專題10拋物線方程及其簡單幾何性質(zhì)突破(原卷版+解析)

4/4專題10拋物線方程及其簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)題型一求軌跡方程1．已知點到的距離與到直線的距離相等，求點的軌跡方程．2．已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動圓圓心軌跡方程．3．點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是．4．點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是．5．平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大1，求動點的軌跡方程．6．設(shè)動圓與軸相切且與圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程為．7．已知動圓與定圓相外切，又與定直線相切，求動圓的圓心的軌跡方程．8．已知是拋物線的頂點，、是上的兩個動點，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓圓心，求點的軌跡方程．

題型二拋物線的幾何性質(zhì)9．已知拋物線的焦點為，在上有一點，,則的中點到軸的距離為A．4 B．5 C． D．610．設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點．若，且的面積為，則點到準線的距離是A． B． C． D．11．已知直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限，點在第四象限），與軸交于點，若線段的中點的橫坐標為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，12．已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，線段的延長線交拋物線的準線于點．若，，則A．2 B．3 C．6 D．813．以拋物線的頂點為圓心的圓交于，兩點，交的準線于，兩點，已知，，則A．2 B．4 C．6 D．814．已知拋物線的焦點為，經(jīng)過的直線交拋物線于，、，，過點、作拋物線準線的垂線，垂足分別為、，則以下四個結(jié)論正確的是A． B． C． D．15．已知拋物線，焦點為，過焦點的直線拋物線相交于，，，兩點，則下列說法一定正確的是A．的最小值為2 B．線段為直徑的圓與直線相切 C．為定值 D．若，則題型三最值問題16．已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動點，點到軸的距離為，點到直線的距離為，則的最小值為．17．設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為．18．已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線相交于，兩點，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．419．拋物線的焦點為,的準線與軸交于點,為上的動點.則的最小值為A．1 B． C． D．20．已知為曲線上一點，，，則的最小值為A．6 B． C．5 D．21．已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，為的中點，為上一點，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．822．已知拋物線的焦點為，點、為拋物線上的兩個動點，且，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C．2 D．123．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．624．已知點是拋物線上一點，點為拋物線的焦點，點，則的周長的最小值為A．3 B．1 C． D．25．拋物線上的點到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．26．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，則的中點到的準線的距離的最小值為A．2 B．4 C．5 D．627．已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，則的最小值為A． B． C． D．1/15專題10拋物線方程及其簡單幾何性質(zhì)題型一求軌跡方程1．已知點到的距離與到直線的距離相等，求點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)點為，則根據(jù)題意．故答案為：．2．已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動圓圓心軌跡方程．【解答】解：若動圓在軸右側(cè)，則動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，其軌跡是拋物線，方程為，若動圓在軸左側(cè)，則動圓圓心軌跡是負半軸，方程為，，綜上，動圓圓心軌跡方程是或，．3．點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是．【解答】解：設(shè)，依題意得點到點的距離比它到直線的距離小1，由兩點間的距離公式，得，根據(jù)平面幾何原理，得，原方程化為兩邊平方，得，整理得即點的軌跡方程是．故答案為：．4．點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是．【解答】解：點到點的距離比它到直線的距離小1，點到直線的距離和它到點的距離相等．根據(jù)拋物線的定義可得點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，，拋物線的標準方程為，故答案為．5．平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大1，求動點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)，由到定點的距離為，到軸的距離為，當時，的軌跡為；當時，又動點到定點的距離比到軸的距離大1，列出等式：化簡得，為焦點為的拋物線．則動點的軌跡方程為：或．6．設(shè)動圓與軸相切且與圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程為或．【解答】解：設(shè)動圓圓心的坐標為，則動圓與軸相切且與圓相外切，，當時，；當時，．故答案為：或．7．已知動圓與定圓相外切，又與定直線相切，求動圓的圓心的軌跡方程．【解答】解：令點坐標為，，動圓得半徑為，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，，，在直線的左側(cè)，故到定直線的距離是，所以，，即，化簡得：8．已知是拋物線的頂點，、是上的兩個動點，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓圓心，求點的軌跡方程．【解答】解：（1）因為點是拋物線的頂點，故點的坐標為，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，故，因為，則，因為、是上的兩個動點，則有，，故，整理可得，解得，由，消去可得，則有，，所以，解得，故直線的方程為，所以直線經(jīng)過一個定點．（2）線段的中點坐標為，又直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，①同理，線段的垂直平分線的方程為，②由①②解得，設(shè)點，則有，消去，得到，所以點的軌跡方程為．題型二拋物線的幾何性質(zhì)9．已知拋物線的焦點為，在上有一點，，則的中點到軸的距離為A．4 B．5 C． D．6【解答】解：設(shè)拋物線的準線為，過點作于點，準線與軸的交點為，由拋物線的定義可知，，故的中點到的準線的距離為，故的中點到軸的距離為4．故選：．10．設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點．若，且的面積為，則點到準線的距離是A． B． C． D．【解答】解：如圖所示：拋物線的焦點，，準線方程為：，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，可得，又由且，所以，所以，解得，代入拋物線的方程，可得，又由且，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，所以的面積為，解得，所以點到準線的距離是，故選：．11．已知直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限，點在第四象限），與軸交于點，若線段的中點的橫坐標為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，，，，直線方程為．聯(lián)立，消去，得，所以．所以，因為、中點橫坐標為3，所以，故，又，所以的取值范圍，．故選：．12．已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，線段的延長線交拋物線的準線于點．若，，則A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：設(shè)、在準線上的射影分別為、，過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，線段的延長線交拋物線的準線于點，由，可得：，因為，，可得，故選：．13．以拋物線的頂點為圓心的圓交于，兩點，交的準線于，兩點，已知，，則A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：設(shè)拋物線為，如圖，，，，，，，丨丨丨丨丨丨丨丨，，解得，故選：．14．已知拋物線的焦點為，經(jīng)過的直線交拋物線于，、，，過點、作拋物線準線的垂線，垂足分別為、，則以下四個結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解答】解：當直線的斜率不存在時，，，此時，，成立，不成立；，，，，，成立；，不成立．當?shù)男甭蚀嬖跁r，可設(shè)，聯(lián)立，得．得，，故成立；而，故不成立；，，，故，成立；而，故不成立．故選：．15．已知拋物線，焦點為，過焦點的直線拋物線相交于，，，兩點，則下列說法一定正確的是A．的最小值為2 B．線段為直徑的圓與直線相切 C．為定值 D．若，則【解答】解：拋物線，焦點為，準線方程為，過焦點的弦中通徑最短，所以的最小值為，故不正確，如圖：設(shè)線段的中點為，過點，，作準線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義可得，，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；設(shè)直線所在的直線方程為，由，消去可得，所以，，所以，故正確；所以，故正確．故選：．題型三最值問題16．已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動點，點到軸的距離為，點到直線的距離為，則的最小值為．【解答】解：由題意，點到準線的距離等于點到焦點的距離，從而到軸的距離等于點到焦點的距離減1．過焦點作直線的垂線，此時最小，，則，則的最小值為．故答案為：．17．設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，，，則由，得，，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為．故答案為：．18．已知拋物線的焦點為，直線與該拋物線相交于，兩點，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，可得，則，即，易知直線過該拋物線的焦點，因為過焦點的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，故選：．19．拋物線的焦點為，的準線與軸交于點，為上的動點．則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：由題意可得焦點，準線，過點作準線，所以，因為，所以，求的最小值等價于求的最大值，設(shè)，，所以，，所以，．當時，最小值為，所以最小值為．故選：．20．已知為曲線上一點，，，則的最小值為A．6 B． C．5 D．【解答】解：由題意可得，曲線是拋物線的右半部分且是焦點，為曲線上一點，設(shè)到準線的距離為，則，，要使其最小，則即為到準線的距離，的最小值為．故選：．21．已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，為的中點，為上一點，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由題意，得，故直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，，，則，，故，，過作垂直準線于點，根據(jù)拋物線的定義可得：，故選：．22．已知拋物線的焦點為，點、為拋物線上的兩個動點，且，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C．2 D．1【解答】解：設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．（當時取等號）則的最小值為1．故選：．23．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．6【解答】解：作軸于點，軸于設(shè)，由拋物線的方程可得，準線的方程為，作于，于，由拋物線的定義可得，，所以，，當時，所以，，所以，，所以，當時，，，所以，綜上，的最小值為，故選：．24．已知點是拋物線上一點，點為拋物線的焦點，點，則的周長的最小值為A．3 B．1 C． D．【解答】解由題意可得在拋物線的內(nèi)部，過向拋物線的準線作垂線交準線于交拋物線于，中，三角形的周長為：，由拋物線的性質(zhì)，可得，由拋物線的方程可得，拋物線的準線方程為，所以，，所以三角形的周長的最小值為：．故選：．25．拋物線上的點到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．【解答】解：因為點在拋物線上，設(shè)，則點到直線的距離，當時，．故選：．26．已知拋物線的焦點為，過點的