河南省滑縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

河南省滑縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：①{a②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④lgan其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.42．已知命題，則為（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球4．設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項(xiàng)的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值5．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為（）A.28 B.C. D.6．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.607．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿(mǎn)足關(guān)系式：即稱(chēng)為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心8．若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢圓稱(chēng)為“對(duì)偶橢圓”，下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓”的是（）A. B.C. D.9．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的離心率為（）A. B.C. D.10．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長(zhǎng)的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長(zhǎng)的和為18.3尺，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺11．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上存在兩點(diǎn)、滿(mǎn)足，，則的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，，則公差______14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.15．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，且，的面積為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____16．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為y軸上一點(diǎn)且滿(mǎn)足|MA|=|MB|，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）填寫(xiě)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)（2）通過(guò)（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個(gè)數(shù)18．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)21．（12分）已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此確定正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不一定為常數(shù)，故④錯(cuò)誤故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】將全稱(chēng)命題否定為特稱(chēng)命題即可【詳解】由題意，根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的關(guān)系，可得命題，則，故選：C.3、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D4、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)的和的性質(zhì)可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得，由可得，故選項(xiàng)B正確；由可得，因?yàn)楣?，故選項(xiàng)A正確，，所以，故選項(xiàng)C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項(xiàng)D正確；所以選項(xiàng)C不正確，故選：C5、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長(zhǎng)【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長(zhǎng)，故選：C6、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.7、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)椋瑒t，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B8、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進(jìn)而判斷所給命題的真假【詳解】解：因?yàn)闄E圓短的軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：9、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長(zhǎng)為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的面積為，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.10、C【解析】設(shè)等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長(zhǎng)為16.1尺.故選：C11、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.12、A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、、、，推導(dǎo)出、、三點(diǎn)共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導(dǎo)出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、、、，則為、的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點(diǎn)共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因?yàn)?，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)題意列出相關(guān)的方程組，解得答案.【詳解】為等差數(shù)列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案為：214、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.15、【解析】利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程解出即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：.16、【解析】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，，，解得..由于，所以是垂直平分線與軸的交點(diǎn)，垂直平分線方程為，令得，由于，所以.也即的縱坐標(biāo)的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的圖象如圖，，即，方程解的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，即方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.18、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過(guò)的定點(diǎn),再根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問(wèn)1詳解】直線即,所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€PC的斜率所以此時(shí)直線的斜率所以當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求直線的方程為,即【小問(wèn)2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)點(diǎn)、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時(shí)，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過(guò)定點(diǎn).21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)椋?，所?同理可證.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)椋裕驗(yàn)椋獾没?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，不滿(mǎn)足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建