高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題14基本不等式(原卷版+解析)

專題14基本不等式第一部分真題分類1．（2021·江蘇高考真題）已知奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足則的最小值是（）A． B． C．2 D．42．（2021·全國(guó)高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．63．（2021·浙江高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．5．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．① B．② C．①② D．①②③6．（2020·海南高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．7．（2021·天津高考真題）若，則的最小值為____________．8．（2020·天津高考真題）已知，且，則的最小值為_________．9．（2020·江蘇高考真題）已知，則的最小值是_______．10．（2019·天津高考真題（文））設(shè)，，，則的最小值為__________.11．（2021·江蘇高考真題）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).12．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．2．已知橢圓方程為，是上?下頂點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為120°，若，則的最小值為（）A．9 B．3 C． D．3．已知正數(shù)m，n滿足,則的最小值為（）A．24 B．18 C．16 D．124．已知，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△為等邊三角形，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則的最小值為（）A．1 B． C． D．7．已知三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若角的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為()A． B． C． D．8．在梯形中，，，，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題9．設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線為l，若l的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a=______.10．對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，，則的取值范圍為___________.11．已知向量|，若，且，則的最大值為____.12．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)的和為7，若存在，使得，則的最小值為__________.三、解答題13．已知函數(shù)的最小值為1．（1）求不等式的解集﹔（2）若，求的最大值．14．已知函數(shù)，，且關(guān)于的不等式的解集為，設(shè).（1）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．16．設(shè)，其中常數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知：若對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，則函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心.利用以上結(jié)論探究：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)是否都有對(duì)稱中心？若是，求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)(用表示)；若不是，證明你的結(jié)論.專題14基本不等式第一部分真題分類1．（2021·江蘇高考真題）已知奇函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足則的最小值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠婧瘮?shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：B2．（2021·全國(guó)高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．3．（2021·浙江高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.4．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．5．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.6．（2020·海南高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD7．（2021·天津高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.8．（2020·天津高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：9．（2020·江蘇高考真題）已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故答案為：.10．（2019·天津高考真題（文））設(shè)，，，則的最小值為__________.【答案】.【解析】由，得，得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．故所求的最小值為．11．（2021·江蘇高考真題）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元；（2）年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬元.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元.（2）又，∴當(dāng)時(shí)，.答：年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬元.12．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【解析】（1），.均不為，則，；（2）不妨設(shè)，由可知，，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，即.第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為或，，即，解得，，即，解得，故不等式的解集為，故選：D2．已知橢圓方程為，是上?下頂點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為120°，若，則的最小值為（）A．9 B．3 C． D．【答案】D【解析】由題可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且當(dāng)為左右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值為120°，則，又，則，又為橢圓焦點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.故選：D.3．已知正數(shù)m，n滿足,則的最小值為（）A．24 B．18 C．16 D．12【答案】A【解析】由可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故選：A4．已知，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△為等邊三角形，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線定義知，又，故由雙曲線定義知，得，在中，，由余弦定理得即，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：D.5．已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】平面向量，的夾角為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故選：．6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線垂直，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)，則的最小值為，故選：．7．已知三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若角的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由及正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所?如圖，，所以，所以，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.8．在梯形中，，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，.取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，.由平面幾何知識(shí)，易知，.設(shè)，.在中，，在中，，∴，在中，，又∵，∴，∴的最大值為.故選：B二、填空題9．設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線為l，若l的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a=______.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，l的傾斜角的取值范圍是，，解得.故答案為：.10．對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】法一：轉(zhuǎn)化為斜率先把化作，故可看作與兩點(diǎn)的斜率其中點(diǎn)在上，數(shù)形結(jié)合（如下圖），故最小值為相切時(shí)取得，設(shè)，聯(lián)立由解得（舍）當(dāng)時(shí)，（極限思想）故的取值范圍是.法二：令，則，再令，則原式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故原式，又時(shí)，，所以的取值范圍是.故答案為：11．已知向量|，若，且，則的最大值為____.【答案】【解析】解：∵，且，∴與的夾角為，設(shè)，則，∵，∴，又，∴，化簡(jiǎn)得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴．故答案為：．12．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)的和為7，若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】【解析】依題意，依題意存在，使得，即，即，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：三、解答題13．已知函數(shù)的最小值為1．（1）求不等式的解集﹔（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解析】解：（1）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．又∵的最小值為1，∴．∵，∴．∴，等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，所求不等式等價(jià)于，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，所求不等式等價(jià)于，解得，與條件矛盾；當(dāng)時(shí)，所求不等式等價(jià)于，解得，符合題意．綜上，原不等式的解集為．（2）∵，∴．∴．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值3．14．已知函數(shù)，，且關(guān)于的不等式的解集為，設(shè).（1）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵不等式的解集為，∴是方程的兩個(gè)根，∴，解得，∴.∴.∴存在，使不等式成立，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的取值范圍為；（2）原方程可化為，令，則，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，其中，或，記，則①，解得，或②，不等式組②無實(shí)數(shù)解，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2）由絕對(duì)值三角不等式可得，所以的最小值為，即．所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.16．