專題13因式分解壓軸題五種模型全

專題13因式分解壓軸題五種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一判斷是否是因式分解】 1【考點二公因式及提提公因式分解因式】 2【考點三已知因式分解的結果求參數(shù)】 3【考點四運用公式法分解因式】 4【考點五運用分解因式求值】 7【過關檢測】 8【典型例題】【考點一判斷是否是因式分解】例題：（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的變形，可得答案．【詳解】解：A．把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故此選項符合題意；B．沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故此選項不符合題意；C．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；D．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟練掌握因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的變形是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)因式分解的定義以及提公因式法和公式法分解因式，依次判斷即可得到正確結論．【詳解】解：A.，故原因式分解錯誤，不符合題意；B.，不能進行因式分解，故不符合題意；C.，故原因式分解錯誤，不符合題意；D.，因式分解正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的知識，解決問題的關鍵是掌握提公因式法和公式法分解因式．2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，逐一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項錯誤；B、結果不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意，選項錯誤；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項錯誤；D、是因式分解，符合題意，選項正確，故選D．【點睛】本題考查了因式分解得定義，解題關鍵是掌握因式分解是整式的變形，變形前后都是整式，且結果是積的形式．【考點二公因式及提提公因式分解因式】例題：（2022秋·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？茧A段練習）把因式分解時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公因式的概念（多項式各項都含有的相同因式），即可求解．【詳解】由題意得應該提取的公因式是：故選：D．【點睛】本題考查因式分解中公因式的概念，解題的關鍵是掌握公因式的概念．【變式訓練】1．（2022秋·河南鶴壁·八年級校考期中）多項式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)多項式的公因式的確定方法，即可求解．【詳解】解：多項式的公因式是．故選：A．【點睛】本題考查了公因式的定義．確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．2．（2023秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習）和的公因式是_______．【答案】【分析】直接找出公因式進而提取即可．【詳解】解：．則公因式是：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．3．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【考點三已知因式分解的結果求參數(shù)】例題：（2022秋·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實驗中學?？计谀┓纸庖蚴剑篲_________．【答案】【分析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察分解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式訓練】1．（2022秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若能分解成，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)多項式分解成，所以整式乘法得出的多項式與相同，由此得出一次項系數(shù)的值．【詳解】解：，∵是由分解成的，∴一次項系數(shù)．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握整式乘法與因式分解為互逆的運算過程是解題的關鍵．2．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學?？寄M預測）已知多項式分解因式為，則bc的值為______．【答案】24【分析】利用整式的乘法去括號合并同類項后，對比各項系數(shù)相等即可．【詳解】∵分解因式為∴∴，∴故答案是24【點睛】本題考查多項式乘以多項式，以及多項式相等時對應各項系數(shù)相等，正確利用公式計算是關鍵．3．（2022秋·福建泉州·八年級福建省永春第三中學校聯(lián)考期中）若多項式可分解為，則的值為______【答案】8【分析】先將的括號展開，求出a和b的值，代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴，解得：，∴．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，解題的關鍵是熟練掌握多項式乘以多項式的法則．【考點四運用公式法分解因式】例題：（2023秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）（1）因式分解：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)進行分解；（2）首先分組，進而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查分組分解法分解因式，提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．解題的關鍵正確分組、熟練掌握完全平方公式和平方差公式．【變式訓練】1．（2023秋·湖北荊門·八年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．2．（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．3．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谀┓纸庖蚴剑?1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過添括號，將轉化為，再利用平方差公式進行分解因式即可求解．（2）將轉化為，先提出公因式，再利用十字相乘法進行分解因式即可求解．【詳解】（1）（2）【點睛】本題考查分解因式的方法，解題的關鍵是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．【考點五運用分解因式求值】例題：（2022·四川成都·八年級期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．【答案】9【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，將已知等式整體代入計算即可求出值．【詳解】解：∵a+b=3，ab=2，∴=9，故答案為：9．【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產(chǎn)建設兵團第一中學校考期末）已知，，則代數(shù)式的值為__________．【答案】【分析】原式提取公因式，將已知等式代入計算即可求出值．【詳解】解：，，，故答案為：．【點睛】本題考查了提公因式法的運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．2．（2022秋·甘肅酒泉·七年級校考期中）數(shù)學中，運用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．例如，已知：，則代數(shù)式．請你根據(jù)以上材料解答以下問題：(1)若，則______；(2)當，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)整體思想對分解因式即可得到結果；（2）利用整體思想對加減，再提公因式即可得出結果．【詳解】（1）解：∵∴故答案為：2；（2）解：∵∴.【點睛】本題考查了運用整體思想方法求代數(shù)式的值，利用因式分解對所求式子進行化簡是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·浙江·七年級專題練習）把多項式分解因式，結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇·七年級期中）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義解答即可．【詳解】A.從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B.從左至右的變形屬于整式乘法且計算錯誤，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C.從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D.右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是因式分解，熟知把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式是解題的關鍵．3．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是乘法運算 B．都是因式分解C．①是乘法運算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法運算【答案】C【分析】根據(jù)整式的混合運算，結合整式乘法與因式分解定義對題中運算進行判定即可得到答案．【詳解】解：①屬于整式乘法，是利用平方差公式進行計算；②屬于因式分解，是利用提公因式法進行因式分解；故選：C．【點睛】本題考查整式混合運算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟練掌握整式乘法及因式分解的定義是解決問題的關鍵．4．（2023春·浙江·七年級專題練習）若是多項式因式分解的結果，則的值為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先計算，由即可求得的值．【詳解】解：，由題意得，，，，故選：C．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，因式分解的定義，熟練掌握多項式的運算法則是解題的關鍵．5．（2023春·七年級單元測試）若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設原式，進而求出即可．【詳解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故選C．【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關鍵．6．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列因式分解：①；②；③；④，其中結果正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)因式分解逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：①，故①不正確；②，故②正確；③，故③正確；④，故④正確,∴正確的有3個，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．二、填空題7．（2023春·浙江·七年級專題練習）單項式與的公因式是___________．【答案】##【分析】根據(jù)公因式的確定方法：①系數(shù)取最小公倍數(shù)②字母取公共的字母③字母指數(shù)取最小的，即可寫出答案．【詳解】解：∵與中都含有，∴與的公因式為．故答案是：．【點睛】本題主要考查了公因式的確定，關鍵是正確把握公因式的確定方法．8．（2022秋·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：______．【答案】【分析】先提出公因式，然后根據(jù)，即可．【詳解】．【點睛】本題考查因式分解的知識，解題的關鍵是掌握提因式分解的方法：公式法和提公因式法．9．（2023春·八年級課時練習）已知，，則的值是________．【答案】【分析】對式子進行因式分解，再整體代入求解即可．【詳解】解：，將，代入可得，原式，故答案為：【點睛】此題考查了因式分解，代數(shù)式求值，解題的關鍵是掌握因式分解的方法，利用整體代入進行求解．10．（2023春·七年級課時練習）下列從左到右的變形中，是因式分解的有___________.①(x＋5)(x－5)＝x2－25②x2－9＝(x＋3)(x－3)③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1⑤x＋1＝x(1＋)⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)【答案】②③⑥【詳解】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，根據(jù)因式分解的定義可得②③⑥屬于因式分解.11．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習）已知，則的值為___________．【答案】1【分析】先提出前兩項的公因式，原式可變形為，再把代入，可得，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，利用整體代入思想解答是解題的關鍵．12．（2023春·七年級單元測試）甲、乙兩個同學分解因式時，甲看錯了，分解結果為；乙看錯了，分解結果為，則正確的分解結果為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關鍵是理解題意，求出、的值．三、解答題13．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因為最后結果不是幾個整式的積的形式；（4）是因式分解．【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判斷即可．【詳解】解：（1），從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2），是因式分解；（3），不是因式分解，因為最后結果不是幾個整式的積的形式；（4），是因式分解．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基礎概念題型，熟知因式分解的定義是關鍵．14．（2023秋·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式進行分解因式即可得到答案；（2）利用完全平方公式進行分解因式即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查了因式分解，完全平方公式，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．15．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）利用因式分解計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）提取公因數(shù)，進行計算即可得；（2）提取公因數(shù)，運用平方差公式進行計算即可得．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題考查了因式分解，平方差公式，解題的關鍵是掌握這些知識點，正確計算．16．（2023春·江蘇·七年級期中）分解因式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先用完全平方公式，再用平方差公式．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解法是解決本題的關鍵．17．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用平方差公式進行因式分解．（2）先變形，再運用提公因式法進行因式分解．（3）先提取公因式，再逆用完全平方公式進行因式分解．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點睛】本題主要考查運用提公因式法、公式法進行因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法是解決本題的關鍵．18．（2023秋·寧夏石嘴山·八年級統(tǒng)考期末）下面是某同學對多項式進行因式分解的過程．解：設，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的_______．A．提取公因式；B．平方差公式；C．兩數(shù)和的完全平方公式；D．兩數(shù)差的完全平方公式．(2)該同學因式分解的結果是否徹底_______．（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果_____．(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式進行因式分解．【答案】(1)C(2)不徹底；(3)【分析】（1）完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)積的兩倍的和或差；（2）還可以分解，所以是不徹底；（3）按照例題的分解方法進行分解即可．【詳解】（1）解：由是利用了兩數(shù)和的完全平方公式，故C正確；故選：C．（2）解：∵，∴該同學因式分解的結果不徹底，最后結果為：．故答案為：不徹底；．（3）解：設，原式．【點睛】本題主要考查了運用公式法分解因式和學生的模仿理解能力，按照題干提供的方法和樣式解答即可．19．（2023春·浙江·七年級專題練習）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．解：設另一個因式為，得，則，∴，解得：，，∴另一個因式為，m的值為．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及的值．【答案】另一個因式為，的值為．【分析】根據(jù)例題的方法進行計算即可求解．【詳解】解：設另一個因式為，得：，則∴解得：，∴另一個因式為，的