新高考2025屆高考數(shù)學(xué)小題必練17新定義類創(chuàng)新題

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺——教化因你我而變高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持以實(shí)力為立意，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)問、方法和數(shù)學(xué)思想．以“新定義”為背景的創(chuàng)新試題，通過在試題中給出新的定義，考查學(xué)生的現(xiàn)場學(xué)習(xí)實(shí)力(即自學(xué)實(shí)力)、閱讀理解實(shí)力、探究與猜想等創(chuàng)新實(shí)力，并考查類比遷移、數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．1．【2024全國Ⅱ卷】周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，若序列滿意，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為周期序列，并稱滿意的最小正整數(shù)為這個序列的周期，對于周期為的序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為的序列中，滿意的序列是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期為，由已知，，，對于選項(xiàng)A，，，不滿意；對于選項(xiàng)B，，不滿意；對于選項(xiàng)D，，不滿意，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，依據(jù)定義將各選項(xiàng)一一代入，然后分別推斷即可．2．【2024山東卷】信息熵是信息論中的一個重要概念，設(shè)隨機(jī)變量全部可能的取值為，且，，定義的信息熵，（）A．若，則B．若，則隨著的增大而增大C．若，則隨著的增大而增大D．若，隨機(jī)變量全部可能的取值為，且，則【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，，所以，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若，則，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且，，，由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯誤，故選AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義“信息熵”的理解和應(yīng)用，須要結(jié)合對數(shù)運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)及不等式性質(zhì)進(jìn)行求解．一、單選題．1．設(shè)向量，，定義一種運(yùn)算“”．向量，已知，，點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動且滿意（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上運(yùn)動，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿意的解析式，即，所以函數(shù)的最小值為，故應(yīng)選B．2．?dāng)?shù)列滿意：對隨意的且，總存在，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”，現(xiàn)有以下四個數(shù)列：①；②；③；④，其中是“數(shù)列”的有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】令，則，所以數(shù)列是“數(shù)列”；令，則，，，所以，所以數(shù)列不是“數(shù)列”；令，則，，，所以，所以數(shù)列不是“數(shù)列”；令，則，所以數(shù)列是“數(shù)列”，綜上，“數(shù)列”的個數(shù)為．二、多選題．3．在上定義運(yùn)算：，若不等式對隨意實(shí)數(shù)恒成立，則下列實(shí)數(shù)的描述中正確的有（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】BC【解析】原不等式等價于，即對隨意實(shí)數(shù)恒成立，又，∴，解得．4．能夠把橢圓的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為橢圓的“親和函數(shù)”，下列函數(shù)是橢圓的“親和函數(shù)”的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】橢圓的中心為原點(diǎn)，選項(xiàng)BC中函數(shù)是奇函數(shù)且圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，過原點(diǎn)，故是親和函數(shù)；選項(xiàng)A非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)D為偶函數(shù)，故不是親和函數(shù)．三、填空題．5．定義運(yùn)算，則關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式的解集為．【答案】【解析】∵，，∴，同理可得，∴不等式的解集為．6．設(shè)全集，用的子集可表示由，組成的位字符串，如：表示的是第個字符為，第個字符為，其余均為的位字符串，并規(guī)定空集表示的字符串為．（1）若，則表示位字符串為_______．（2）若，集合表示的字符串為，則滿意條件的集合的個數(shù)為_______個．【答案】，【解析】①表示的位字符串是，則表示的位字符串為；②若，集合表示的字符串為，∴集合可能是，，，，故滿意條件的集合有個．7．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（）是世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特殊是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了許多珍貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】，，∵函數(shù)在上是“凸函數(shù)”，∴在上，恒成立，∴，即，令，明顯在上單調(diào)遞增，∴，∴，故答案為．8．假如定義在上的函數(shù)滿意：對于隨意，都有，則稱為“函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④，其中“函數(shù)”的個數(shù)是．【答案】②③【解析】∵對于隨意給定的不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，∴不等式等價為恒成立，即函數(shù)是定義在上的不減函數(shù)（