2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第五章 軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）（解析版）

第五章軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）一、選擇題1．（2024·山東濟(jì)寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來(lái)的倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律計(jì)算，分別求出每次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的坐標(biāo)變化規(guī)律即可求解，熟練掌握正三角形邊角性質(zhì)，正確探究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】由題意可得：第一次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第二次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第三次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第四次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第五次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第六次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，第七次旋轉(zhuǎn)后，，點(diǎn)，，第七次旋轉(zhuǎn)后，，，點(diǎn)，故選：．2．（22-23八年級(jí)上·貴州黔南·期末）如圖，在中，，，沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，為折痕，若，則邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的面積，由折疊可得，，進(jìn)而由得到，根據(jù)三角形面積即可得到，進(jìn)而求解，由折疊的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊可得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，故選：．3．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，，，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，若，則的長(zhǎng)是（

）．

A． B． C． D．2【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得：，，，如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，則可得，則，，求出，即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，，如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，則，

∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．4．（22-23八年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形的兩邊分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿x軸向右翻滾，經(jīng)過(guò)一次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過(guò)第二次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為……依此類推，經(jīng)過(guò)2022次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求得前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：如圖所示：

點(diǎn)，進(jìn)過(guò)一次翻滾后，再經(jīng)過(guò)一次翻滾后，，再經(jīng)過(guò)一次翻滾后，再經(jīng)過(guò)一次翻滾后可得：經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)一循環(huán)，∵，矩形的周長(zhǎng)為∴經(jīng)過(guò)2022次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即故選：B5．（22-23八年級(jí)上·江蘇淮安·期末）如圖，在中，，點(diǎn)P、Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱可得：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再根據(jù)垂線段最短，得到時(shí)，最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在中，，∴作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵垂線段最短，∴時(shí)，最小，連接，∵關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故選D．6．（22-23八年級(jí)下·湖南懷化·期末）如圖，點(diǎn)B在x軸上，，將繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，點(diǎn)B所在位置的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷三角形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，可得旋轉(zhuǎn)3次為一個(gè)循環(huán)．再分別求解第次，第次，第次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，由規(guī)律得到第次旋轉(zhuǎn)后與第1次旋轉(zhuǎn)后的位置相同即可解答．【詳解】解：，∵三角形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)3次為一個(gè)循環(huán)．第1次旋轉(zhuǎn)，如圖，過(guò)作軸于由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：

點(diǎn)B所在位置的坐標(biāo)為；第2次旋轉(zhuǎn)，如圖，過(guò)作軸于此時(shí)與軸重合，

同理可得：點(diǎn)B所在位置的坐標(biāo)為；第3次旋轉(zhuǎn)，如圖，三角形回到原位置，

所以點(diǎn)B所在位置的坐標(biāo)為；……∵，∴第次旋轉(zhuǎn)后，與第次旋轉(zhuǎn)后的位置相同，所以點(diǎn)B所在位置的坐標(biāo)為．故選：A．7．（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)到的距離是2，到的距離是3，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C．9 D．【答案】A【分析】作點(diǎn)分別關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，分別交、于，則，，，，′，則，，此時(shí)周長(zhǎng)最小，為，據(jù)此解答即可．【詳解】作點(diǎn)分別關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，分別交、于，，則，，，，′，∴，，∴此時(shí)周長(zhǎng)最小，為，延長(zhǎng)，交與．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即周長(zhǎng)的最小值是．故選：A．二、填空題8．（2024·河南·一模）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，且，連接，以為直角頂點(diǎn)，在的左側(cè)作等腰直角，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】連接，分點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，求出，根據(jù)全等三角形點(diǎn)的性質(zhì)與判定，以及勾股定理，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)的兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，在與，，，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，同理可得，，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．9．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，是等腰直角三角形，是斜邊，點(diǎn)P是內(nèi)一定點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后，與重合，如果，那么．【答案】2【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)∶旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)解答可知．【詳解】∵繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與重合，，故答案為：2．10．（22-23八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖1．和中，，，，與重疊．若繞點(diǎn)O按每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)不停．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．若和中有一組邊平行，則稱之為一次“邊平行”，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到秒時(shí)，第三次邊平行；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到秒時(shí)，第2022次邊平行．

【答案】【分析】畫(huà)出第三次平行的圖像，得到三次平行時(shí)，計(jì)算出繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，即可求得時(shí)間；由同一種邊平行之間相差180度可得繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周有6次邊平行出現(xiàn)，再求出繞點(diǎn)O按每秒旋轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間及2022次邊平行需要轉(zhuǎn)幾周，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：第三次邊平行時(shí)，如下圖所示，此時(shí)，

∵，∴，∵，∴，∴此時(shí)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為：秒；由圖2得，第一次平行時(shí)，即，∵，∴，∴,故第一次平行時(shí)，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)，時(shí)，，由此可得，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周有6次邊平行出現(xiàn)，∵繞點(diǎn)O按每秒旋轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間為秒，∵周，∴秒，故答案為：，秒．11．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在軸上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在軸上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在軸上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)、，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

【答案】【分析】可求，，，，可得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，故答案∶12．（22-23七年級(jí)下·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖1紙片（），將按如圖2所示沿著折疊至，與線段交于，，點(diǎn)在線段上，若將按如圖3所示沿著折疊至，且在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，則．（用含的式子表示）

【答案】【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得，再由平行線性質(zhì)與折疊性質(zhì)求得，再根據(jù)折疊性質(zhì)求得，最后用角的和差求得結(jié)果便可．【詳解】解：，，，，，由折疊性質(zhì)得，，．故答案為：．13．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，，將折疊，使得點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)出，折痕為，為折痕上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)由沿對(duì)稱,得到，進(jìn)而表示出，最后求周長(zhǎng)即可．【詳解】由沿對(duì)稱得到，則E與C關(guān)于直線對(duì)稱，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當(dāng)P在邊上，即D點(diǎn)時(shí)取得最小值6，∴周長(zhǎng)為，最小值為．故答案為:．14．（22-23九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，以為折痕將折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，連接，交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段上一點(diǎn)，連接，，則的最小值是．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)T，取的中點(diǎn)R，連接，，，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和勾股定理求出，，根據(jù)三邊關(guān)系求出的最小值，再根據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】如圖所示：點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)T，取的中點(diǎn)R，連接，，，，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵A、關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．15．（21-22七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖1所示為一條足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)方形紙帶，其中PN∥QM，點(diǎn)A、B分別在PN、QM上，記∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如圖2，將紙帶第一次沿BR1折疊成圖2，使BM與BA重合；如圖3，將紙條展開(kāi)后第二次再折疊，使BM與BR1重合，第三次沿AR2折疊成圖4，第四次沿BR2折疊成圖5，按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠AR2B，整個(gè)過(guò)程共折疊了9次，則α＝°．【答案】80°/80度【分析】根據(jù)題意，可知第9次折疊時(shí)，剛好與重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，則有平角被平分成了9個(gè)角，則，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可知第9次折疊時(shí)，剛好與重合，作圖如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)，則有平角被平分成了（9-1+1）個(gè)角，∴，∵，∴，∵根據(jù)折疊的性質(zhì)有，，∴，∴，∴，故答案為：80°．三、解答題16．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）新定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：(1)如圖1，，若是的內(nèi)半角，則______，______．(2)如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度至．若是的內(nèi)半角，求的值．(3)把一塊含有角的三角板按圖3方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合，如圖4，將三角板繞頂點(diǎn)以4度/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)射線構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）本題主要考查了角的和差，先根據(jù)題意算出的度數(shù)，再利用即可解答；弄清楚角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（2）本題主要考查看旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值即可；掌握內(nèi)半角的定義是解題的關(guān)鍵；（3）本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫(huà)出圖形，求出對(duì)應(yīng)t值即可．掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴，∴．故答案為：，．（2）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．∴的值為．（3）解：①如圖4：此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖：此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；③如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；④如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．綜上所述：當(dāng)射線構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，t的值為或或或．17．（23-24七年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角、如圖①所示，若，則是的內(nèi)半角.(1)如圖①所示，已知，，是的內(nèi)半角，則______；(2)如圖②，已知，將繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度至，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時(shí)，是的內(nèi)半角？(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖④，問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)能，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為或或或時(shí)，射線，，，能構(gòu)成內(nèi)半角.【分析】（1）根據(jù)內(nèi)半角的定義，即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，再根據(jù)內(nèi)半角的定義，即可求解；（3）分四種情況討論，利用內(nèi)半角的含義，建立一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴∵，∴，（2）∵，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)的角度為21°時(shí)，是的內(nèi)半角；（3）在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，射線，，，能構(gòu)成內(nèi)半角，理由如下；理由：設(shè)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t，如圖1，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴，如圖4，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為或或或時(shí)，射線，，，能構(gòu)成內(nèi)半角.18．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期中）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．如圖①所示，若，則是的內(nèi)半角．(1)如圖①所示，已知，是的內(nèi)半角，則____，若，_____；(2)如圖②，已知，將繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度至，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時(shí)，是的內(nèi)半角？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖④，問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，且射線始終在的外部，射線能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，理由見(jiàn)解析(3)或30或90【分析】本題考查了新定義，角的相關(guān)計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解什么是內(nèi)半角的定義．（1）根據(jù)題意算出的度數(shù)，利用即可算出的度數(shù)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫(huà)出圖形，求出對(duì)應(yīng)t值即可．【詳解】（1）∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，故答案為：，；（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；（3）①如圖4所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖所示，此時(shí)是的半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；③如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；④如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：（此情況不符合題意，舍去）；綜上所述：當(dāng)射線構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，t的值為或30或90．19．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，將兩個(gè)含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊、在直線上，其中．

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，求旋轉(zhuǎn)角？(2)三角板在繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，將射線繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線、重合時(shí)，射線改為繞點(diǎn)O以原速按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在與第二次相遇前，當(dāng)時(shí)，求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．【答案】(1)(2)當(dāng)在外部時(shí)，，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，理由見(jiàn)解析(3)或或60或70秒【分析】（1）先根據(jù)平分，得到，即可求出；（2）先根據(jù)題意可得，，然后作差即可；（3）先求出旋轉(zhuǎn)前與的夾角，然后再求出與第一次和第二次相遇所需要的時(shí)間，再設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時(shí)，需要旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，再分在的左側(cè)和在的右側(cè)兩種情況解答即可．【詳解】（1）平分，，三角板旋轉(zhuǎn)的角：，（2）當(dāng)在外部時(shí)，，理由如下：，，，，；當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，理由如下：，，；（3）射線平分，射線平分，，，選擇前與的夾角為，與第一次相遇的時(shí)間為秒，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為，此時(shí)OC與OE的夾角為，與第二次相遇的時(shí)間為（秒），設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時(shí)，需要旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，①，解得，；②，解得，；③，解得，，；④，解得，，，在與第二次相遇前，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為或或60或7020．（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期末）如圖，在的內(nèi)部繞點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中、的大小始終保持不變，其中．首先繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒，旋轉(zhuǎn)開(kāi)始前與重合，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至與重合時(shí)，立即再以另一速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至與重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)停止，設(shè)時(shí)間為t秒，記，W用含t的代數(shù)式表示，已知繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)和時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的W的兩個(gè)值互為相反數(shù)；從開(kāi)始旋轉(zhuǎn)到最后停止，整個(gè)過(guò)程總用時(shí)秒．(1)繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，W的值的變化情況：______（填“由負(fù)到正”或“由正到負(fù)”）；(2)求的大小及逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)的速度；(3)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)由負(fù)到正(2)，(3)或18【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、角的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、表示出相關(guān)角以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）在繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，從逐漸增大到，從逐漸減小到，結(jié)合即可解答；（2）設(shè)的度數(shù)為，分別表示出和時(shí)的，然后根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次方程列式可求得的度數(shù)，再利用時(shí)間等于的度數(shù)與的差除以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度可得順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，進(jìn)而求得逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，最后求出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)速度即可；（3）分及兩種情況，分別表示出、，再根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）解：繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，從逐漸增大到，從逐漸減小到，∵，∴的值的變化情況是由負(fù)到正．故答案為：由負(fù)到正．（2）解：設(shè)的度數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意得，，，，，∴,∵，∴逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)的速度為．答：的大小為，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)的速度為每秒．（3）解：當(dāng)時(shí)，、，，解得:；當(dāng)時(shí)，、，，解得:．答：當(dāng)W=60時(shí)，t的值為或18．21．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）東東發(fā)現(xiàn)折紙中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他將長(zhǎng)方形紙片按如圖1所示折疊，點(diǎn)F在邊上，點(diǎn)E，G在其它三邊上，和為兩條折痕，且折疊后重疊的紙片最多不超過(guò)三層．東東在探究的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)E，G的位置變化而變化，為了研究方便，把記為，記為．

(1)