第08講二次根式的乘除

第08講二次根式的乘除掌握二次根式的乘法法則：，能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)掌握二次根式的除法法則：，能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)。3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，會(huì)進(jìn)行二次根式的乘除法混合運(yùn)算，并能將二次函數(shù)化為最簡(jiǎn)形式。知識(shí)點(diǎn)1：二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣注意：aa≥0，b＞0時(shí)，才有意義；如果被開(kāi)方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式的概念被開(kāi)方數(shù)不含分母被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式化簡(jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算(a＞0，b＞0，c＞0）被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)。考點(diǎn)一：求字母的取值范圍例1．（2022秋?永興縣期末）若則（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x為一切實(shí)數(shù)【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得x≥0且x﹣6≥0，所以x≥6．故選：A．【變式11】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）若＝成立，則x的取值范圍為（）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1【答案】D【解答】解：若＝成立，則x≥0，1﹣x＞0，解得：0≤x＜1，故選：D．【變式12】（2023春?城區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)+|x﹣2|結(jié)果為（）A．0 B．2x﹣4 C．4﹣2x D．4【答案】C【解答】解：∵有意義，∴2﹣x≥0，解得：x≤2，∴原式＝2﹣x+2﹣x＝4﹣2x，故選：C．【變式13】（2022春?堯都區(qū)期中）若?＝，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)≥24 D．2≥a≥﹣2【答案】A【解答】解：∵?＝，∴a+2≥0，a﹣2≥0，解得：a≥﹣2，a≥2，即a的范圍為：a≥2．故選：A．考點(diǎn)二：二次根式乘除的運(yùn)算例2.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：．【答案】3．【解答】解：原式＝2××＝2××＝×6＝3．【變式21】（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝﹣．故選：B．【變式22】（2021秋?古冶區(qū)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）6；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝＝6；原式＝＝＝3．例3.（2021春?鐵西區(qū)期末）計(jì)算：×÷2．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．【變式31】（2022春?周至縣期末）計(jì)算：×4÷．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝2×4×÷4＝8÷4＝2．【變式32】（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】9．【解答】解：原式＝×4＝＝＝＝9．【變式33】（2021春?西吉縣期末）計(jì)算：÷（3）×（﹣5）．【答案】﹣．【解答】解：原式＝××（﹣5）＝﹣＝﹣×＝﹣．考點(diǎn)三：二次根式符號(hào)的化簡(jiǎn)例3.（2021春?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：?（﹣）÷3．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：?（﹣）÷3＝×（﹣）×＝﹣＝﹣a2b．【變式31】（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】．【解答】解：原式＝12a÷3b2＝＝＝4．【變式32】（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：．【答案】﹣9a2．【解答】解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得：a＞0，b＞0，原式＝?（﹣）×3×＝﹣＝﹣?a2b＝﹣9a2．考點(diǎn)四：最簡(jiǎn)二次根式的判斷例4.（2023春?南昌縣期中）下列根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵＝，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵＝2，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵＝3，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵屬于最簡(jiǎn)二次根式，∴選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【變式41】（2023春?北京期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；B、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；C、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；D、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式42】（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、＝，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、＝2，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、＝|a|，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意．故選：A．考點(diǎn)五：化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式例5.（2022秋?南關(guān)區(qū)期末）將化為最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是．【答案】．【解答】解：＝＝，故答案為：．【變式51】（2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）將化為最簡(jiǎn)根式是．【答案】3．【解答】解：＝＝3，故答案為：3．【變式52】（2023春?雄縣月考）化成最簡(jiǎn)二次根式：＝．【答案】．【解答】解：，故答案為：．【變式53】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）二次根式中：、、、是最簡(jiǎn)二次根式的是．【答案】．【解答】解：＝＝，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，＝2，＝|x|，被開(kāi)方數(shù)中含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式，故答案為：．考點(diǎn)六：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)例6.（2023?商丘二模）寫(xiě)出一個(gè)實(shí)數(shù)x，使是最簡(jiǎn)二次根式，則x可以是．【答案】5（答案為不唯一）．【解答】解：當(dāng)x＝5時(shí)，＝是最簡(jiǎn)二次根式，故答案為：5（答案不唯一）．【變式61】（2023春?金鄉(xiāng)縣月考）若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，則m+n＝．【答案】8．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，解得：n＝3，m＝5，∴m+n＝8，故答案為：8．【變式62】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則m＝．【答案】2．【解答】解：＝＝2，則m+1＝3，解得：m＝2，故答案為：2．考點(diǎn)七：分母有理化例7.（2022秋?南安市期末）化簡(jiǎn)：＝．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝＝2+，故答案為：2+．【變式71】（2022秋?徐匯區(qū)期末）計(jì)算：＝．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：＝＝．故答案為：．【變式72】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）分母有理化：＝．【答案】﹣3﹣．【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案為：﹣3﹣．【變式73】（2022秋?寶山區(qū)期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)：＝．【答案】﹣2．【解答】解：＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．考點(diǎn)八：比較二次根式的大小例8.（2021秋?曲陽(yáng)縣期末）比較大?。骸敬鸢浮浚荆窘獯稹拷猓海?，＝，∵＞，∴＞．故答案為：＞．【變式81】（2021春?金壇區(qū)期末）比較大?。海ㄌ顚?xiě)“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】＜．【解答】解：∵＝＝＝＝1+，＝＝＝，∴1+＜+1，故答案為：＜．【變式82】（2020?昆山市一模）設(shè)a＝，b＝2+，c＝，則a、b、c從小到大的順序是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：c＝＝＝+；∵2＝＞，∴b＞c，又∵a2＝（）2＝7，c2＝（+）2＝5+2，且＞1，∴a2＜c2，∴a＜c，∴a＜c＜b．故答案為a＜c＜b．考點(diǎn)九：分母有理化的應(yīng)用例9.（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料，并解決問(wèn)題：定義：將分母中的根號(hào)化去的過(guò)程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式＝＝（+）．運(yùn)用以上方法解決問(wèn)題：（1）將分母有理化；（2）比較大?。海ㄔ跈M線上填“＞”、“＜”或“＝”）①；②（n≥2，且n為整數(shù)）；（3）化簡(jiǎn)：+++……+．【答案】（1）2﹣；（2）①＜，②＜；（3）﹣1．【解答】解：（1）＝＝＝2﹣；（2）①∵＝+，＝+，＜，∴＜，②∵＝+，＝+，∴＜，故答案為：①＜，②＜；（3）原式＝++…+＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【變式91】（2022秋?濟(jì)南期末）閱讀材料：我們已經(jīng)知道，形如的無(wú)理數(shù)的化簡(jiǎn)要借助平方差公式：例如：．下面我們來(lái)看看完全平方公式在無(wú)理數(shù)化簡(jiǎn)中的作用．問(wèn)題提出：該如何化簡(jiǎn)？建立模型：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣＝m，，那么便有：（a＞b），問(wèn)題解決：化簡(jiǎn)：，解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型應(yīng)用1：利用上述解決問(wèn)題的方法化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）；模型應(yīng)用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC邊的長(zhǎng)為多少？（結(jié)果化成最簡(jiǎn)）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）這里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化為，這里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．【變式92】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）在進(jìn)行二次根式簡(jiǎn)化時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝；（四）（1）化簡(jiǎn)＝＝（2）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)．①參照（三）式得＝②步驟（四）式得＝（3）化簡(jiǎn)：+++…+．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案為：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案為：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．1．（2022?桂林）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【解答】解：＝2，故選：A．2．（2022?青島）計(jì)算（﹣）×的結(jié)果是（）A． B．1 C． D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故選：B3．（2022?武漢）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】2【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案為：2．4．（2022?天津）計(jì)算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于．【答案】18【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案為：18．5．（2022?安順）估計(jì)（+）×的值應(yīng)在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故選：B．6．（2021?蘭州）計(jì)算：．【解答】解：＝+＝+＝＝3＝4．7．（2022?濟(jì)寧）已知a＝2+，b＝2﹣，求代數(shù)式a2b+ab2的值．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．8．（2021?西寧）計(jì)算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【解答】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝﹣4﹣4+2＝﹣8+2．1．（2022秋?海口期末）化簡(jiǎn)（﹣）2的結(jié)果是（）A．9 B．±3 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：（﹣）2＝3．故選：D．2．（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解答】解：＝＝＝．故選：C．3．（2022春?桓臺(tái)縣期中）當(dāng)a＜0時(shí)，化簡(jiǎn)?的結(jié)果是（）A．﹣4a B．4a C．﹣4a2 D．4a2【答案】A【解答】解：∵a＜0，∴?＝＝﹣4a．4．（2022秋?濟(jì)南期末）二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式是．【答案】4．【解答】解：＝4．故答案為：4．5．（2022春?宿城區(qū)期末）若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是．【答案】﹣2．【解答】解：∵二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整數(shù)值，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，二次根式為＝1，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次根式為，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．6．（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）若等式?＝成立，則x的取值范圍是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵若等式?＝成立，∴1+x≥0，1﹣x≥0，解得：﹣1≤x≤1．則x的取值范圍是：﹣1≤x≤1．故答案為：﹣1≤x≤1．故選：A．7．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）分母有理化＝．【答案】﹣4﹣2．【