2025屆福建省龍巖市龍巖北附高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2025屆福建省龍巖市龍巖北附高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.843．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8205．已知是兩個(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.6．若向量，，，則（）A. B.C. D.7．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.59．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，記線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.10．2020年12月4日，嫦娥五號(hào)探測器在月球表面第一次動(dòng)態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.12．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將參加冬季越野跑的名選手編號(hào)為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，把編號(hào)分為組后，第一組的到這個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為__________14．中國的西氣東輸工程把西部地區(qū)的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)了天然氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動(dòng)輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為的峽谷拐入寬為的峽谷，如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點(diǎn)，的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)(點(diǎn)，，在同一水平面內(nèi))，設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成的角為，則的長為______(用表示).要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于______.15．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為＝(2，－2,1)，已知點(diǎn)P(－1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于__________________16．已知函數(shù)，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.18．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：19．（12分）在實(shí)驗(yàn)室中，研究某種動(dòng)物是否患有某種傳染疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們再次取樣逐份檢驗(yàn)，那么這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的．且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；（2）假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：4個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)；方案二：4個(gè)樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)現(xiàn)將該4份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，試比較以上兩個(gè)方案中哪個(gè)更優(yōu)？20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)，使MN//平面PAB？說明理由21．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.22．（10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.2、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.3、B【解析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得為等腰三角形，且，所以，求出的長，結(jié)合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B4、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，列出數(shù)列的前6項(xiàng)，將其中是數(shù)列的項(xiàng)的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：C.5、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.6、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A7、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.8、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D9、C【解析】設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進(jìn)而得，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以根據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.10、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個(gè)角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點(diǎn)，平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.12、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號(hào)碼為，共14、①.②.【解析】(1)利用三角關(guān)系分別利用表示、即可求解；(2)利用導(dǎo)數(shù)求最小值的方法即可求解.【詳解】過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，，則，在中，，則，同理可得，所以.令，則，令，，得，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，則，故輸氣管的長度不能低于m.故答案為：；.15、2【解析】O是平面OAB上一個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到平面OAB的距離為d,則d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即點(diǎn)P到平面OAB的距離為2考點(diǎn)：空間向量在立體幾何中的運(yùn)用16、【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：-1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）化簡，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，且為偶?shù)，所以的最小值為48；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不存在最小的值，故當(dāng)為48時(shí)，滿足條件.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上可得；19、（1）（2）方案一更優(yōu)【解析】（1）分兩類，由古典概型可得;（2）分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望，然后比較可知.【小問1詳解】恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢測出來分為兩種情況：第一種：前兩次檢測中出現(xiàn)一次陽性一次陰性且第三次為陽性第二種：前三次檢測均陰性，所以概率為【小問2詳解】方案一：混在一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值范圍是，，，方案二：每組的兩個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則檢驗(yàn)次數(shù)為1，其概率為，若結(jié)果呈陽性，則檢驗(yàn)次數(shù)為3，其概率為設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的取值范圍是，，，，，所以，方案一更優(yōu)20、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點(diǎn)，連接，由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論；（2）取中點(diǎn)N，連接，，根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性【小問1詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.小問2詳解】取中點(diǎn)N，連接，，∵E，N分別為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，∴平面PAB，∴線段存在點(diǎn)N，使得MN∥平面21、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程22、（1）證明見解析（2）【解析