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文檔簡(jiǎn)介

大題規(guī)范天天練(第一周)

星期一(三角與數(shù)列)2017年—月一日

1.三角知識(shí)(命題意圖:在三角形中,考查三角恒等變換'正余弦定理及面積公式

的應(yīng)用)

(本小題滿分14分)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

(1)求cosC的值;

(2)若△ABC的面積為“卜,且sin2A+sin2B=*in2。,求a,/?及c的值.

解⑴因?yàn)閟in裊乎,

C1

所以cosC=l—2sin2^=—4.

13

(2)因?yàn)閟in2A+sin25=Y^sin2C,由正弦定理得

/+乂=磊2,①

由余弦定理得a2+b2=c2+2ahcosC,將cosC=—(代入,得

3

ab=-^(r,②

O

由S?M8C=女皆及sinC=\l1-cos2c得必=6,③

a=2,(Q=3,

b=3,或卜=2,

{c=4,LC=4.

經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意.

所以a=2,b=3,c=4或a=3,b=2,c=4.

2.數(shù)列(命題意圖:考查數(shù)列基本量的求取,數(shù)列前〃項(xiàng)和的求取,以及利用放縮

法解決數(shù)列不等式問題等)

(本小題滿分15分)已知數(shù)列{圓}中,。|=1,其前n項(xiàng)的和為S,”且滿足a產(chǎn)代士

(心2).

⑴求證:數(shù)列帽是等差數(shù)列;

1113

(2)證明:當(dāng)心2時(shí),C+初+扣+…+打法

證明(1)當(dāng)〃22時(shí),Sn~Sn-i=2S~=\f

Sn-]~S,j=2SnSn-\

從而構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

(2)Etl(l)可知,p=9+(〃-l)X2=2〃-1,

On31

*'?5n=2?-r

當(dāng)〃"2時(shí)'7s,尸葭(2〃-1)<〃(2〃-2)

=2,77^17=骷-5)

從而&+聶+*3+…+.

星期二(概率與立體幾何)2017年月日

1.概率(命題意圖:考查相互獨(dú)立事件概率的求解及數(shù)學(xué)期望的求法)

(本小題滿分15分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別

為0.6、0.5>0.5>0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.

⑴求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;

(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.

解記A表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2,

8表示事件:甲需使用設(shè)備,

。表示事件:丁需使用設(shè)備,

。表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.

(1)。=4?B?C+A2?B+A2?BC,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A)=QX0.52,z=0,1,2,

所以尸(O)=P(Ai?B?C+Ai?B+A2?BC)

=P(Ai?B-O+P(A2?B)+P(A2?BC)

=尸(4)P(B)P(O+尸(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(O

=0.31.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,其分布列為

P(X=0)=P(BA()?C)

=P(B)P(Ao)P(。

=(1-0.6)X0.52X(1-0.4)

=0.06,

P(X=l)=P(BAo?C+BA0?C+BA\?C)

=P(B)尸(Ao)P(0+P(B)P(Ao)P(C)+P(B)P(4)P(O=0.6X0.52X(1-0.4)+(1-

0.6)X0.52X0.4+(1-0.6)X2X0.52X(1-0.4)=0.25,

2

尸(X=4)=尸(A2?B?C)=P(A2)P(B)P(Q=0.5X0.6X0.4=0.06,

P(X=3)=P(O)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=1—P(X=0)—P(X=1)—P(X=3)—P(X=4)

=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,

數(shù)學(xué)期望£(X)=0XP(X=0)+lXP(X=l)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4X

P(X=4)

=0.25+2X0.38+3X0.25+4X0.06=2.

2.立體幾何(命題意圖:考查線線垂直及面面角的求解)

(本小題滿分15分)在如圖所示的多面體中,平面

AE1EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AO=4,EF=3,AE=BE

=2,G是3C的中點(diǎn).

⑴求證:BDA.EG;

(2)求平面DEG與平面OEF所成銳二面角的余弦值.

(1)證明VEF±¥iSlAEB,AEu平面AEB,BEu平面AEB,

:.EFLAE,EFA.BE,又AELBE,

:.BE,EF,AE兩兩垂直,

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x,y,z軸.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知得,4(0,0,2),

8(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),

kL\\F

G(2,2,0),/.EG=(2,2,0),BD=(-2,2,2),-乍GC

:.BD-EG=-2X2+2X2+0X2=0,:.BD1.EG,即BO_LEG.

(2)解由已知得而=(2,0,0)是平面。Eb的法向量,

設(shè)平面DEG的法向量為〃=(x,y,z),

VEb=(0,2,2),EG=(2,2,0),

EG,7i—-0,fy+z=0,

令x=l,得〃=(1,—1,1),

ED-n=0,

設(shè)平面DEG與平面OEF所成銳二面角的大小為9,

,n-EB25EInVI

則|cos〈〃,EB)|—=~~r--o,則cos〃=q

\n\-\EB\2斕33

...平面DEG與平面OEF所成銳二面角的余弦值為坐

星期三(解析幾何)2017年—月一日

解析幾何(命題意圖:考查橢圓方程的求解及直線與橢圓相交情況下的范圍問題)

(本小題滿分15分)如圖,已知Fi、尸2是橢圓C:宗+后=1(。/歹

>方>0)的左、右焦點(diǎn),以為直徑的圓D經(jīng)過橢圓的上產(chǎn)弋二已力

頂點(diǎn)A,且|/=F\A?^4=6.

⑴求橢圓C的方程及圓D的方程;

(2)斜率為々的直線/過右焦點(diǎn)反,且與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),若在光軸上存在

點(diǎn)P(m,0),使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形為菱形,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解(1)因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)A,且|而=

所以/&4&=方,ZBAFx=ZABFi,

所以NBAB+/BAR=ZAF2B+ZABF\,

所以NRAF2=NABFI,

所以△BA&是等邊三角形.

所以府11=|"市2|=|屏'11=2c,

又而'1『=|存'1F+1醇J,即4c1=c1+b2=a2,

則B(-3c,0),Fi(-c,0),F2(C,0),4(0,b),

所以而1-BA=(c,b)-(3c,與=3/+爐=6,

所以/=4,82=3,<?=1,

所以橢圓C的方程為?+?=1.

由尸1(一1,0),府i|=2,得

圓D的方程為(x+l)2+V=4.

⑵由⑴知乃(1,0),則/:y=k(x-1),

y=k(x—1),

聯(lián)立,-+^=1消去丫整理得(3+4后)廣一8七+43-12=0,

設(shè)M(?,》)、N(X2,yi),則4=(一8筠2—4(3+4》)(4k一12)=16><9/+1)>0,

■I+X2=3+4M,yi+y2=Z(%i+x2-2),

=—

所以尸A/+PN=(xi—m9yi)+(i2—機(jī),yi)(xi+%22m,yi+”).

由于菱形的對(duì)角線互相垂直,則(曲+喇?疝v=o,

因?yàn)镸N的一個(gè)方向向量是(1,k),故xi+%2—2機(jī)+&(yi+y2)=0,所以xi+九2-2機(jī)

+F(xi+及—2)=0,

所以K(焉一2)+齡一2加=°,

由已知條件知ZW0,

1c1,所以0<加<;,

所以m=3+^=T~

■+4

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[0,4>

星期四(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))2017年—月一日

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(命題意圖:考查曲線的切線、最值及數(shù)列不等式的證明等)

(本小題滿分15分)已知函數(shù)/(幻=加+1,g(x)=ln(x+l).

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí),函數(shù)g(x)在x=0處的切線與函數(shù).*x)的圖象相切;

(2)當(dāng)xG[0,+8州寸,不等式y(tǒng)(x)+g(x)Wx+1恒成立,求a的取值范圍;

(3)已知“CN*,試判斷g(〃)與g,(0)+g,(l)+…+g'(及-1)的大小,并證明之.

解(l);g(x)=ln(x+l),

,g'(尤)=*,g'(。)=1,

故g(x)在x=0處的切線方程為y=x.

X,

得ax2—x+l=0,

Car9+1,

/.4=1—4a=0,

???T

(2)當(dāng)尤6[0,+8)時(shí),不等式於)+g(x)Wx+l恒成立,

即加+1!1(》+1)—XW0恒成立.

設(shè)〃(%)=加+111。+1)—x(xN0),

只需//(x)maxWO即可.

.,1x[2ax+(2Q—1)]

h(")=2以+干―1=不

—X

①當(dāng)a=O時(shí),h'(x)=F7,當(dāng)x>0時(shí),h'(x)<0,

A-I1

函數(shù)%(x)在[O,+8)上單調(diào)遞減,

故〃(x)W〃(O)=O成立.

②當(dāng)40時(shí),由1(x)=0,得x==—1或x=0.

1°^-1<0,即時(shí),在區(qū)間(0,+8)上,h'(x)>Q,則函數(shù)久幻在(0,

+8)上單調(diào)遞增,久處在(0,+8)上無最大值,此時(shí)不滿足條件.

2°若土一120,即時(shí),函數(shù)g)在(0,上單調(diào)遞減,在區(qū)間

氐—1,+8)上單調(diào)遞增,同樣%(九)在[0,+8)上無最大值,不滿足條件.

③當(dāng)“VO時(shí),h'W<0,函數(shù)力⑴在[0,+8)上單調(diào)遞減,故〃(x)W/?(O)=O成

立,

綜上所述,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,0].

(3)結(jié)論:g5)Vg@+g<l)+g,(2)+…+g<〃-1).

證明:當(dāng)。=0時(shí),ln(x+l)Wx(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)),令x=:,

/.lnf~+1)V,,

\nJn

/.ln(?+1)—In

故有

Innln(zz1)*^

n-1

ln(n-1)—ln(n—2)<~

n—2

In3-ln2<1,ln2-ln1<1,

所以ln(n+1)<1-----

即g(〃)Vg'(0)+g'(l)+g'(2)H----Fg,(〃-1).

星期五(綜合限時(shí)練)2017年—月一日

解答題綜合練(設(shè)計(jì)意圖:訓(xùn)練考生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)得高分,限時(shí):80分鐘)

1.(本小題滿分14分)已知數(shù)列{a”}與{仇}滿足即+i一m=2(仇+1—b)(〃GN*).

(1)若0=1,bn=3n+5,求數(shù)列{&}的通項(xiàng)公式;

⑵若ai=6,d=2"(〃WN*),且筋”>2"+〃+22對(duì)一切〃GN*恒成立,求實(shí)數(shù)2

的取值范圍.

解(1)因?yàn)閍”+i—。"=2(d+|—b),hn=3n+5.

所以斯+i—。"=2(兒+1—兒)=2(3〃+8—3〃-5)=6,

所以{0}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為內(nèi)=1,公差為6,即為=6〃-5.

(2)因?yàn)槌?2",所以詼+1-詼=2(2"+1-2")=2"+1,

當(dāng)“M2時(shí),。"=(<2"一斯m-2)+…+伍2-0)+。1

=2"+2"」H-----F22+6

=2,,+1+2,

當(dāng)”=1時(shí),0=6,符合上式,所以a"=2""+2,

2"n1n

由2"+〃+2A得2>一弓+”1],

乙乙乙

〃+1n\~n

2〃+22“r-2"+2、①

所以,當(dāng)〃=1,2時(shí),可而"取最大值;,

故人的取值范圍為修,+8)

2.(本小題滿分15分)如圖,四棱錐P—ABCD中,NABC=

ZBAD=90°,3C=2AD,△以8與△鬼。都是等邊三角形.

(1)證明:PB±CD;

(2)求二面角A-PD-B的余弦值.

(1)證明取的中點(diǎn)E,連接。E,則四邊形AOEB為正方形,過P作PO_L平

ffiABCD,垂足為O,

連接。A,OB,OE,OD,

由△RIB和△/%£)都是等邊三角形可知PA=PB=PD,所以O(shè)A=OB=OD,

即點(diǎn)0為正方形ADEB對(duì)角線的交點(diǎn),

故OELBO,又PO工OE,且尸on03=0,

從而OEL平面P8D,

又P8u平面PB。,所以O(shè)E_LPB,

因?yàn)椤J荁O的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),

所以O(shè)E〃CD,因此P8_LCD

⑵解由(1)可知,OE,OB,0P兩兩垂直,

以。為原點(diǎn),0E方向?yàn)閤軸正方向,。8方向?yàn)閥軸正方

向,0P方向?yàn)閦軸正方向,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系0

~~xyz.

設(shè)|AB|=2,則A(一啦,0,0),0(0,~y[2,0),P(0,0,啦)

AD=(y]2,一隹0),AP=(y)2,0,柩,

設(shè)平面玄。的法向量〃=(x,y,z),

n-AD=y/2x—y[2y=0,

?V

n-AP=y[2x+y/2z=0,

取x=1,得y=1,z=—1,即〃=(1,1,—1),

因?yàn)镺EL平面PBD,設(shè)平面PBD的法向量為m,

取機(jī)=(1,0,0),

則cos{m,〃〉=小:]=坐'

由圖象可知二面角A-PD-B的大小為銳角.

所以,二面角4一尸。一8的余弦值為竽.

3.(本小題滿分15分)盒中共有9個(gè)球,其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球,

這些球除顏色外完全相同.

⑴從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球,求取出的2個(gè)球的顏色相同的概率P;

(2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為為,X2,

心,隨機(jī)變量X表示X”X2,心中的最大數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

解(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球,所以P

_CZ+Cg+C3_6+3+1__5_

=-36-=而

(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4.

{X=4}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”,故P(X=4)=^=忐;

{X=3}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球,或3

個(gè)黃球和1個(gè)其他顏色的球”,故尸(x=3)=0g臂型=與蕓=1|;

十日13111

于是P(X=2)=1—P(X=3)—P(X=4)=1一百一市=應(yīng).

所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表:

X234

11131

p

1463126

因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

1113120

E(X)=2XI4+3X^+4X—=-

4.(本小題滿分15分)已知橢圓C:、+*=1(。>匕>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,^一個(gè)焦點(diǎn)

為(小,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線y=A(x—l)伙W0)與x軸交于點(diǎn)P,與橢圓C交于A,8兩點(diǎn),線段A3

的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)。.求舐的取值范圍.

/_序=3,

解(1)由題意得13解得。=2,b=L

、1十赤=匕

所以橢圓C的方程為。+V=L

y=k(x—1),

⑵由口,得(1+4F*—8&+4F—4=0.

疝+產(chǎn)1,

設(shè)A(xi,”),5(x2,>2),

MI―8F4Z?—4

則有xi+x2="jqq/,xi無2="jqz而,

-2k

yi+”=k(xi+x2_2)=

1+4^-

所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為后,]+jj,

所以線段AB的垂直平分線方程為

y~T一+k^=-\(14+小4、J

于是,線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)

Q(J7^,0}又點(diǎn)P(l,0),

3P14-P

所以『。尸1一"而=1+4修

/Qp4后一4

又陰=y(1+冽[(T+^)2-*4-1+^]

41(1+尼)(1+3上)

1+4一?

4\l(1+d)(1+3必)

干曰毆=1+4^

7G

十'|PQ「1+S

2

所以1<3—

所以需的取值范圍為(4,44).

5.(本小題滿分15分)已知函數(shù)_/U)=(2a/+fct+l)eX(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若人1)=1,且方程_/U)=l在(0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解(1)當(dāng)a=T,/U)=(x2+bx+1)[*,

f'(JC)=—[^+(/?—2)x+1~b]ex,

令)(x)=0,得xi=Lx2=l-=當(dāng)"=0,7'(x)WO;

當(dāng)。>0時(shí),當(dāng)1—OVxVl時(shí),/'(x)>0,當(dāng)xVl—b或x>l時(shí),/'(x)VO;

當(dāng)人<0時(shí),當(dāng)1<X<1—Z?時(shí),/'(x)>0,當(dāng)x>l—b或x<l時(shí),

fU)<0.

綜上所述,8=0時(shí),/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,+°°);

b>0時(shí),./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1一41),遞減區(qū)間為(一8,1一份,(1,+oo).

bVO時(shí),/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1一加,遞減區(qū)間為(一8,1),(l-b,+8).

(2)由式1)=1得2a+/?+1=e,b=e—1—2a.

由/W=1得e*=lax1+bx+1,設(shè)g(x)=eA—lajr—bx~1,則g(x)在(0,1)內(nèi)有零

點(diǎn).

設(shè)xo為g(x)在(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由g(0)=0、g(l)=0知g(x)在區(qū)間(0,祀)

和(xo,1)上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減,設(shè)/?(x)=g,(x),則〃(x)在區(qū)間(0,

尤o)和(月,1)上均存在零點(diǎn),即〃(x)在(0,1)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)ga)=eX-4ox—A

hfa)=e”一4a

當(dāng)aW%寸,h'(x)>0,4(x)在區(qū)間(0,1)上遞增,久處不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn);

當(dāng)a衿時(shí),h'(x)<0,4(x)在區(qū)間(0,1)上遞減,4(x)不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn);

當(dāng)(vaV割寸,令〃(x)=0得x=ln(4a)e(0,1),

所以〃(x)在區(qū)間(0,ln(4a))上遞減,

在(ln(4a),1)上遞增,力㈤在區(qū)間(0,1)上存在最小值

〃(ln(4a)).

若〃(%)有兩個(gè)零點(diǎn),則有〃(ln(4a))VO,/z(0)>0,%⑴>0.

/?(ln(4a))=4“一4aln(4a)—。=6〃-4aln(4a)+1—e(7<a<|j.

3

設(shè)9(x)=]r—jdnx+1—e(l<x<e),

則98)=;一Inx,令"(x)=0,得了=必,

當(dāng)IVxV/時(shí)—(x)>0,O(x)遞增,當(dāng)#VxVe時(shí)(p'(x)<0,O(x)遞減,

0(x)max=s(&)=#+1—e<0,所以/?(ln(4?))<0恒成立.

e-21e—21

由/?(0)=1—Z?=2a—e+2>0,//(l)=e—4n—/?>0,得?.當(dāng)[口寸,

設(shè)〃(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為即,X2,則g。)在(0,九|)遞增,在(九|,X2)遞減,在(X2,1)遞

增,所以g(xi)>g(0)=0,g(X2)〈g(l)=0,則g(x)在(xi,&)內(nèi)有零點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)

a的取值范圍是(望,

大題規(guī)范天天練(第二周)

星期一(三角與數(shù)列)2017年—月一日

1.三角(命題意圖:考查正、余弦定理、面積公式及三角恒等變換)

(本小題滿分14分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,

且滿足號(hào)二0'「

cosA2—cosC

(1)若8=4,求a;

(2)若c=3,ZXABC的面積為3,求證:3sinC+4cosC=5.

,a_______c/旦sinAsinC

⑴解由cosA=2—cos。得cosA=2—cosC

/.2sinA=sinAcosC+sinCeosA=sinB,即2a=b,

"=4,:,a=2.

⑵證明???AABC的面積為3,

.".^absinC=a2sinC=3,①

".'c=3,.*.?2+4<22—4a2cosC=9,②

由①②消去t?得3sinC=5-4cosC,

即3sinC+4cosC=5.

2.數(shù)列(命題意圖:考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算及求和)

(本小題滿分15分)已知數(shù)列{〃”}是首項(xiàng)01=1的等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和為S?,數(shù)

列{瓦}是首項(xiàng)。=2的等比數(shù)列,且歷§2=16,b\b3=b4.

⑴求。和bn;

(2)令a=l,C2k=a2k-\>C2k+i=a2k+kbk(k=l,2,3…),求數(shù)列{c”}的前2〃+1項(xiàng)

和72/1+1.

解(1)設(shè)數(shù)列{&}的公差為4,數(shù)列{兒}的公比為q,

則a”=l+(〃-l)d,b?=2q"

由。仍3=仇,得q當(dāng)=b尸2.

由b2s2=2q(2+①=16,

解得d=2,

?.a”=2〃-11

(2)?.?乃”+1=ci+ai+(ti2+b?)+。3+(。4+2?岳)H-----Fti2n-i+52”+nbn)

=1+S2”+3I+2必+…+〃兒).

令A(yù)=b\+2。2H-----brib”,

則A=2+2.22H-----\-n-2n,

/.2A=22+2-234-----卜〃-2"+i,

兩式相減,得一A=2+2?H-----F2"一〃2E,

:.A=n-2,,+i-2n+l+2.

dc2n(1+。2八),9

又S2n=--------2-------'=4/,

T2n+\=1+4層+〃.2"+1—2"+|+2

=3+4/+(〃-

星期二(概率與立體幾何)2017年—月一日

1.概率(命題意圖:考查古典概型的概率的求法以及數(shù)學(xué)期望的求解)

(本小題滿分15分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)

分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3

件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;

(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)

出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.

AlAi3

P(A)=FF,.

(2)X的可能取值為200,300,400.

A21

P(X=200)=Xrm,

AHcicUs3

P(X=300)=

P(X=400)=1—P(X=200)-P(X=300)

136

To-w=To-

故X的分布列為

X200300400

136

p

10ToTo

1,3,6

E(X)=200X300X400X350.

2.立體幾何(命題意圖:考查線面的平行關(guān)系、線面角的求法及空間向量在立體幾

何中的應(yīng)用)

(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐P—A8CO中,底面ABCQ

是菱形,ZDAB=60°,平面A8C0,PO=AO=1,點(diǎn)

E,少分別為A8和中點(diǎn).

(1)求證:直線AF〃平面PEC;

(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.

⑴證明作FM〃C。交PC于M,連接EM.

?.?點(diǎn)F為PO中點(diǎn),

:.FM=^CD.FM//CD.

又E是AB中點(diǎn),且AB=CD,AB//CD.

:.AE=~AB=FM,AE//FM,

...AEMF為平行四邊形,

J.AF//EM,

,.飛列平面PEC,

EMu平面PEC,

,直線AF〃平面PEC.

⑵解連接DE,

,:ZDAB=60°,

:.DE±DC,如下圖所示,建立坐標(biāo)系,

則P(0,0,1),C(0,1,0),

,ol

...辦=(一坐,;,11箱=(0,1,0).設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z).

'."n-AB=O,n-AP=O,

—^x+^y+z=0,

0

取x=l,則z=2,

.y=0,

...平面PAB的一個(gè)法向量為〃=1,0,

VPC=(0,1,-1),

...設(shè)向量n與前所成角為e,

當(dāng)

,=也V42

cos

Inll^CI14,

...直線PC與平面PAB所成角的正弦值為卷.

星期三(解析幾何)2017年月日

解析幾何(命題意圖:考查直線與橢圓相交情況下的弦長(zhǎng)及三角形面積問題)

?,2

(本小題滿分15分)已知橢圓M:金+%=13>0)上一點(diǎn)與橢圓

的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為4+273.

⑴求橢圓M的方程;

⑵設(shè)不過原點(diǎn)。的直線/與該橢圓交于P,。兩點(diǎn),滿足直線OP,PQ,。。的

斜率依次成等比數(shù)列,求AOP。面積的取值范圍.

解(1)因?yàn)闄E圓M上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為4+2仍,

所以2a+2c=4+2小,

又a=2b,所以

所以8=1,則a=2,c=小.

所以橢圓M的方程為=+V=L

(2)由題意可知,直線/的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線/的方程為y=Ax+〃?0"W0),P(x\,yi),

Q(X2,”),

[y=kx+m,

由f,,,消去y得(l+4K)f+8切a+4(*—1)=0,

X+4/—4=0,

則1=643/”2—16(1+43)(機(jī)2—1)=16(43一,/+1)>0,

.一8km4Cnr—1)

且用+無2=丁書'XI尤2="4AZ'

故“了2=(去1+m)(kx2+m)=lcx\X2+km{x\4-%2)+m2.

因?yàn)橹本€OP,PQ,0。的斜率依次成等比數(shù)列,

,yiV2I^XiXi+km(xi+及)+"及力

所rr以u(píng)j.J=------------------------------------------=心,

X\X2X1X2

又7H#0,所以M=即仁±3,

由于直線OP,OQ的斜率存在,且/>0,得0<加2<2且/WL

2

則S△OPQ=;\y\—yi\,\2m\=義比一切?依I=g?y](xi+%2)—4XI%2\m\=

\jm2(2—w2),

所以SAOPQ的取值范圍為(0,1).

星期四(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))2017年—月一日

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(命題意圖:考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思

相/UA)、

(本小題滿分15分)已知函數(shù)/(x)=(3—a)x—2+a—21nx(aWR).

⑴若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào),求a的取值范圍;

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—x在(0,g)上無零點(diǎn),求a的最小值.

解(1)函數(shù)./(X)的定義域?yàn)?0,+8),/a)=3—4—彳=-----------.

當(dāng)“23時(shí),有/(x)V0,即函數(shù)段)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減;

2

當(dāng)aV3時(shí),令/(x)=0,得若函數(shù)y=*x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào),則

W1或1~23,解得aWl或[waV3;

3~aJ—aJ

綜上,a的取值范圍是(一8,1]U],+8).

恒成立不可能,

故要使函數(shù)g(x)在(o,0上無零點(diǎn),只要對(duì)任意的xe(o,0,ga)>o恒成立,

即對(duì)x6(0,;),a>2—智恒成立,

令/(x)=2—普多x£(0,,,

22

x(%-1)-2皿尤21nx+--2

貝I()7[、2=~/?,

r'x——(%—1)/(X—i1\)/

再令"?(x)=21nx+1—2,xe(0,1j,

2-2(1-x)

<0,

x=飛

故〃z(x)在(0,g)上為減函數(shù),于是機(jī)(x)>〃U=2—21n2>0,從而/(%)>0,于是

/(x)在(0,J上為增函數(shù),

所以=2-41n2,

/(x)<2

故要使。>2一普恒成立,只要ad[2—41n2,+°°),

綜上,若函數(shù)g(x)在10,方上無零點(diǎn),則。的最小值為2—41n2.

星期五(綜合限時(shí)練)2017年—月一日

解答題綜合練(設(shè)計(jì)意圖:訓(xùn)練考生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)得高分,限時(shí):80分鐘)

YI(〃-1)

1.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列{為}的前〃項(xiàng)之積為T,?且10g2〃=-------",

HEN*.

(1)求數(shù)列{?!保耐?xiàng)公式;

⑵設(shè)濟(jì)=M"-l(〃eN*),數(shù)列{兒}的前〃項(xiàng)之和為S”若對(duì)任意的"GN*,總有

S“+i>S”求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

,n(?—1)*gn(n—1)

解(1)由k)g2〃=-------2-------,〃WN,得T"=2---------,

5一1)(〃一2)

所以〃_]=2■(〃£N*,2),

n<w_l>

7---------

rri?Tn2(n-1)(〃-2)*

所以d-zz=7-22-5=2〃,

n177—1-Vn—1)(n-2)乙

2~~2—

又ai=Ti=20=l,適合上式,所以q〃=2〃-I〃£N*.

1—2ZZ

(^)由bn—Xcin-1=22〃1—1,得1—ri—(2H—1)2—n.

所以5"+1>*=(2"+1—1"-5+1)>(2"-1)4一〃=2"4>1=4>去

因?yàn)閷?duì)任意的〃WN*,吳去故所求的義取值范圍是由+8)

2.(本小題滿分15分)如圖,已知空間四邊形48co在平面a上公、

的射影是梯形FBCE,BC//EF,BCLBF,BC=2EF=2AF=4DE.

又平面ABC與平面a所成的二面角的大小為45°.______AC

(1)求異面直線AB與C。所成角的大??;

(2)設(shè)直線BD交平面AFC于點(diǎn)O,求比值而.

解(1)如圖,以點(diǎn)E為原點(diǎn),F(xiàn)B,FE,胡分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槠矫鍲BCE,BCLBF,所以

BCVAB,所以NAB/就是平面A8C與平面a所成的二面角的

平面角,所以NABF=45°,從而|AF|=|3F|.

令局=a,則|Afl=|EF|=|BF|=2a,\BC\=4a,

A(0,0,2a),B(2a,0,0),C(2a,4a,0),0(0,2a,a).

所以蕊=(2a,0,-la),CD=(~2a,~2a,a),

-4a2—2a2y[2

cos(AB,CD)

2yf2a,3a2,

所以(油,CD)=135°,故異面直線AB與CO所成角的大小為45°.

⑵連接BE、CF交于點(diǎn)G,再連接OG

因?yàn)?。E〃AEAFC,Afu平面AFC,

所以O(shè)E〃平面APC.

又平面BOEA平面ARC=OG,所以。G〃OE,

^,BO=BG

物以O(shè)?!狦E

..AfaEGEF1cc,x,BOBG

由△EFGs/kSCG,倚BG=BC=T所以“)=GE=2,

3.(本小題滿分15分)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)

中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七

個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同

學(xué)被選到的可能性相同).

(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;

(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則

a?a+d?cs49

P(A)=瓦=60'

所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為新.

(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.

di-c『”

P(X=k)=-瓦一(仁0,1,2,3).

所以隨機(jī)變量X的分布列是

X0123

1131

p

62To30

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X:+1x1+2X^+3X^7=1.

72

4.(本小題滿分15分)如圖,橢圓宗十方=l(a>Q0)的上頂

點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為以尸為右焦點(diǎn),過口作平行于A8的

直線交橢圓于C、。兩點(diǎn),作平行四邊形OCE。,點(diǎn)E恰-8

在橢圓上.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若平行四邊形OCEO的面積為2a,求橢圓的方程.

bh

解(1)...焦點(diǎn)為F(c,0),A3的斜率為,,故直線CO的方程為y=/(九一C).

與橢圓方程聯(lián)立后消去y得到及一2cx—〃=0.

,.?co的中點(diǎn)為G(I,一給,點(diǎn)a。,一年)在橢圓上.

...將E的坐標(biāo)代入橢圓方程并整理得2c2=/,.?.離心率e=、喙

(2)由(1)知:=乎,b=c,則直線CO的方程為y=羋(x—c),與橢圓方程聯(lián)立消去

y得至!J2X2—2CX—C2=0.

???平行四邊形OCED的面積為S=c|yc—M

=^c\](xc+切)2-4XCXD=^C\]c2+2c2=坐,2=2玳,所以c=2,b=2,a=

272.

?2

故橢圓方程為"+?=1.

o今

5.(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)/U)=++(2/"—3)x+lnx(〃zGR).

⑴討論函數(shù)_/U)在定義域上的單調(diào)性;

(2)若對(duì)任意的xe(l,2),總有兀r)V—2,求機(jī)的取值范圍.

―.、,心、,,,,1f+(.2m—3)x+1

解(1)函數(shù)7U)的定義域?yàn)?0,+°0),/(x)=x+2m-3+-=--------;--------.

令片+(2加-3)尤+1=0,

則J=(2m—3)2—4—(2m—1)(2m—5).

①當(dāng)時(shí),4W0,

所以f+(2加-3)x+1>0,從而了(九)20;

②當(dāng)〃2>,時(shí),因?yàn)橛?gt;0,

所以/+(2加-3)龍+l>f+(2*|—3}+1=/+2%+1>0,所以/(x)>0;

③當(dāng)〃時(shí),4>°,方程~+(2加-3)尤+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根用,及(不

妨設(shè)X1<X2).

因?yàn)闉?及=3—2機(jī)>3-2*3=2>0,xix2=l>0,所以光i>0,x2>0,

所以當(dāng)xi<x〈X20寸,x2+(2m—3)x+1<0,

從而/(x)〈0;

當(dāng)0V%Vxi或比>X2時(shí),jr+(2m—3)x+1>0,

從而,(x)>0.

綜上可知,當(dāng)〃zeg時(shí),函數(shù).*x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)mvg時(shí),函數(shù)段)在區(qū)間(0,XI)和(X2,+8)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(XI,X2)上單

調(diào)遞減,其中

3—2m—yj(2m—3)2—4

無尸2,

3—2m+yj(2加二3),二4

X2=2

(2)法一由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)/U)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,

1I13

所以“^)>,*1)=]+2/"—325+2X5—3=-/>—2,故2不成立.

當(dāng)機(jī)時(shí),函數(shù)./(X)在區(qū)間(X1,X2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,尤|)和(X2,+8)上單

調(diào)遞增.由加>0,尤2>o,X]X2=1,知O<X1V1<X2,所以在區(qū)間口,2]上,./U)max

max伏1),旭)}.

因?yàn)榇ǎ?1+2m—3—2m—犬2)=2+2(2加-3)+ln2=4m—4+ln2,

5)

2團(tuán)一不忘—2,

所以2解得

2-ln2

4m—4+ln2W2,"W-7—

1

而-2—In2In2-1所以“q.

44-~4~<0,

1-

故實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是(一8,4-

-

法二./(x)V—2,即1f+(2加-3)x+ln—2.在區(qū)間(1,2)上,^x2+(2m—3)x+

Inx<—2=2機(jī)-3V

12,

^r+lnx+2.i_i_

2__________1In%+n2

x~2Xx

.1lnx+2e

令g(x)=—/—一~一,xe(i,2),則

f11—(Inx+2)—f+21nx+2

g(x)=~2~P=2?-

令〃(x)=-/+2111尤+2,xG(l,2),

.22(1—%2)

則h'(x)=—2x+-=----------<0,

所以函數(shù)力(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤?1)=1>0,/?(2)=21n2-2<0,

所以存在唯一的均£(1,2),使得/?(xo)=O,且當(dāng)xW(l,孫)時(shí),〃(尤)>0,即g'(x)

>0;當(dāng)X@(M),2)時(shí),/?(x)<0,即g,(x)<0.

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(I,xo)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(XO,2)上單調(diào)遞減,因此在[1,

2]上,g(x)min=min{g(l),g(2)}.

因?yàn)間(l)=_3_2=一|,

In2+2In2

g(2)=-1-2=2"

“I?1In21Tn2

所以g(2)-g(l)=2--=-2-

即g(2)>g(l).

故當(dāng)x£(l,2)時(shí),g(x)>g(l).

因此2m—3這一方,mW,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一8,

大題規(guī)范天天練(第三周)

星期一(三角與數(shù)列)2017年—月一日

1.三角(命題意圖:考查正弦定理'三角恒等變換及三角函數(shù)的最值(值域))

2b-c

(本小題滿分14分)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且1

cosC

cosA,

(1)求角A的大小;

(2)求函數(shù)y=,§sinB+sin(c—石)的值域.

g八.lb-ccosC

解(1)由丁==,

利用正弦定理可得

2sinBcosA—sinCeosA=sinAcosC,

化為2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,

VsinBWO,,cosA=3,

3,.??A=9.

(2)y=SsinB+sin|

=SsinB+cosB

8+看).

=2sin

2nn

VB+C=—,0<B<y,

JIJI

oZ

JiJi2n

3O3

.大皿(8+不]金(孚,1,:.yE(yf3,2].

2.數(shù)歹IJ(命題意圖:考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算及數(shù)列的最值問題.)

(本小題滿分15分)已知公差不為0的等差數(shù)列{m}的前〃項(xiàng)和為5,,,57=70且?i,

期成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{3}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)兒=型芳,數(shù)列{乩}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng),并求出該項(xiàng)的值.

7ai+21d=70,

解(1)設(shè)公差為d,則有

ci\3d=10,0=1,6Zi—10,

即〈=〈或〈

(ai+d)2=0(ai+5d)[d=3"〔d=0

=

?\an3n—2.

n.3〃2一〃

(2)S〃=¥1+(3〃-2)]

3/—〃+4848、

??也=---=3?+--l>2-3n-n-~l=23

當(dāng)且僅當(dāng)3〃=常,即〃=4時(shí)取“=”號(hào),

數(shù)列{d}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng),。4=23.

星期二(概率與立體幾何)2017年—月一日

1.概率(命題意圖:考查互斥事件概率的求法,考查分布列與數(shù)學(xué)期望的求解)

(本小題滿分15分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任

取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為〃.如果〃=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任

取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果〃=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品

中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品

都不能通過檢驗(yàn).

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為上且

各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率;

(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)

品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解(1)記該批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A,則P(A)

(2)X的可能取值為400,500,800;

41111

P(X=400)=l一諱—而=而,P(X=500)=諱,

P(X=800)=1,則X的分布列為

X400500800

1112

P

16164

E(X)=506.25.

2.立體幾何(命題意圖:考查折疊下的垂直問題及二面角的求解問題)

(本小題滿分15分)如圖,已知長(zhǎng)方形A3C。中,AB=2?AD=y[2,M為DC

的中點(diǎn),將△AOM沿AM折起,使得平面平面

⑴求證:ADA.BM;

(2)若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)E在何位置時(shí),二面角E—AM—。的余弦

值為坐.

(1)證明?.?長(zhǎng)方形A8CD中,AB=2吸,AD="M為。。的中點(diǎn),

:.AM=BM=2,5LAM1+BM1=AB1,:.AM±BM,

?.?平面ADM,平面A8CM,

平面ADMH平面ABCM=AM,

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