第09講比和比例（3大考點）

第09講比和比例（3大考點）考點考點考向一、比的意義1.比和比值a、b是兩個數(shù)或兩個同類的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫做a與b的比．記作a:b，或?qū)懗桑渲?；讀作a比b，或a與b的比．a(chǎn)叫做比的前項，b叫做比的后項．前項a除以后項b所得的商叫做比值．2.比、分數(shù)和除法的關系比：前項：后項=比值；分數(shù)：=分數(shù)值；除法：被除數(shù)÷除數(shù)=商．比的前項相當于分數(shù)的分子和除式中的被除數(shù)；比的后項相當于分數(shù)的分母和除式中的除數(shù)；比值相當于分數(shù)的分數(shù)值和除式的商．3.比、分數(shù)和除法的區(qū)別 比是表示兩個數(shù)關系的式子，分數(shù)是一個數(shù)，除法是一種運算．二、比的基本性質(zhì)1.比的基本性質(zhì)比的前項和后項同時乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變．2.最簡整數(shù)比比的前項和后項都是整數(shù)且互素，這樣的比叫做最簡整數(shù)比．注：題目中比的結(jié)果都必須化成最簡整數(shù)比．3.三連比的性質(zhì)1、如果，，那么；2、如果，那么．三、比例及其性質(zhì)1.比例a、b、c、d四個量中，如果a:b=c:d，那么就說a、b、c、d成比例，也就是表示兩個比相等的式子叫做比例．比例a:b=c:d也可以表示為．其中a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項．2.比例外項和比例內(nèi)項如果a:b=c:d，那么第一比例項a和第四比例項d叫做比例外項，第二比例項b和第三比例項c叫做比例內(nèi)項．3.比例中項對于一個比例而言，如果兩個比例內(nèi)項相同，即a:b=b:c，那么把b叫做a和c的比例中項．4.比例的基本性質(zhì)如果或，那么．反之，如果a、b、c、d都不為零，且，那么或．兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積．考點考點精講考點一：比的意義一、單選題1．（2022·上海普陀·期末）在一幅地圖上，如果用9厘米表示甲地到乙地1080米的實際距離，那么這幅地圖的比例尺是（

）A．1：120 B．1：1200 C．1：12000 D．1：120000【答案】C【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實際距離，代入數(shù)值即可．【詳解】解：1080米=108000厘米，9:108000=1:12000，故這幅地圖的比例尺是1:12000故選：C．【點睛】本題主要考查了比例尺的意義，能夠注意圖上距離與實際距離的單位要統(tǒng)一是解決問題的關鍵．2．（2021·上海市復旦初級中學期中）磁懸浮列車是一種可及含量很高的新型交通工具，它有速度快，爬坡能力強，能耗低等優(yōu)點，它的每個座位的平均能耗僅是飛機每個座位平均能耗的，是汽車每個座位平均能耗的，那么汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位能耗的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知：設磁懸浮列車每個座位的平均能耗為x，則飛機每個座位平均能耗為3x，汽車每個座位平均能耗為，然后即可求出汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的多少．【詳解】解：設磁懸浮列車每個座位的平均能耗為x，則飛機每個座位平均能耗為3x，汽車每個座位平均能耗為，∴汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的為÷3x=．故選：C．【點睛】本題主要考查單項式的除法，理解題目的意思，找準它們之間的關系是解決本題的關鍵．二、填空題3．（2022·上海浦東新·期末）求比值：1小時20分鐘∶40分鐘=______．【答案】2:1【分析】先把1小時20分鐘化為80分鐘，再用比的前項除以后項即可．【詳解】解：1小時20分鐘∶40分鐘=80分鐘∶40分鐘=2∶1故答案為：2∶1【點睛】此題主要考查了求比值的方法，另外還要注意求比值的結(jié)果是一個商，可以是整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)．4．（2022·上海徐匯·期末）求比值：36分鐘：1.2小時=__________．【答案】【詳解】解：36分鐘：1.2小時分鐘：72分鐘．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法，解題的關鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)．5．（2021·上海普陀·期末）求比值：800毫升：2升＝__________．【答案】##0.4【分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)除法的意義以及分數(shù)的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：800毫升：2升=800毫升：2000毫升=2：5=．故答案為：．【點睛】本題考查求比值的方法，求比值的結(jié)果是一個數(shù)；還要注意：要把單位化統(tǒng)一后再求比值．6．（2021·上海市淞誼中學階段練習）的比值是_____________．【答案】【分析】用比的前項除以后項，所得的商即為比值．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了比值的求法，用比的前項除以后項，所得的商即為比值．7．（2021·上海市第二初級中學階段練習）已知，x＝0.4y，則x：y＝___．【答案】【分析】根據(jù)比的定義兩個數(shù)相除，把小數(shù)化為分數(shù)再變?yōu)楸仁郊纯桑驹斀狻拷猓簒：y＝0.4y:y=0.4:1=．故答案為：．【點睛】本題考查比的理解，掌握比的定義就是兩個數(shù)相除是解題關鍵．8．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）0.15小時：15分鐘的比值為___________；【答案】【分析】先把比的前項0.15小時化成9分鐘，再根據(jù)求比值的方法，用比的前項除以后項，所得的商即為比值．【詳解】解：0.15小時：15分鐘=9分鐘：15分鐘=；故答案為：.【點睛】本題考查了求比值的方法，要注意：求比值的結(jié)果是一個數(shù)；還要注意：如果比的前后項是名數(shù)時，要把單位化統(tǒng)一后再求比值．考點二：比的基本性質(zhì)一、單選題1．（2021·上海市彭浦初級中學期末）下列各組中的兩個比，不能組成比例的是（

）A．10：12和0.5：0.6 B．20：10和60：20C．和12：8 D．6：2和【答案】B【詳解】解：A.10：12=5:6，0.5：0.6=5:6，所以不能能組成連比；B.20：10=2:1=6:3，60：20=3:1，所以能能組成連比6:3:1；C.=3:2，12：8=3:2，所以不能能組成連比；D.6：2=3:1，=3:1，所以不能能組成連比；故選B．【點睛】此題考查比的性質(zhì)的運用，比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值才不變．2．（2021·上海市彭浦初級中學期末）如果一個扇形的圓心角擴大為原來的3倍，半徑縮小為原來的，那么所得的扇形的面積與原來的扇形的面積的比值是（

）A．和原來一樣大 B．擴大到原來的3倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的9倍【答案】C【分析】根據(jù)扇形面積占圓的面積的幾分之幾分別求得原扇形面積和新扇形面積，依此即可求解．【詳解】解：設原扇形圓心角n°，半徑r，則新扇形圓心角3n°，半徑r，則原扇形面積：，新扇形面積：，，故選C．【點睛】本題考查了比的應用，正確表示出扇形的面積是解答本題的關鍵．3．（2021·上海市淞誼中學階段練習）有A、B、C三個數(shù)字，已知，，且A比C少2，則B是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由題意易得，然后根據(jù)題意可列式求解．【詳解】解：由，，可得：，；故選C．【點睛】本題主要考查比和比例，熟練掌握比和比例是解題的關鍵．4．（2021·上海·新中初級中學期中）三個大小相同的長方形拼在一起組成一個大長方形，把第二個長方形平均分成2份，把第三個長方形平均分成3份，那么陰影部分的面積是大長方形面積的(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題解析：設大長方形面積為1，那么陰影部分的面積為，則陰影部分的面積是大長方形面積的.故本題應選D.點睛：本題所求為陰影面積占總面積的比重，那么設總面積為定值，即可直觀表示陰影部分面積，從而求出比重.二、填空題5．（2022·上海普陀·期末）如果x：y=2：3，y：z=9：4，那么x：y：z=_____．【答案】6：9：4【分析】把x：y的值化成6：9即可解答．【詳解】解：∵x：y＝2：3，∴x：y＝6：9，∵y：z＝9：4，∴x：y：z＝6：9：4，故答案為：6：9：4．【點睛】本題考查了比的性質(zhì)，把x：y的值化成6：9是解題的關鍵．6．（2022·上海普陀·期末）a除以b的商是1.5，則a∶b的比值是_____．【答案】1.5【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法即可得到答案．【詳解】解：∵，∴．故答案為：1.5【點睛】本題考查了比與除法的關系，掌握比號相當于除號是解題關鍵．7．（2022·上海奉賢·期末）化成最簡整數(shù)比：＝_____．【答案】9：4【分析】計算除以即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：9：4．【點睛】此題考查了比例的化簡，正確掌握分數(shù)除以分數(shù)的運算法則是解題的關鍵．8．（2022·上海浦東新·期末）在比例尺是1∶6000000的地圖上測得甲地到乙地的距離是6厘米，甲地到乙地的實際距離大約是______千米．【答案】360【分析】設兩地間的實際距離是xcm，由在比例尺為1：6000000的地圖上，量得兩地間的距離為6厘米，即可得方程，解方程即可求得x的值，然后換算單位即可求得答案．【詳解】解：設兩地間的實際距離是xcm，∵比例尺為1：6000000，量得兩地間的距離為6厘米，∴，解得：x=36000000，經(jīng)檢驗符合題意，∵36000000cm=360km，∴兩地間的實際距離是360千米，故答案為360．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)——比例尺的性質(zhì)．分式方程，解題的關鍵是根據(jù)題意列方程，要注意統(tǒng)一單位．9．（2021·上海松江·期末）化為最簡整數(shù)比：1：＝________．【答案】63：10【分析】先將代分數(shù)化為假分數(shù)，然后即可計算．【詳解】解：，故答案為：63：10．【點睛】本題考查比的性質(zhì)，注意結(jié)果也是比，不能寫成分數(shù)．屬于基礎題．10．（2021·上海市淞誼中學階段練習）把濃度為20%和30%的兩種鹽水按1：4的比例混合在一起，得到的鹽水濃度為_____________．【答案】28%【分析】設濃度為20%鹽水質(zhì)量為a，濃度為30%鹽水質(zhì)量為4a，然后利用濃度公式計算．【詳解】解：∵濃度為20%和30%的兩種鹽水的比例為1：4，∴設濃度為20%鹽水質(zhì)量為a，濃度為30%鹽水質(zhì)量為4a，∴混合后的鹽水濃度．故答案為：28%．【點睛】本題考查了比和比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決問題的關鍵．11．（2021·上海市淞誼中學階段練習）化簡比：_____________．【答案】1：6【分析】先把單位化統(tǒng)一，根據(jù)有理數(shù)的除法即可得出答案．【詳解】解：1.6dm=16cm，，故答案為：1：6．【點睛】單位一定要統(tǒng)一．這是本題的易錯點．有理數(shù)和有理數(shù)相乘和相除時遇到帶分數(shù)一定要把它化成假分數(shù)；除以一個數(shù)就是乘以這個數(shù)的倒數(shù)．三、解答題12．（2022·上?！ｎ}練習）堯旭教育女教師的人數(shù)是全體教師的，比男教師多144人，那么昂立智立方共有教師多少人？【答案】昂立智立方共有教師人【分析】根據(jù)題意計算出女教師比男老師多的人數(shù)占比，再結(jié)合題意計算即可．【詳解】解：男教師占比：，女教師比男老師多的人數(shù)占比：，總?cè)藬?shù)：（人）．答：昂立智立方共有教師人．【點睛】本題考查分數(shù)的列式運算，解決本題的關鍵是計算過程中不出錯．13．（2022·上海浦東新·期末）已知，，求．（結(jié)果寫成最簡整數(shù)比）【答案】【詳解】解：因為，所以，所以【點睛】本題考查了比的性質(zhì)，掌握比的性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2021·上海普陀·期末）已知，，求．【答案】x：y：z=16：9：12【分析】根據(jù)比的性質(zhì)，把x：y的前項和后項同時乘24變成16：9，把y：z的前項和后項同時乘6變成9：12，兩個比中的y都是9份的數(shù)，進而再寫出x：y：z即可．【詳解】解：因為x：y=：=16：9，y：z=：2=9：12，所以x：y：z=16：9：12．【點睛】本題考查了比的基本性質(zhì)的靈活運用．解決此題關鍵是根據(jù)比的性質(zhì)把兩個比中y的份數(shù)轉(zhuǎn)化成一樣多，進而再寫出x、y和z的比即可．考點三：比例一、單選題1．（2021·上海市第二初級中學階段練習）已知三個數(shù)為3、4、8，若再添加一個數(shù)，使這四個數(shù)能組成一個比例，那么這個數(shù)可以是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】通過計算比值的方法即可判斷．【詳解】解：A、添加3，四個數(shù)為3、3、4、8，而3×83×4，故本選項不符合題意；B、添加6，四個數(shù)為3、4、6、8，而3×8=4×6，故本選項符合題意；C、添加9，四個數(shù)為3、4、8、9，而3×94×8，故本選項不符合題意；D、添加12，四個數(shù)為3、4、8、12，而3×124×8，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了比例的意義或基本性質(zhì)，判斷四個數(shù)能否組成比例，一般運用比例的性質(zhì)判斷較為簡便．2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知數(shù)字4是數(shù)字2和另外一個數(shù)的比例中項，這個數(shù)是（

）A．8 B．1 C．2 D．【答案】A【詳解】解：設另外一個數(shù)為則所以解得：所以另外一個數(shù)是8.故選A【點睛】本題考查的是比例中項的含義，利用比例中項列比例式是解本題的關鍵.3．（2021·上?！て谀┰谥?，如果前項增加33，要使比值不變，那么后項應A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39【答案】D【分析】設原數(shù)分別為，，后項增加，由計算求解即可．【詳解】解：設原數(shù)分別為，，后項增加，由題意可得：解得：故選：．【點睛】本題考查了比例的應用．解題的關鍵在于熟練掌握比例的運算．二、填空題4．（2021·上海市淞誼中學階段練習）如果（，都不為0），那么_____________．【答案】4：3##【分析】逆用比例的基本性質(zhì)，把所給的等式（，都不為0），改寫成一個外項是，一個內(nèi)項是的比例，則和相乘的數(shù)就作為比例的另一個外項，和相乘的數(shù)就作為比例的另一個內(nèi)項，據(jù)此寫出比例即可．【詳解】解：∵（a，都不為0），∴，∴．故答案為：4：3．【點睛】題目主要考查比例性質(zhì)的逆用，理解內(nèi)項積等于外項積是解題關鍵．5．（2021·上海·華東政法大學附屬中學期末）如圖，C、D是線段AB上兩點，如果AC、CD、DB長之比為3：4：5，那么______AB．【答案】【分析】已知AC=3k，CD=4k，DB=5k，可求出AC：AB，據(jù)此即可完成解答.【詳解】解：由題意，可設AC=3k，CD=4k，DB=5k，∴AB=AC+CD+DB=12k，∴，即AC=AB，故答案為：【點睛】本題主要考查比例的相關知識，解題關鍵在于表示出線段AB.6．（2022·上海普陀·期末）如果4是a和2的比例中項，那么a＝_____．【答案】8【分析】先根據(jù)比例中項的定義列出比例式，再利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．【詳解】解：∵4是a與2的比例中項，∴a：4＝4：2，∴2a＝16，解得a＝8．故答案為：8．【點睛】本題考查了比例中項的定義，比例中項是一種特殊的比例項，成比例的四個量（包括數(shù)或線段），如果內(nèi)項相等，即比例式為，則內(nèi)項b稱為外項a和c的比例中項，這時a，b，c成為等比數(shù)列或集合數(shù)列，所以比例中項亦稱為等比中項或幾何中項．7．（2021·上海市復旦初級中學期中）A、B、C為三個正數(shù)，若，請從大到小將A、B、C排序：________．【答案】A＞B＞C【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)分別用B表示出A、C，然后比較大小即可．【詳解】解：∵，∴，，∵A、B、C為三個正數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟知比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題8．（2021·上海松江·期末）求x的值：0.5：x＝4：．【答案】x＝【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，∴x=．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，此題利用“內(nèi)項之積等于外項之積”求解．9．（2022·上海奉賢·期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴x=．答：x的值為．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2022·上海普陀·期末）已知，求x的值．【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行計算即可解答．【詳解】解：∵5，∴，∴，∴，∴x的值為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵．11．（2021·上海松江·期末）在一張地圖上量得上海與南京兩地的距離為3.2厘米，又已知上海與南京、北京兩地的實際距離分別約為300千米和1080千米，那么在這張地圖上，上海與北京兩地的距離為多少厘米？【答案】11.52厘米【分析】根據(jù)地圖上距離的比值等于實際距離的比值即可求解．【詳解】解：設在這張地圖上，上海與北京兩地的距離為x厘米．根據(jù)題意得到：．解得x＝11.52，答：在這張地圖上，上海與北京兩地的距離為11.52厘米．【點睛】本題主要考查了地圖上距離的比值等于實際距離的比值，關鍵是根據(jù)題意得出方程解答．12．（2021·上海市淞誼中學階段練習）已知，．求：(1)求最簡整數(shù)比；(2)的值．【答案】(1)6：20：15(2)11【分析】（1）把和都變成整數(shù)比，再把兩個比中的y變成相同的數(shù)，再根據(jù)比的基本性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)（1）中所得關系，設x=6k，y=20k，z=15k，(k≠0)，再代入要求的式子進行計算，即可得出答案．(1)∵，，∴x：y=6:20，y：z=20:15，∴x：y：z=6：20：15．(2)∵x：y：z=6：20：15，∴設x=6k，y=20k，z=15k，(k≠0)，∴==11．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵．鞏固鞏固提升一、選擇題（本大題共10題，每題3分，滿分30分）1.（2019洋涇東12月考11）下列判斷中正確的是（）A.如果B.4分米與32分米的比值是；C.D.【答案】B；【解析】解：A、如果，故A錯誤；B、4分米：32分米=，故B正確；C、16與3的比是，故C錯誤；D、兩隊得分的比值為，故D錯誤；故答案選B.2.（盧灣中學2020期末2）下列各組數(shù)不能組成比例的是()A.2，6，4，12B.，2，，3C.0.2，，2.5，1.2D.4.5，2.5，5，9.【答案】C；【解析】解：因為，故A、B、D組數(shù)能組成比例，故答案選C.3.（浦東四署2020期末2）下列各數(shù)中，不能和2、3、4組成比例的是（）A.1；B.；C.；D.6.【答案】A；【解析】解：設x與2、3、4能組成比例，則得或或，解得，故B、C、D與2、3、4能組成比例，因此答案選A.4.（哈爾濱道里2020期末8）把5：8的前項加上15，要使比值不變，后項應該加上（）A.20；B.24；C.32；D.40.【答案】B；【解析】解：，故后項應該加上24，故答案選B.5.（2019進才北12月考3）在一幅地圖上，量得A、B兩地距離是7厘米,已知兩地實際距離為350千米,則該地圖的比例尺是（）A.1:50B.1:5000C.1:500000D.1:5000000【答案】D；【解析】解：根據(jù)題意，該地圖的比例尺為：7厘米：350千米=7厘米：35000000厘米=1：5000000，故答案選D.6.（2019北蔡12月考2）已知，那么（）A.B.C.D.【答案】B；【解析】解：因為，所以，故答案選B.7.（嘉定區(qū)2020期末18）已知甲、乙兩數(shù)的和是150，如果甲、乙兩數(shù)之比是2：3，那么甲數(shù)是（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】C；【解析】解：設甲、乙兩數(shù)分別為x，y，依題有，整理得，解之得，故甲數(shù)為60.因此答案選C.8.（哈爾濱香坊2020期末1）把5g鹽加入95g的水中，鹽與水的比是（）A.；B.；C.；D..【答案】B；【解析】解：根據(jù)題意，鹽與水的比是5g：95g=5g:95g=1:19，故答案選B.9.（2019大同初中12月考2）甲、乙、丙三人合作一批零件，到完工時，甲完成總數(shù)的，乙完成總數(shù)25％，丙完成總數(shù)的，則三人所做的零件數(shù)量之比是()A.3:4:12B.2:4:3C.4:3:5D.3:5:4【答案】C;【解析】解：甲乙丙三人所做零件數(shù)量之比為===，故答案選C.10.（2019建平南12月考15）甲乙兩數(shù)的比是，若乙數(shù)是60，甲數(shù)是（）A.48B.90C.40D.24【答案】B;【解析】解：設甲數(shù)為x，根據(jù)題意，得，解得，故答案選B.二、填空題（本大題共11題，每題3分，滿分33分）11.（浦東四署2020期末12）已知，那么=：.【答案】4：3；【解析】解：因為，所以.12.（閔行區(qū)2020期末13）求比值：2.4小時：12分鐘=.【答案】12；【解析】解：2.4小時：12分鐘=144分鐘：12分鐘=144：12=12：1=12.13.（嘉定區(qū)2020期末5）求比值：_________.【答案】；【解析】解：.14.（虹口區(qū)2019期末14）一幅地圖比例尺是1︰6000000，上海到杭州地圖上距離是3.5厘米，則上海到杭州的實際距離是千米．【答案】210；【解析】解：設上海到杭州的實際距離是x厘米，根據(jù)題意得，解得厘米，故千米.15.（川沙中學南校2019期末13）如果a:b=3:5,b:c=3:2，那么a:b:c=.【答案】9:15:10；【解析】解：因為a:b=3:5=9：15,b:c=3:2=15：10，所以a:b:c=9：15：10.16.（浦東四署2020期末11）化簡最簡整數(shù)比：1.5千克：600克=.【答案】5：2；【解析】解：1.5千克：600克=1500克：600克=1500：600=5：2.17.（2019浦東四署12月考13）化成最簡整數(shù)比：=.【答案】3：2：1；【解析】解：=.18.（盧灣中學2020期末9）若正數(shù)3是m與12的比例中項，那么m=.【答案】；【解析】解：因為正數(shù)3是m與12的比例中項，則，解得.19.（2019上南東12月考9）一個比的前項是最小合數(shù)，后項是最小素數(shù)，這個比的比值是.【答案】