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文檔簡介
第五章1900年左右,特魯?shù)率紫忍岢觯航饘僦械膬r電子可以在金屬體內(nèi)自由運(yùn)動,如同理想氣1928年,索末菲提出金屬自由電子論的量子理論,認(rèn)為金屬內(nèi)的勢場是[本章重點(diǎn)§5-1
2
V E (5-1- ψ(r)電子的波函數(shù),E是電子總能量,m是電子的有效質(zhì)量,V(r)是電子的勢能,在這里是一個
E (5-1- (5-1-A (5-1-4AL2
2………………(5-1-ψrV (5-1-E
(5-1- ψ(r) ψ(x,y,z)=ψ(x+L,y,z)=ψ(x,y+L,z)=ψ(x,y, (5-1-8,得:eikgreikgreikxgLeikgreikygLeikgreikzeikxgLeikygLeikzgLkn
n
(5-1- x
,
L, znx,ny,nz=0,±1,±2,將(5-1-9)代入(5-1-7)h2k
E2m2m(kxkykz)2mL(nxnynz (5-1-式(5-1-10)即為自由電子的能量表達(dá)式,每一組量子數(shù)(nxnynz)kh2k的電子具有確定的動量?k及確定的能 v
kxkykz為坐標(biāo)軸建立起波矢空間(k空間圖5-1- 狀態(tài)代表點(diǎn)在k空間中的分
則每一個電子的本9)5-1-1k圖中示出kxkykz軸的兩個相鄰代表點(diǎn)之9就是2π/L??梢姡瑺顟B(tài)代表點(diǎn)在k空間中的分布是均勻的,每個點(diǎn)所占的k空間體積是k從自由電子能量有表達(dá)式(5-1-10)k2k2k2 (5-1- k
在。這些同心的球面稱作電子的等能面E~E+dE之間時,k空間中相應(yīng)的等能面半徑則k~k+dkE~E+dE之間電4πk2dkdZ是:dZ
(5-1-根據(jù)式(5-1-7)k2dk
(5-1- h22m 2 (5-1-h這里若定義能態(tài)密度函數(shù)N(E)
……………………(5-1-根據(jù)(5-1-14)和(5-1-15)2m 2E (5-1-h2m 2E (5-1-hEf(E)
e
…………(5-1-實(shí)際上,EF是系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢。f(E)E~E+dEN(E)dEE~E+dEdN。這樣,N就可表示為:0f(E)N(E)dE (5-1-f(E)EFEFT=0KT≠0K是第一種情況:T=0KE0EE0時,f(E) ekBT
E0E0所以,f(E)=1E0 E>EF0ekBTf(E)=0E0E0 2(bT=0K(5-1-19)式就變成:FN(E)dE (5-1-以自由電子的能態(tài)密度(5-1-17) 0N 2EF (5-1-3h
3n EF2m
…………(5-1-n=N/V是單體積中的電子數(shù)——電子濃度,一般約為1028m3E0E0
1
EdN
FEN(E)dE
3E (5-1-N N f
圖5-1-2(a)f(E)~E的關(guān)系曲線(b)四、T≠0KT≠0KkBT
EF EEkTe EEF
=1EE0kTekBT
1,因此,f(E)≈0 5-1-2(a)f(E)—Ef(E)T=0K→TKE0kTE0(5-1- (b以(5-1-17)和(5-1-18)式代入(5-1-19)
E2h2
……………(5-1- ekBTx
,則(5-1-24)
F (5-1-
(5-1-
f(x)dxkBT=EF)的情況,F(xiàn)(α)
f
(5-1-
f(x)
exα n
(n
L (5-1- Lα>>1時,級數(shù)收斂很快,可取前兩項(xiàng),并以此代入(5-1-25)8πV2mkT2
2
π2kT2N B
F
B3
kBT
8
22,可得: π2kT2EE0 B (5-1- F
12
的等能面稱為米面。對于自由電子,費(fèi)米面是球面,球半徑為kF
E
E2
4π2m2
(5-1-N
Nh20exα nh2 x
(α)n=3/2代入(5-1-27) 5
8 8
22E8π2m2E5215kBTπ
……………………(5-1-5nh2
8
E0代表(5-1-30)
,并以(5-1-28) EE0 B (5-1- F
12
TKT=0K時電子的平均動能,第二項(xiàng)是與溫度有五、電子的熱容CeN個電子,則根據(jù)熱容的定義式
ETT
C kBT NkB
0 (5-1-F式中 2E0
稱為金屬的電子比熱容。上式(5-1-32)表明,電子的熱容與溫度成正比,但由于kT=E0,所以,電子氣的熱容Ce是比較小的。這個結(jié)果與經(jīng)典理論的結(jié)果Ce3
5-20KTKEF
Nk(
)3bT
……………………(5-1-其中b
3NkBCe kTV BD
…………(5-1-Ca 24π2E0T 上式表明,隨著溫度下降,比值CeCa 在液氦溫度下Ce與Ca CCeCaγTbT (5-1- (5-1-也就是說,只要從實(shí)驗(yàn)上測
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