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專題06函數(shù)的性質(zhì)(2)題型一函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點:(1)關(guān)于軸對稱(當(dāng)時,恰好就是偶函數(shù))(2)關(guān)于軸對稱(3)是偶函數(shù),則,進(jìn)而可得到:關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”,即一旦函數(shù)具備對稱性,則只需要分析一側(cè)的性質(zhì),便可得到整個函數(shù)的性質(zhì),主要體現(xiàn)在以下幾點:(1)可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值(2)在作圖時可作出一側(cè)圖像,再利用對稱性得到另一半圖像(3)極值點關(guān)于對稱軸(對稱中心)對稱(4)在軸對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反;在中心對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例1、(2021·山東菏澤市·高三期末)已知函數(shù)對任意的都有,若的圖象關(guān)于直線對稱,且,則______.變式1、(2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足條件,且函數(shù)為奇函數(shù),則()A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)變式2、(2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初)已知是定義在上的奇函數(shù),且的圖像關(guān)于直線對稱.若當(dāng)時,,則()A.0 B.1 C.2 D.4變式3、(2021·山東青島市·高三二模)已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,有下列四個命題:甲:是奇函數(shù);乙:的圖象關(guān)于直線對稱;丙:在區(qū)間上單調(diào)遞減;?。汉瘮?shù)的周期為2.如果只有一個假命題,則該命題是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁變式4、(2018年徐州模擬)已知,方程在內(nèi)有且只有一個,則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為題型二單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù),則f(x)A.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域為R的偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,則A.(log3)>()>()B.(log3)>()>()C.()>()>(log3)D.()>()>(log3)變式2、(2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足條件,且函數(shù)為奇函數(shù),則()A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)題型三性質(zhì)的結(jié)合例3、(2021·興寧市第一中學(xué)高三期末)已知函數(shù)為R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于點對稱,且當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間上的()A.最小值為 B.最小值為 C.最大值為 D.最大值為變式1、(2021·江蘇揚州市高三模擬)已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減,且滿足,則關(guān)于的不等式的解集為()A. B.C. D.變式2、(福建省泉州市2021屆高三聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動(無滑動滾動),點恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,設(shè)頂點的軌跡方程是,則對函數(shù)的判斷正確的是()A.函數(shù)是奇函數(shù) B.對任意的,都有C.函數(shù)的值域為 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增變式3、(2020·湖北荊州市·高三月考)對于定義在R上的函數(shù),下列命題中正確的有()A.若為奇函數(shù),則B.若,當(dāng)時,恒有成立,則為減函數(shù)C.若函數(shù)為偶函數(shù),為奇函數(shù).則為周期函數(shù)且最小正周期為4D.若函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1,則在上有最小值1、(2021·山東濟南市·高三二模)已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.為奇函數(shù) B.為減函數(shù)C.有且只有一個零點 D.的值域為2、(2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足,且圖像關(guān)于對稱,當(dāng)時,,則________.3、(江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研)設(shè)函數(shù),則不等式的解集為_____________.4、(湖北省宜昌市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考)已知函數(shù),則()A.的最小正周期是B.的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C.是的一條對稱軸D.的一個對稱中心是5、(湖南省衡陽市2020-2021學(xué)年高三模擬)已知函數(shù),則下列結(jié)論中,正確的有()A.是的最小正周期B.在上單調(diào)遞增C.的圖象的對稱軸為直線D.的值域為6、(2021·天津高三三模)已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,有,且時;,給出下列命題:①;②函數(shù)在定義域上是周期為2的周期函數(shù);③直線與函數(shù)的圖象有1個交點;④函數(shù)的值域為,其中正確命題有()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個專題06函數(shù)的性質(zhì)(2)題型一函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點:(1)關(guān)于軸對稱(當(dāng)時,恰好就是偶函數(shù))(2)關(guān)于軸對稱(3)是偶函數(shù),則,進(jìn)而可得到:關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”,即一旦函數(shù)具備對稱性,則只需要分析一側(cè)的性質(zhì),便可得到整個函數(shù)的性質(zhì),主要體現(xiàn)在以下幾點:(1)可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值(2)在作圖時可作出一側(cè)圖像,再利用對稱性得到另一半圖像(3)極值點關(guān)于對稱軸(對稱中心)對稱(4)在軸對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反;在中心對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例1、(2021·山東菏澤市·高三期末)已知函數(shù)對任意的都有,若的圖象關(guān)于直線對稱,且,則______.【答案】3【解析】因為的圖象關(guān)于直線對稱,所以的圖象關(guān)于軸對稱,所以為偶函數(shù),令則,所以,又,則,所以周期為6,所以,故答案為:3變式1、(2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足條件,且函數(shù)為奇函數(shù),則()A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【解析】因為,所以,即,故A正確;因為函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱,所以B正確;又函數(shù)為奇函數(shù),所以,根據(jù),令代有,所以,令代有,即函數(shù)為上的偶函數(shù),C正確;因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,又函數(shù)為上的偶函數(shù),,所以函數(shù)不單調(diào),D不正確.故選:ABC.變式2、(2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初)已知是定義在上的奇函數(shù),且的圖像關(guān)于直線對稱.若當(dāng)時,,則()A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù),的圖像關(guān)于直線對稱,,,是周期為的周期函數(shù),.故選:C.變式3、(2021·山東青島市·高三二模)已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,有下列四個命題:甲:是奇函數(shù);乙:的圖象關(guān)于直線對稱;丙:在區(qū)間上單調(diào)遞減;?。汉瘮?shù)的周期為2.如果只有一個假命題,則該命題是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】由連續(xù)函數(shù)的特征知:由于區(qū)間的寬度為2,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減與函數(shù)的周期為2相互矛盾,即丙、丁中有一個為假命題;若甲、乙成立,即,,則,所以,即函數(shù)的周期為4,即丁為假命題.由于只有一個假命題,則可得該命題是丁,故選:D.變式4、(2018年徐州模擬)已知,方程在內(nèi)有且只有一個,則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為【答案】2018【解析】,可得關(guān)于軸對稱,因為在內(nèi)有且只有一個零點,所以由對稱性可得在只有兩個零點。所以一個周期中含有兩個零點,區(qū)間共包含1009個周期,所以有2018個零點變式5、(2019年宿遷中學(xué)模擬)已知定義在上的函數(shù)滿足:,當(dāng)時,,則______________【答案】-【解析】:由可得:關(guān)于中心對稱,由可得:關(guān)于軸對稱,所以可求出的周期,則題型二單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù),則f(x)A.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為,關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,又,為定義域上的奇函數(shù),可排除AC;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知:在上單調(diào)遞減,D正確.故選:D.本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷;判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下,根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論;判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù),根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域為R的偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,則A.(log3)>()>()B.(log3)>()>()C.()>()>(log3)D.()>()>(log3)【答案】C【解析】是定義域為的偶函數(shù),.,又在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴,即.故選C.變式2、(2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足條件,且函數(shù)為奇函數(shù),則()A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【解析】因為,所以,即,故A正確;因為函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱,所以B正確;又函數(shù)為奇函數(shù),所以,根據(jù),令代有,所以,令代有,即函數(shù)為上的偶函數(shù),C正確;因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,又函數(shù)為上的偶函數(shù),,所以函數(shù)不單調(diào),D不正確.故選:ABC.題型三性質(zhì)的結(jié)合例3、(2021·興寧市第一中學(xué)高三期末)已知函數(shù)為R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于點對稱,且當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間上的()A.最小值為 B.最小值為 C.最大值為 D.最大值為【答案】B【解析】時,,且是減函數(shù),∵是奇函數(shù),∴在上是減函數(shù)且又,∴在上是減函數(shù).由的圖象關(guān)于點對稱得,又是奇函數(shù),,∴,,即,∴是周期函數(shù),周期為4.∴且,∴,∴.在上遞減,則在上遞減,,而,∴在上的最小值是.故選:B.變式1、(2021·江蘇揚州市高三模擬)已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減,且滿足,則關(guān)于的不等式的解集為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意,函數(shù)定義在上的奇函數(shù),在單調(diào)減,所以在單調(diào)減,且若函數(shù),當(dāng)時,,,此時無解;當(dāng)時,,可得,,此時無解;當(dāng)時,,可得,此時成立;當(dāng)時,可得,,所以,所以當(dāng)時,滿足不等式,令,可得函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)奇函數(shù),所以當(dāng)時,滿足不等式成立,綜上可得,不等式的解集為.故選:B.變式2、(福建省泉州市2021屆高三聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動(無滑動滾動),點恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,設(shè)頂點的軌跡方程是,則對函數(shù)的判斷正確的是()A.函數(shù)是奇函數(shù) B.對任意的,都有C.函數(shù)的值域為 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】由題意,當(dāng)時,頂點的軌跡是以點為圓心,以為半徑的圓;當(dāng)時,頂點的軌跡是以點為圓心,以為半徑的圓;當(dāng)時,頂點的軌跡是以點為圓心,以為半徑的圓;當(dāng),頂點的軌跡是以點為圓心,以為半徑的圓,與的形狀相同,因此函數(shù)在恰好為一個周期的圖像;所以函數(shù)的周期是;其圖像如下:A選項,由圖像及題意可得,該函數(shù)為偶函數(shù),故A錯;B選項,因為函數(shù)的周期為,所以,因此;故B正確;C選項,由圖像可得,該函數(shù)的值域為;故C正確;D選項,因為該函數(shù)是以為周期的函數(shù),因此函數(shù)在區(qū)間的圖像與在區(qū)間圖像形狀相同,因此,單調(diào)遞增;故D正確;故選:BCD.變式3、(2020·湖北荊州市·高三月考)對于定義在R上的函數(shù),下列命題中正確的有()A.若為奇函數(shù),則B.若,當(dāng)時,恒有成立,則為減函數(shù)C.若函數(shù)為偶函數(shù),為奇函數(shù).則為周期函數(shù)且最小正周期為4D.若函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1,則在上有最小值【答案】BD【解析】對于A,為定義在R上奇函數(shù),則,錯誤;對于B,,當(dāng)時,恒有成立,則有時,,或者時,,則為減函數(shù),正確;對于C,為奇函數(shù),所以,,由函數(shù)為偶函數(shù),,則為周期函數(shù)且最小正周期為8,錯誤;對于D,函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1,根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,則在上有最小值,正確.故選:BD.1、(2021·山東濟南市·高三二模)已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.為奇函數(shù) B.為減函數(shù)C.有且只有一個零點 D.的值域為【答案】AC【解析】,,,故為奇函數(shù),又,在R上單調(diào)遞增,,,,,,即函數(shù)值域為令,即,解得,故函數(shù)有且只有一個零點0.綜上可知,AC正確,BD錯誤.故選:AC2、(2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考)已知定義在上的函數(shù)滿足,且圖像關(guān)于對稱,當(dāng)時,,則________.【答案】-2【解析】因為圖像關(guān)于對稱,則,,故是以8為周期的周期函數(shù),故答案為:.3、(江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研)設(shè)函數(shù),則不等式的解集為_____________.【答案】【解析】因為,所以,所以函數(shù)為奇函數(shù),因為(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)所以函數(shù)為上的遞增函數(shù),所以不等式可化為,所以根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可化為,所以根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)可化為,可化為,可化為,解得:,所以不等式的解集為:.故答案為4、(湖北省宜昌市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考)已知函數(shù),則()A.的最小正周期是B.的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C.是的一條對稱軸D.的一個對稱中心是【答案】AB【解析】,A.函數(shù)的最小正周期,故A正確;B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律,可知函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到,故B正確;C.當(dāng)時,,不是函數(shù)的對稱軸,故C不正確;D.當(dāng)時,,此時函數(shù)值是2,故函數(shù)的一個對稱中心應(yīng)是,故D不正確.故選:AB5、(湖南省衡陽市2020-2021學(xué)年高三模擬)已知函數(shù),則下列結(jié)論中,正確的有()A.是的最小正周期B.在上單調(diào)遞增C.的圖象的對稱軸為直線D.的值域為【答案】BD【解析】由,知函數(shù)為偶函數(shù),又,知是的周期,當(dāng)時,,畫出的圖象如圖所示:由圖知,的最小正周期是,A錯誤

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