第16講含參單調性討論、極值和最值(原卷版+解析)

第16講含參單調性討論、極值和最值高考預測一：含參單調性討論1．設函數(shù)，其中，求的單調區(qū)間．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若在處的切線斜率為1．①設（其中為正常數(shù)），求函數(shù)的最小值；②若，，證明：．3．設函數(shù)，曲線在點，（2）處的切線方程為，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的單調區(qū)間．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若對于任意的，，都有成立，求正整數(shù)的最大值．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的，都有，求的取值范圍．高考預測二：含參極值問題7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間，上零點的個數(shù)．8．已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和0．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若的極小值為，求的極大值．高考預測三：含參最值問題9．已知函數(shù)的定義域為（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最小值．10．已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為28，求的取值范圍．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：在上是增函數(shù)；（Ⅱ）求在，上的最小值．12．已知函數(shù)，．（1）若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求，的值；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間，上的最大值．13．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在，上的最大值．14．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當，時，求用表示函數(shù)在的最小值．高考預測四：已知最值求參15．已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）記．當時，函數(shù)與軸有兩個不同的交點，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，求的值．16．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．17．已知函數(shù)，，．（1）討論的單調性；（2）是否存在，，使得函數(shù)在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．高考預測五：用函數(shù)在區(qū)間上的最值點若不是區(qū)間端點就是極值點解題18．已知函數(shù)，其中．（1）若，求的值；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．19．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達式；估計的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．20．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，求的值．21．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意的，恒成立，求的值．第16講含參單調性討論、極值和最值高考預測一：含參單調性討論1．設函數(shù)，其中，求的單調區(qū)間．【解析】解：由已知得函數(shù)的定義域為，且，（1）當時，，函數(shù)在上單調遞減，（2）當時，由，解得．、隨的變化情況如下表0極小值從上表可知當時，，函數(shù)在上單調遞減．當時，，函數(shù)在上單調遞增．綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞減．當時，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若在處的切線斜率為1．①設（其中為正常數(shù)），求函數(shù)的最小值；②若，，證明：．【解析】解：（Ⅰ）：，，，當時，恒成立，故在上單調遞增，當時，令，解得或，當時，令，即時，函數(shù)單調遞增，令，即時，函數(shù)單調遞減，當時，令，即時，函數(shù)單調遞增，令，即時，函數(shù)單調遞減，綜上所述：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，在，上單調遞減，（Ⅱ）在處的切線斜率為1，（1），解得，，①，，，令，解得，當，即，函數(shù)單調遞增，當，即，函數(shù)單調遞減，②不妨設，令，，，，令，解得，當，即，函數(shù)單調遞增，當，即，函數(shù)單調遞減，，．3．設函數(shù)，曲線在點，（2）處的切線方程為，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的單調區(qū)間．【解析】解：（Ⅰ）在點，（2）處的切線方程為，當時，，即（2），同時（2），，，則，即，；（Ⅱ），；，，，與同號，令，則，由，得，此時為減函數(shù)，由，得，此時為增函數(shù)，則當時，取得極小值也是最小值（1），則（1），故，即的單調區(qū)間是，無遞減區(qū)間．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若對于任意的，，都有成立，求正整數(shù)的最大值．【解析】解：（1），①時，恒成立，在上單調遞增，②當時，，令，解得，當時，，函數(shù)在，上單調遞增，當時，，函數(shù)在，上單調遞減，③當時，，令，解得，當，函數(shù)上單調遞增，當，函數(shù)上單調遞減，（2）對任意的，，成立，即成立，即恒成立，△，即，令，令，在上單調遞增，又，，在上有唯一零點，且，當時，，為減函數(shù)，當，時，，為增函數(shù)，，，，恒成立，，且是正整數(shù)，或，的最大值為2．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導，當時，，當，單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，，單調遞增；當時，，恒成立，當，單調遞減，綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，當時，，當時，，，當時，，當，，且遠遠大于和，當，，函數(shù)有兩個零點，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設，則，，求導，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導，當時，，當，單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，單調遞增；當時，，恒成立，當，單調遞減，綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，當，時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點．的取值范圍．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的，都有，求的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）．令，得，當時，隨的變化情況如下：00遞增遞減0遞增所以，的單調遞增區(qū)間是，和，單調遞減區(qū)間是；當時，隨的變化情況如下：00遞減0遞增遞減所以，的單調遞減區(qū)間是，和，單調遞增區(qū)間是；（Ⅱ）當時，有，不合題意，當時，由知在上的最大值是，任意的，，，解得，故對于任意的，都有，的取值范圍是，高考預測二：含參極值問題7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間，上零點的個數(shù)．【解析】解：（1），，100遞減極小值遞增極大值遞減所以的極小值為，極大值為．（2）由（1）得，①當時，在，上單調遞增，在，上遞減．又因為，，，所以在，上有兩個零點；②當時，，在，上有兩個零點；③當時，，在，上單調遞增，在，上遞減，又因為，，，所以在，上有兩個零點；④當時，，所以在上單調遞增，在上遞減，在上遞增．又因為，，，所以在，上有且僅有一個零點，在，上沒有零點，所以在，上有且僅有一個零點；⑤當時，恒成立，在，單調遞增，，（2），所以在，上有且僅有一個零點，綜上可知，當時，在，上有且僅有一個零點；當時，在，上有兩個零點．8．已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和0．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若的極小值為，求的極大值．【解析】解：（Ⅰ）．令，，的零點就是的零點，且與符號相同．又，當，或時，，即，當時，，即，的單調增區(qū)間是，，單調減區(qū)間是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是的極小值點，所以有解得，，．所以函數(shù)的解析式為．又由（Ⅰ）知，的單調增區(qū)間是，，單調減區(qū)間是．所以，函數(shù)的極大值為．高考預測三：含參最值問題9．已知函數(shù)的定義域為（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最小值．【解析】解：（1）函數(shù)，令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增．（2）①當時，由于，故，故，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減函數(shù)在區(qū)間上單調遞增函數(shù)的最小值為（2）．②當時，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增，所以函數(shù)的最小值為．綜上，10．已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為28，求的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)，，（1），（1），，在處的切線方程：；（Ⅱ），，，，或，，，100單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增，（1），（2），在區(qū)間，上的最大值為28，11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：在上是增函數(shù)；（Ⅱ）求在，上的最小值．【解析】證明：（Ⅰ）當時，，當時，，所以在上是增函數(shù)．（5分）（Ⅱ）解：，當，，，．若，則當，時，，所以在，上是增函數(shù)，又（1），故函數(shù)在，上的最小值為1．若，則當，時，，所以在，上是減函數(shù)，又（e），所以在，上的最小值為．若，則當時，，此時是減函數(shù)；當時，，此時是增函數(shù)．又，所以在，上的最小值為．綜上可知，當時，在，上的最小值為1；當時，在，上的最小值為；當時，在，上的最小值為．（13分）12．已知函數(shù)，．（1）若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求，的值；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間，上的最大值．【解析】解：（1）由公共切點可得：，則，，，則，，①又（1），（1），，即，代入①式可得：．（2），設則，令，解得：，；，，原函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增①若，即時，最大值為；②若，即時，最大值為③若時，即時，最大值為．綜上所述：當，時，最大值為；當時，最大值為．13．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在，上的最大值．【解析】解：（1）當時，，令，解得，所以，隨的變化情況如下表：000極大值極小值所以函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為（2），，，．，，解得，令，，所以在上是減函數(shù)，（1），．即所以，隨的變化情況如下表：，，0極小值所以，，，令則，所以在上遞減，而，所以存在使得，且當時，，當，時，，所以在上單調遞增，在，上單調遞減，因為，所以在上恒成立，當且僅當時取得等號．綜上，函數(shù)在，上的最大值．14．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當，時，求用表示函數(shù)在的最小值．【解析】解：（1）當時，，．令得，2．列表如下：0，22，00極大值極小值由表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為，2，．（2），，，由（1）可知在，上單調遞減，在，上單調遞增．．高考預測四：已知最值求參15．已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）記．當時，函數(shù)與軸有兩個不同的交點，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，求的值．【解析】解：（1）當時，，的定義域為，．（1分）當時，；當時，．所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．（4分）（2）當時，，則．由解得：；由解得：．所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．當時，取最小值，且（1）．（6分）當時，函數(shù)與軸有兩個不同的交點，即．實數(shù)的取值范圍為．（8分）（3）由題意，．①若，則，在上單調遞減；，即，適合題意．（10分）②若，即，則，在上單調遞增；，即，適合題意．（12分）③若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增；，即（舍．（14分）④若，即，在上單調遞減；，即，不合題意．綜上所述，或．（16分）16．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①時，，函數(shù)在上單調遞增．②時，函數(shù)在，，上單調遞增，在上單調遞減．③時，函數(shù)在，上單調遞增，在，上單調遞減．（2）由（1）可得：①時，函數(shù)在，上單調遞增．則，（1），解得，，滿足條件．②時，函數(shù)在，上單調遞減．，即時，函數(shù)在，上單調遞減．則，（1），解得，，滿足條件．③，即時，函數(shù)在，上單調遞減，在，上單調遞增．則最小值，化為：．而，（1），最大值為或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．綜上可得：存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．，的所有值為：，或．17．已知函數(shù)，，．（1）討論的單調性；（2）是否存在，，使得函數(shù)在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．【解析】解：（1），令，，，，在，上單調遞增，，（1），①若時，恒成立，即在區(qū)間，上單調遞增，②若時，則（1），則，則在區(qū)間，上單調遞減，③若，則，（1），又在，上單調遞增，結合零點存在性定理知，存在唯一的實數(shù)，使得，當，時，，則，則在，上單調遞減，當，時，，則，則在，上單調遞增，綜上所述：若時，在區(qū)間，上單調遞增，若時，在區(qū)間，上單調遞減，若時，存在唯一的實數(shù)，，在，上單調遞減，在，上單調遞增．（2）由（1）可得：①若，則，則，而（1），解得滿足題意，②若時，則，則時，而（1），解得滿足題意，③若時，令，，，則，在，上單調遞減，，令，，，由（1）可知（1），令，，，由（1）可知（1），，，，，綜上：當且，或當且時，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．高考預測五：用函數(shù)在區(qū)間上的最值點若不是區(qū)間端點就是極值點解題18．已知函數(shù)，其中．（1）若，求的值；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【解析】解：（1），當時，，當時，，在上遞增，在上遞減，，，（1），，；（2）由（1）可知：，時取等號，，時取等號，①時，有一個零點；②時，，，（1），，此時有兩個零點；③時，，，（1），，令，，在上遞增，（1），，此時有兩個零點；綜上：時，有一個零點；當且時，有兩個零點．19．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達式；估計的近似值（精確到．參