專(zhuān)題04 函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題04函數(shù)的單調(diào)性【方法點(diǎn)撥】1.單調(diào)函數(shù)是一對(duì)一的，運(yùn)用之結(jié)合待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式（如例1）.2.看到具有“（經(jīng)過(guò)變形后）對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)”的數(shù)式，應(yīng)想到構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題.【典型題示例】例1已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意，，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，緊緊抓住“是定義在上的單調(diào)函數(shù)”這一重要條件，設(shè)為定值，即，然后使用賦值法求出參數(shù)的值即可.【解析】因?yàn)槭嵌x在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，所以為定值，設(shè)，則，又由，∴，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為（3，4）.例2(多選題)若實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是A． B． C． D．【分析】構(gòu)造，，易知，是遞增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，得出結(jié)論．【解析】由，設(shè)，，易知，是遞增函數(shù)，當(dāng)，1時(shí)，，畫(huà)出，的圖象如下：根據(jù)圖象可知：，（a）（b）可能成立；故正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以（a）（b）可能成立，正確；當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋╝）（b），所以不可能成立，故選：．例3設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)【答案】D【解析】法一：分類(lèi)討論法①當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1時(shí)，f(x＋1)<f(2x)，即為2－(x＋1)<2－2x，即－(x＋1)<－2x，解得x<1.因此不等式的解集為(－∞，－1]．②當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x>0))時(shí)，不等式組無(wú)解．③當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2x≤0，))即－1<x≤0時(shí)，f(x＋1)<f(2x)，即為1<2－2x，解得x<0.因此不等式的解集為(－1,0)．④當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2x>0，))即x>0時(shí)，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意．綜上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集為(－∞，0)．法二：數(shù)形結(jié)合法∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象知，要使f(x＋1)<f(2x)，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))∴x<0，故選D.例4（2020·江蘇南通五月模擬·14）已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題的實(shí)質(zhì)是含參數(shù)（這里當(dāng)然是sin、cos）的不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)抓住已知條件的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性布列不等式.【解析】看到想“對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)”，將它變形為：，設(shè)，易知當(dāng)時(shí)，，故在單減，所以，解之得：所以的取值范圍．例5（2020·江蘇淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)12月考·14）)已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.【分析】由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)系，即可求解.解法一：實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，所以在單調(diào)遞增，而，.解析二：對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：（※）為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將（※）進(jìn)一步變形為：設(shè)，則所以在單調(diào)遞增，的解只有一個(gè).∴，∴.【鞏固訓(xùn)練】1．已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是__________.2.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.3.（2020·揚(yáng)州三檢·12）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．4.（2020·江蘇南通市如皋中學(xué)創(chuàng)新班四月模擬·2）已知實(shí)數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_(kāi)______．5.不等式的解集是.6.若滿足方程，滿足方程，則=.7.已知單調(diào)函數(shù)是定義域是，對(duì)于定義域內(nèi)任意，，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．

【答案或提示】1．【答案】【解析】考查分段函數(shù)的單調(diào)性，.2.【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，在R上單調(diào)遞增，因此由得，故答案為：3.【答案】【分析】作出函數(shù)圖象，考察動(dòng)區(qū)間間圖象的單調(diào)性，易得，當(dāng)即時(shí)，，此即為“臨界值”，而動(dòng)區(qū)間右移時(shí)滿足題意，故,所以不等式的解集為.4.【答