道題甲全部選對的概率為:，部分選對的概率為），有選錯的概率為。；乙全部選對的概率為!，部分選

2446

對的概率為;，有選錯的概率為!，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；

（2）對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選

項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇

幫助一人做出決策即可）.

例12.核酸檢測也就是病毒力附和腦4的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀

乙肝、丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.

某研究機構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗，預(yù)備12份試驗用血液標本，從標本中隨機取出〃份

分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標本均為陰

性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：2份陽性，10份

陰性.若每次檢測費用為。元(。為常數(shù))，記檢測的總費用為X元.

(1)當〃=3時，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在〃=3與〃=4中選其一，應(yīng)選哪個？

舉一反三

3

練習(xí)26.王師傅用甲、乙兩臺不同型號的車床加工某種零件，已知用甲車床加工的零件合格的概率為用乙車床

加工的零件合格的概率為T，且每次加工的零件是否合格相互獨立.

(1)若王師傅用甲、乙車床各加工2個零件，求他加工的零件恰好有3個合格的概率；

(2)若王師傅加工3個零件，有以下兩種加工方案：

方案一：用甲車床加工2個零件，用乙車床加工1個零件；

方案二：每次用一臺車床加工1個零件，若加工的零件合格，則下次繼續(xù)用這臺車床加工，否則下次換另一臺車床

加工，且第一次用甲車床加工.

若以加工的合格零件數(shù)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該選用哪種方案？

練習(xí)27.2022年5月14日6時52分，編號為8-001J的C919大飛機從上海浦東機場第4跑道起飛，于9時54分

安全降落，標志著中國商飛公司即將交付首家用戶的首架C919大飛機首次飛行試驗圓滿完成.C919大飛機某型號

的精密零件由甲、乙制造廠生產(chǎn)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為A,B,C三個等級，其中A,8等級的產(chǎn)品為合格品，C等級

的產(chǎn)品為不合格品.質(zhì)監(jiān)部門隨機抽取了甲、乙制造廠的產(chǎn)品各400件，檢測結(jié)果為：甲制造廠的合格品為380件，

甲、乙制造廠的A級產(chǎn)品分別為80件、100件，兩制造廠的不合格品共60件.

⑴補全下面的2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a-0.01的獨立性檢驗，能否認為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)？

合格品不合格品合計

甲制造廠400

乙制造廠400

合計800

(2)若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為200元，每件A,8等級的產(chǎn)品出廠銷售價格分別為400元、320元，C等級的產(chǎn)品必

須銷毀，且銷毀費用為每件20元.用樣本的頻率代替概率，試比較甲、乙制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利的

大小.

附：/=______〃叱歷)2_______

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

練習(xí)28.某公司對新生產(chǎn)出來的300輛新能源汽車進行質(zhì)量檢測，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進行一次

質(zhì)量檢測，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測不合格的

汽車需要重新由甲、乙兩人各進行一次質(zhì)量檢測，重新檢測后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測不合

格，也會被列為不合格汽車.假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測相互獨立，每一次檢測不合格的概率為:

(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率P；

(2)每輛汽車不需要重新檢測的費用為60元，需要重新檢測的前后兩輪檢測的總費用為100元，求每輛汽車需要檢

測的費用X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

(3)公司對本次質(zhì)量檢測的預(yù)算支出是4萬元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測，實際費用是否會超出預(yù)算？

練習(xí)29.某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草布保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價

格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量(單位：十盒)，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量/十盒78910

天數(shù)812164

假設(shè)草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.

(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X(單位：十盒)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？

練習(xí)30.某學(xué)校組織“中亞峰會”知識競賽，有A8兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中

隨機抽取一個問題回答.若回答錯誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，

無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得”(0v“4100,meN)分，否則得0分；B類

問題中的每個問題回答正確得〃(0V〃K100，〃￡N)分，否則得0分.已知學(xué)生甲能正確回答A類問題的概率為％,能

正確回答B(yǎng)類問題的概率為P2,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

⑴若學(xué)生甲先回答A類問題，，〃=20,〃=80,四=0.8,0=0-6,記*為學(xué)生甲的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

(2)若〃=2〃?,n=2〃2>0,則學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學(xué)期望最大？并說明理由.

專題10.6離散型隨機變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差

三）題型目錄

題型一離散隨機變量

題型二求分布列

題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用

題型四求離散隨機變量的均值與方差

題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用

題型六決策問題

/典例集練

題型一離散隨機變量

例i.下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）

A.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和

B.某人早晨在車站等出租車的時間

C.連饃不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)

D.袋中有2個黑球6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性

【答案】C

【分析】根據(jù)離散型隨機變量定義依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為5,是

常量，A錯誤；

對于B,等出租車的事件是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；

對于C,連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)是有限個或可列舉的無限多個，是離散型隨機變量，C正確：

對于D,事件發(fā)生的可能性不是隨機變量，D錯誤.

故選：C.

例2.（多選）下面給出四個隨機變量，其中是離散型隨機變量的為（）

A.高速公路某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X

B.一個沿直線y=x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置丫

c.某景點7月份每天接待的游客數(shù)量

D.某人一生中的身高X

【答案】AC

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X有限，且可一一列出，是離散型隨機變量，故A正確

對于選項C：某景點7月份每天接待的游客數(shù)量有限，且可一一列出，是離散型隨機變量，故C正確：

對于選項B、D,都是某一范圍內(nèi)的任意實數(shù)，無法一一列出，不符合離散型隨機變量的定義，故B、D錯誤.

故選：AC.

舉一反三

練習(xí)1.下面給出四個隨機變量：

①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)4;

②一個沿x軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在x軸上的位置H；

③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X:

④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y.

其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義判斷即

【詳解】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；

對于②，沿x軸進行隨機運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；

對于③，一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；

對于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，

所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③.

故選：B.

練習(xí)2.（多選題）下列變量：

①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為X；

②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X；

③某水電站觀察到一天中長江的水位為X；

④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為X.

其中是離散型隨機變量的是（）

A.①中的XB.②中的X

C.③中的XD.④中的X

【答案】ABD

【分析】利用離散型隨機變量的概念，對選項逐一分析判斷即可得解.

【詳解】因為所有取值可以一一列出的隨機變量為離散型隨機變量，

而①@④中的隨機變量X的可能取值，我們都可以按一定的次序一一列出，

因此它們都是離散型隨機變量；

而③中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，

因此它不是離散型隨機變量.

故選：ABD.

練習(xí)3.（多選）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得。分，共下三局.用4表示甲的得分，則彷=3｝

表示的可能結(jié)果為（）

A.甲贏三局

B.甲原一局輸兩局

C.甲、乙平局三次

D.甲贏一局平兩局

【答案】BC

【分析】列舉出｛4=3｝的所有可能的情況，由此得解.

【詳解】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，

所以｛4=3｝有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.

故選：BC.

練習(xí)4.下列隨機變量中是離散型隨機變量的是,是連續(xù)型隨機變量的是（填序號）.

①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；

②某水文站觀察到一天中江水的水位X；

③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X；

④某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.

【答案】???②

【分析】利用離散型隨機變量的定義與連續(xù)型隨機變量的定義判斷求解.

【詳解】①③④中的隨機變量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；

②中的隨機變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，故是連續(xù)型隨機變量.

故答案為：①③④，②

練習(xí)5.盒中有9個正品和3個次品零件，每次從中取一個零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品

為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為々

（1）寫出4的所有可能取值；

（2）寫出M=l｝所表示的事件.

【答案】（1）4的所有可能取值為0」,2,3

（2）｛4=1｝表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”

【分析】（1）（2）利用離散型隨機變量的定義即可求解.

【詳解】（I）因為一共有9個正品，3個次品零件，

所以取得正品前已取出的次品數(shù)可能為0J2,3,即J的所有可能取值為0J2,3.

（2）依題意，可知歸=1｝表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.

求分布列

12

A.5B.7

C.9D.10

【答案】ABC

【分析】根據(jù)隨機變量的分布列，求出隨機變量長的分布列，再找出滿足P（$<%）=晟的x即可.

【詳解】由隨機變量歲的分布列，知：

鏟的可能取值為0」,4,9,

4

且P($=0)=丘,

,-?..314

Pn&e=1)=---F——=——

121212

-.123

外/=4)=——+—=——，

121212

,1

=9）二石，

則陪陶49）"

若尸（$<》）=￡,則實數(shù)1的取值范圍是4VxM9.

故選：ABC.

例4.不透明的盒子中有6個球,其中4個綠球,2個紅球，這6個小球除顏色外完全相同,每次不放回的從中取出

1個球，取出紅球即停.記X為此過程中取到的綠球的個數(shù).

⑴求P(X=2)；

⑵寫出隨機變量X的分布列，并求E(X).

【答案】⑴：

4

(2)分布列見解析，七”)=；

［分析］(1)X=2表示第一、二次抽取的都是綠球,第三次抽取紅球,結(jié)合獨立事件的概率乘法公式可求得P(X=2)

的值；

(2)分析可知，X的可能取值有0、1、2、3、4,求出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的

分布列，進而可求得E(X)的值.

【詳解】(1)解：X=2表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，

4321

所以，P(X)=-X—X—=—.

6545

(2)解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3、4,

?|424I

p(X=0)=-=-,P(X=l)=-x-=—,P(X=2)=-,

o3o5155

D/v43222n/v八43211

P(X=3)=-x—x—x—=—,P(X=4)=—x-x—x-=——,

'7654315'7654315

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

練習(xí)6.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游

覽哪個景點互不影響，設(shè)€表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，則仇劣等

于.

【答案】1.48

【分析】《的取值有1,3,計算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.

【詳解】隨機變量4的取值有1,3兩種情況，4=3表示三個景點都游覽了或都沒有游覽，

所以P記=3)=0.4x0.5x0.6+0.6x0.5x0.4=0.24,P(^=l)=l-0.24=0.76,

所以隨機變量J的分布列為：

&13

P0.760.24

E（^）=1x0.76+3x0.24=1.48.

故答案為：1.48.

練習(xí)7.擲兩顆骰子，用X表示兩點數(shù)差的絕對值.求X的分布.

【答案】答案見詳解.

【分析】通過列舉法求概率，然后可得分布列.

【詳解】記擲兩顆骰子所得點數(shù)分別為小，〃，

則樣本空間0={(〃，〃)1帆〃￡{123,4,5,6}},〃(。)

X的取值為0,1,2,3,4,5.

當X=0時，包含樣本點(1,1)02),(3,3),(4.4).(5,5),(6.6),所以p(X=0)=三=J；

366

當X=1時，包含樣本點(1,2),(2,11(2,31(3,2),(3,4b(4,3),(4,5),(5,4),(5,61(6,5),所以P(x=l)=粵=搭；

3618

QO

當X=2時，包含樣本點(L3),(3,1),(2,4>(4,2),(3,5),(5,3),(4,6卜(6,4),所以P(X=2)=捺=《；

369

當X=3時，包含樣本點(1,4),(4#,(2,5),(5⑵,(3,6),(6,3),所以P(X=3)=三=)；

366

當X=4時，包含樣本點(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),所以P(X=4)=[=<；

369

o1

當X=5時，包含樣本點(L6),(6,1),所以尸('=5)=弓=白.

36lo

所以，X的分布列為:

X012345

\_52\__1_1

P

61896918

練習(xí)8.同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上?面出現(xiàn)的點數(shù).設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點數(shù)分別為X，X2.記

X=max{XpX2}.

（1）求X的概率分布；

（2）求P（2<Xv5）.

【答案】（1）答案見解析

【分析】（I）根據(jù)題意分析可知：X的可能取值為1,2,3,4,5,6,結(jié)合古典概型求分布列;

（2）根據(jù)題意可知尸（2<Xv5）=P（X=3）十尸（X=4）,結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)運算求解.

【詳解】（1）依題意易知拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6).

因而X的可能取值為1,2,3,4,5,6,詳見下表：

X的值出現(xiàn)的點樣本點個數(shù)

1(口)1

2(1,2),(2,2),(2,1)3

3(1,3),(2,3),(3,3),(X2),(3,1)5

4(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1)7

5（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,5）,（5,4）,（5,3）,（5,3）,（5,2）,（5,1）9

6(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)11

由古典概型可知X的概率分布如下表所示.

X123456

1357911

P

363636363636

57I

（2）由題意可知：P（2<X<5）=P（X=3）+P（X=4）=—+—

36363

練習(xí)9.同學(xué)甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面

朝上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進入闖關(guān)界面后能夠

成功通過關(guān)卡的概率均為1,且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行.

（1）同學(xué)甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；

（2）同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為求4的分布列.

【答案】⑴:

（2）分布列見解析

【分析】（1）在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡，即各關(guān)前投幣均正面向上，且兩關(guān)卡都成功通過；

（2）按求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的--股步驟進行，同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)g的值為0,1,2,明確各取

值所表示的意義，再求概率取值，最后寫出分布列即可.

【詳解】（1）同學(xué)甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率P==

23239

（2）同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)4的值為0,I,2,

P（4=o）=g+111111111

x-x—+—X—X—X—

232232318

12

^=2）=1x|x—x—

239

所以同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)g的分布列為:

練習(xí)10.某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎機會.在一個

不透明的盒子中放有四個大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標有1,2,3,5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒

中一次性抽取兩個小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個小球上的數(shù)字分別為3若忸-為奇數(shù)即為中獎.

(1)求某顧客甲獲獎的概率；

(2)求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望石(X).

【答案】⑴g

13

(2)分布列見解析，

【分析】(1)根據(jù)題意可知，g和〃必為一奇一偶才能中獎，所以共有c；c；種中獎情況，即可求得概率;

(2)X的可能取值為1,2,3,4,分別求得各取值的概率即可列出分布列并求期望值.

【詳解】(1)設(shè)事件A：某顧客甲獲獎,

即區(qū)一司為奇數(shù),所以g,〃必為一個奇數(shù)一個偶數(shù)，則P(A)=

C：2

所以某顧客甲獲獎的概率為1

（2）由題意，X的可能取值為1,2,3,4.

2121

所以P（X=1）=^T=3，P（X=2）=-^=~,

P（X=3）=*；,P（X=4）=*[.

^?4VI\J

所以隨機變量X的分布列為:

題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用

例5.(多選)隨機變量X的概率分布如表，其中2b=a+c,且c=

4

A.a+b+c=lB.a=—

7

22

C.b=-D.c=一

321

【答案】ABD

【分析】由概率的性質(zhì)可得a+A+c=l,結(jié)合已知條件求出的值可求解.

【詳解】由概率的性質(zhì)可得a+A+c=l,

2b=a+c

1,得T

由《c=—ab

a+b+c=\2

21

故選：ABD.

例6.設(shè)隨機變量X的分布列為

E)°□0

H1

則當a在(0,1)內(nèi)增大時()

A.Ol：X)增大

B.￡>(X)減小

C.o(x)先減小后增大

D.0X)先增大后減小

【答案】A

【分析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知乎+：+匕=1,所以8=:。，

G7?11

所以七(X)=0x￡N+lxL+2/?=L(l+2a),

333

所以O(shè)(X)=[0-：(l+2a)]2x浮+[l-：(l+2a)]2x；+[2-；(l+2a)]2xg

一"U3+2,

99993

因為所以D(X)單調(diào)遞增,

故選：A

舉一反三

練習(xí)11.已知隨機變量X的分布列為P(X=i)」(i=l,2,3,4,5),則P(2WXv5)=()

a

A.-B.；C.-D.—

32510

【答案】C

【分析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)即概率和等于1,可求得〃的值，又由

P(2<X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4),計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，隨機變量X的分布列為P(X=i)=((i=l,2,3,4,5),

由分布列的性質(zhì)，則有2人=1,解得。=15,

za

故尸(2WX<5)=2(X=2)+2(X=3)+?(X=4).

23493

=—+—?—=—=—.

151515155

故選：C.

練習(xí)12.下列表中能稱為隨機變量X的分布列的是()

P0.30.40.3

D.

X123

P0.30.40.4

【答案】C

【分析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負且和為1,可得答案.

【詳解】對于A,由0.3+0.4+0.4=1.1/1,故A錯誤；

對于B,由故B錯誤；

對于C,由0.3+0.4+0.3=1,故C正確；

對于D,由0.3+0.4+0.4=1.1工1,故D錯誤.

答案：C

則尸圖=（

練習(xí)13.已知隨機變量4的分布列為尸?=6=〃成伏=123）設(shè)尸=)

2

D.

3

【答案】A

【分析】根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，求得參數(shù)值，結(jié)合互斥事件的概率公式，可得答案.

【詳解】由題意，則P（4=l）+P（7=2）+P（《=3）=m+2m+3機=1,解得帆=二

6

P?=l)+P(^=2)=-+-x2=-.

故選：A.

練習(xí)14.設(shè)隨機變量4的分布列如下:

g12345678910

a

pia2生%%。6%。8%%

且數(shù)列包｝滿足尸（"Q=k（%=l，2,3,,10）,則E（4）=.

【答案】5.54

【分析】令既=P（配口=如一即可得到再根據(jù)分布列的性質(zhì)得到為=3，從而求出數(shù)學(xué)期望;

【詳解】解：令Sk=P(&k)=kaJk=l,2,3,…，10),

則%=S*.|-S*=(2+1)6.1一%,即6+|=《，伏=1,2,3,…，9),

又4+%+%++4o=l，所以6=%=="。=而，

所以￡：3)=1*，+2*，+3*，++10^—

10101010

/、1(1+10)x101

=(1+2+3++10)x—=i---2——X—=5.5

'710210

故答案為：5.5

練習(xí)15.設(shè)隨機變量J的概率分布為尸傳