云南省通海三中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

云南省通海三中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C.6 D.82．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.C. D.3．拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.4．已知、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為一條漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B.C. D.15．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(xiàn)(，)與拋物線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.6．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.7．若函數(shù)，滿(mǎn)足且，則（）A.1 B.2C.3 D.48．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.9．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，10．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.811．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.412．蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.某地觀(guān)測(cè)人員根據(jù)如表的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，則下列說(shuō)法不正確的是（）（次數(shù)/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關(guān)關(guān)系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.14．直線(xiàn)被圓所截得的弦中，最短弦所在直線(xiàn)的一般方程是__________15．如圖，設(shè)正方形ABCD與正方形ABEF的邊長(zhǎng)都為1，若平面ABCD，則異面直線(xiàn)AC與BF所成角的大小為_(kāi)_____16．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________；若，則雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線(xiàn)為橢圓的“類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)”，已知橢圓C的“類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)”方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A不重合），且滿(mǎn)足，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.18．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng)（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時(shí)，二面角的大小為？19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程（2）討論函數(shù)的單調(diào)性20．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)21．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）如圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且平面與平面垂直，如圖2（1）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角為？若存在，則求三棱錐的體積，若不存在，則說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：B2、B【解析】求出，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為的一個(gè)方向向量，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.故選：B3、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C4、A【解析】先表示出漸近線(xiàn)方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用，解出點(diǎn)坐標(biāo)，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)在上，設(shè)，由得，解得，的面積為.故選：A.5、C【解析】由題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，則，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，將代入漸近線(xiàn)的方程，即，則雙曲線(xiàn)的離心率為，故選C.6、D【解析】先求出的坐標(biāo)，再求出其?！驹斀狻恳?yàn)?，，所以，故，故選：D.7、C【解析】先取，得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接求導(dǎo)，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因?yàn)樗?，所以，所?故選：C8、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題9、A【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱(chēng)命題與特稱(chēng)性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】畫(huà)出可行域，利用幾何意義求出目標(biāo)函數(shù)最大值.【詳解】畫(huà)出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.故選：C11、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵其各項(xiàng)均為正數(shù)，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.12、D【解析】根據(jù)樣本中心過(guò)經(jīng)過(guò)線(xiàn)性回歸方程、正相關(guān)的性質(zhì)和線(xiàn)性回歸方程的意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線(xiàn)性回歸方程可知，，變量，呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用的關(guān)系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，則，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故也滿(mǎn)足，即，故，此時(shí)滿(mǎn)足，則.故答案為：.14、【解析】先求出直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)該定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)弦長(zhǎng)最短，利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程，整理成一般式即可.【詳解】即，令，解得即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)圓的圓心為，半徑為，最短弦所在直線(xiàn)的方程為整理得最短弦所在直線(xiàn)的一般方程是故答案為：.15、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線(xiàn)所成角；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)直線(xiàn)與所成角為，則，因?yàn)?，所以；故答案為?6、①.②.3【解析】由漸近線(xiàn)方程知，結(jié)合雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線(xiàn)的離心率，由已知可得右焦點(diǎn)為，應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則雙曲線(xiàn)為，故右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：，3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線(xiàn)軸與直線(xiàn)l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線(xiàn)l：（，），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達(dá)定理，由則，解得，再由，求出的坐標(biāo)，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題意得：，，又，聯(lián)立以上可得：，，，橢圓C的方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，又，聯(lián)立得，解得或，所以，此時(shí)，直線(xiàn)的斜率為0.當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線(xiàn)l：（，），聯(lián)立，整理得，依題意，即（*）且，.又，，，即，且t滿(mǎn)足（*），，，故直線(xiàn)的斜率，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；綜上，直線(xiàn)的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長(zhǎng)方體、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線(xiàn)與面所成角即為與面所成角，即可求線(xiàn)面角的正弦值.（3）由題設(shè)易知二面角為，過(guò)作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)及勾股定理構(gòu)造方程求即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，連接、，又長(zhǎng)方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問(wèn)2詳解】連接，由E為棱的中點(diǎn)，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線(xiàn)與面所成角即為與面所成角為，故.【小問(wèn)3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，面，則，過(guò)作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時(shí)，二面角的大小為.19、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線(xiàn)斜率，結(jié)合切點(diǎn)可得切線(xiàn)方程；（2）求導(dǎo)后，分別在、和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可得的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，又，在處的切線(xiàn)方程為：，即；【小問(wèn)2詳解】，令，解得：，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.20、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用21、（1）（2）恒過(guò)點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，所以、，因?yàn)椋?，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)?，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，?dāng)時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故舍去，所以，則直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)；22、（1）（2）存在，靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)