第05講二次函數(shù)y=ax2bxc(a≠0)的性質(zhì)（原卷版）

第05講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，二、求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最小）值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．例1．二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例2．已知二次函數(shù)，則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（

）A．圖象的開口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D．圖象與軸有唯一交點(diǎn)例3．已知二次函數(shù)，若點(diǎn)，，在此二次函數(shù)圖象上，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．例4．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，c），則c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6例5．下表是二次函數(shù)（，均為整數(shù)）的自變量與因變量的部分對(duì)應(yīng)值．自變量0.071.33因變量7.00890.16641.40253.284910.0889給出下列判斷，其中錯(cuò)誤的是（

）A．該拋物線的對(duì)稱軸是直線 B．該二次函數(shù)的最小值為C．當(dāng)、時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，例6．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則當(dāng)y＜0，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1例7．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)，且），（

）A．若，則，y隨x的增大而增大 B．若，則，y隨x的增大而減小C．若，則，y隨x的增大而增大 D．若，則，y隨x的增大而減小例8．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）（

）A．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則或B．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則C．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則或D．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則例9．已知，兩點(diǎn)均在拋物線上點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，若，則的取值范圍為___________．例10．已知拋物線y=x2+mx+2m，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值是6，則m的值是___________．例11．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，則m＝_____．例12．已知二次函數(shù)中函數(shù)y與自變量x之間部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，點(diǎn)在函數(shù)圖象上x…0123…y…mn3n…則表格中的m＝______；當(dāng)時(shí)，和的大小關(guān)系為______．一、單選題1．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的取值是（）A．0 B． C．3 D．2．當(dāng)二次函數(shù)有最大值時(shí)，可能是（

）A．1 B．2 C． D．33．已知拋物線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小4．如圖，已知與相交于兩點(diǎn)，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或5．若點(diǎn)，，都是二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．6．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩個(gè)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．8．對(duì)于題目“一段拋物線L：與直線l：有唯一公共點(diǎn)．若c為整數(shù)，確定所有c的值．”甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是的整數(shù)，丙的結(jié)果是的整數(shù)，則（

）A．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 B．乙、丙的結(jié)果合在一起才正確C．甲、丙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙、丙的結(jié)果合在一起才正確9．已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過定點(diǎn)：③當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)，若在二次函數(shù)(m為常數(shù)）的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知拋物線有最大值，那么該拋物線的開口方向是_____．12．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，試寫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象都具有的一個(gè)性質(zhì)______．13．已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且頂點(diǎn)在y軸上，那么m的值為_____．14．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)或時(shí)，______0．15．已知、是二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為_____．16．若，則的最大值為______．17．選你喜歡的、、的值，使二次函數(shù)的圖象同時(shí)滿足下列條件:①它的圖象不經(jīng)過第三象限；②圖象經(jīng)過點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是__________．18．如圖，二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，則；⑤若方程的兩根為，，且，則．其中正確的結(jié)論有__________（只填序號(hào)）三、解答題19．已知二次函數(shù)．(1)寫出拋物線的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，隨的增大而減??？(3)把此拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向下移動(dòng)7個(gè)單位后，得到的新拋物線是否過點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表所示：…………(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是____________．21．用描點(diǎn)法畫出的圖像（1）根據(jù)對(duì)稱性列表：…32101………（2）在下列平面直角坐標(biāo)系中描出表中各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)連成平滑的曲線：（3）觀察圖像：①拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；②拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；③當(dāng)x滿足時(shí)，y＜0；④它的對(duì)稱軸是；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小22．已知二次函數(shù)．（1）將其化成的形式；（2）寫出開口方向，對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）畫出函數(shù)圖象；（5）說(shuō)明其圖象與拋物線的關(guān)系；（6）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x增大而減?。唬?）x取何值時(shí)，；（8）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最值？并求出最值？（9）時(shí)，y的取值范圍；（10）求函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形面積．23．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）寫出方程的根；（2）寫出不等式的解集；（3）若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，寫出的取值范圍．24．已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；(2)求的面積．25．已知拋物線交軸于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)A，B為坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接，若拋物線向下平移個(gè)單位時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．27．若關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)（，為常數(shù)，）時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差恰為，我們稱函數(shù)是在上的“和諧函數(shù)”．(1)在下列關(guān)于的函數(shù)中，是在上的“和諧函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是在上的“和諧函數(shù)”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函數(shù)（為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，求的值；(3)若二次函數(shù)（，為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，與一次函數(shù)交于，兩點(diǎn)，且滿足，求這個(gè)“和諧函數(shù)”的解析式，并寫出的取值范圍．一、單選題1．（2017·湖北隨州·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) D．時(shí)，隨的增大而減小2．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的敘述中，正確的是（

）A．點(diǎn)在函數(shù)圖像上 B．開口方向向上C．對(duì)稱軸是直線 D．與直線有兩個(gè)交點(diǎn)3．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空題6．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：________．7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________．