安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)2023屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試卷

高考模擬試題PAGEPAGE12023年高三第一次模擬試卷數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)集合A=x|x2-x-1>0，B=A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1+522.已知復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位)，設(shè)ω=2zA.2 B.2 C.22 D.3.某研究員為研究某兩個(gè)變量的相關(guān)性，隨機(jī)抽取這兩個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)如表：x0.041□4.8410.24y1.12.12.33.34.2若依據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，則樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)都在曲線y=x+1A.-4.32 B.1.96 C.1.69 D.4.324.已知向量a=(3,1)，b=(0,-1)，c=(k,3)，若A.1 B.-1 C.3 D.-5.設(shè)a=log123，b=(23)0.3，c=A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c6.如圖，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，則二面角C-BF-D的正切值為

A.36 B.34 C.37.已知雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)AA.5 B.2 C.2538.小李年初向銀行貸款M萬(wàn)元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為P，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，問(wèn)每年應(yīng)還萬(wàn)元A.M10 B.MP1+P101+P二、選擇題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)fx=2A.函數(shù)fx的圖象可以由y=2cos2x的圖象向右平移3π8個(gè)長(zhǎng)度單位得到

B.fx1fx210.如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2，AB=AD=1，CF=87A.BD⊥EC

B.BF//平面ADE

C.平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值為13

D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為11.過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y=lnx兩條互相垂直的切線l1、l2，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合)，設(shè)直線l1A.P1、P2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值 B.直線P1P2的斜率為定值

C.線段AB的長(zhǎng)度為定值12.某省2021年美術(shù)聯(lián)考約有5000名學(xué)生參加，現(xiàn)從考試的科目素描(滿分100分)中隨機(jī)抽取了500名考生的考試成績(jī)，記錄他們的分?jǐn)?shù)后，將數(shù)據(jù)分成7組：〖20,30),〖30,40)，…，〖80,90A.由頻率分布直方圖可知，全省考生的該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)均不高于90分

B.用樣本估計(jì)總體，全省該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)小于70分的考生約為2000人

C.若樣本中分?jǐn)?shù)小于40的考生有30人，則可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間〖40,50)內(nèi)約200人

D.用樣本估計(jì)總體，全省考生該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為75第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.若(ax2-bx)6的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為14.梵凈山是云貴高原向湘西丘陵過(guò)渡斜坡上的第一高峰，是烏江與沅江的分水嶺，也是橫亙于貴州、重慶、湖南、湖北四省(市)的武陵山脈的最高主峰.某測(cè)量小組為測(cè)量該山最高的金頂P的海拔，選取了一塊海拔為400米的平地，在平地上選取相距885米的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A與B，如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得P的仰角為60°，在點(diǎn)B處測(cè)得P的仰角為45°，則金頂P的海拔為

米.(結(jié)果精確到整數(shù)部分，取3=1.732)

15.2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購(gòu)買，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購(gòu)買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購(gòu)買，若甲?乙2人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為12，丙購(gòu)買到冰墩墩的概率為15，則甲，乙?丙3人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為

．16.若(1-2x)2022=a0+四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題12分)

在△ABC中，b2+c2-62bc=a2．

(Ⅰ)求cosA的值；

18.(本小題12分)已知數(shù)列an中，a1=1，其前n項(xiàng)和S(1)求Sn(2)記?bn=Sn+1-Sn19.(本小題12分)旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平，1995年國(guó)務(wù)院頒布了《全民健身計(jì)劃綱要》，并在2009年將每年8月8日設(shè)置為“全民健身日”，倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，學(xué)會(huì)兩種以上健身方法，每年進(jìn)行一次體質(zhì)測(cè)定．某小區(qū)為了調(diào)查居民的體育運(yùn)動(dòng)情況，從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛煉時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：(1)求a的值，并求這100位居民鍛煉時(shí)間的中位數(shù)；(2)若規(guī)定0,10為第一組，依次往下，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從第三組和第五組隨機(jī)抽取6名成年人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)定，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求這2人中，兩組各有1人的概率．20.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的點(diǎn)，且BF=14BC．

(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；

(2)求點(diǎn)F到平面PCD21.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率的大??；

(Ⅱ)設(shè)M，N是y軸上不同的兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)，直線AM與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線AN與橢圓C22.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≤x-2a恒成立，試求a的取值范圍．

〖答案〗和〖解析〗1.C

〖解析〗由x2-x-1>0，解得又y=x∴B=(1,+∞)，得A?B=(2.B

〖解析〗因?yàn)閦=1+i，所以z=1-i，

所以ω=2zz=2-2i3.B

〖解析〗設(shè)缺失的數(shù)據(jù)為x，mi=xi

m0.21x2.23.2y1.12.12.33.34.2其回歸直線方程為y=m+1，

由表中數(shù)據(jù)可得，y-=15(1.1+2.1+2.3+3.3+4.2)=2.6，

由線性回歸方程y=m+1，得m=1.6，

即4.A

〖解析〗根據(jù)題意，向量a=(3,1)，b=(0,-1)，

則a-2b=(3,3)；

若(a-25.D

〖解析〗a=log123<0，0<b=230.3<16.D

〖解析〗如圖，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接OF．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴O為AC的中點(diǎn)，AC⊥BD．∵F為PC的中點(diǎn)，∴OF//PA．∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1，則BD=3，∴B(32,0,0)，F(xiàn)(0,0,12)，C(0,12,0)，D(-32,0,0)，∴OC=(0,12,0)，結(jié)合圖形可知，OC為平面BDF的一個(gè)法向量.由BC=(-32,12,0)，F(xiàn)B=?(32,0,-12)，可求得平面BCF7.B

〖解析〗設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，

則r1-r2=2a=2，

由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos2π3，

即8.B

〖解析〗設(shè)每年應(yīng)還x萬(wàn)元，

則x+x(1+P)+x(1+P)

x〖1-(1+P)10〗1-(1+P)9.AD

〖解析〗對(duì)于A，y=2cos2x的圖象向右平移3π8個(gè)長(zhǎng)度單位得到

y=2cos〖2(x-3π8)〗=2cos(2x-3π4)=2sin(2x-π4)，故A正確;

對(duì)于B，fx=2sin2x-π4，

所以f(x)max=2，f(x)min=-2，

由f(x1)f(x10.BC

〖解析〗由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)1,2,87，

BD=-1,1,0,EC=1,2,-2，

所以BD·EC=-1×1+1×2+0×-2=1≠0，

所以BD，EC不垂直，故A錯(cuò)誤；

依題意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，

又BF=(0,2,87)，可得BF·AB=0，則BF⊥AB，

又因?yàn)橹本€BF?平面ADE，

所以BF//平面ADE，故B正確；

設(shè)m=a,b,c為平面BDF的一個(gè)法向量，則m·BD=0m·BF=0,

即-a+b=02b+87c=0，令b=1，可得m=1,1,-74，

依題意，BD=(-1,1,0)，BE=(-11.ABC

〖解析〗因?yàn)閥=|所以，當(dāng)0<x<1時(shí)，y'=-1x；當(dāng)x≥1時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P1，P2的橫坐標(biāo)分別為x1，x若0<x1<x2≤1時(shí)，直線l1，l若x2>x1≥1時(shí)，則直線l1，l2所以0<x1≤1<x2或0<由題意可得k1k2若x1=1，則x2=1；若x2=1，則對(duì)于選項(xiàng)B，易知點(diǎn)P1x1所以，直線P1P2的斜率為k對(duì)于選項(xiàng)C，直線l1的方程為y+lnx1=-1x直線l2的方程為y-lnx2=1x所以，AB=1-ln對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立y=-1x1令fx=2xx2所以，函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈0,1時(shí)，所以，S?ABP=12AB12.AD

〖解析〗由題意可知，在500個(gè)樣本中，該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)是均不高于90分，樣本可以用來(lái)估計(jì)總體，但不能代替總體，在其余4500名考生中，該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)中可能有高于90分的，故選項(xiàng)A不正確；

在樣本中，分?jǐn)?shù)不低于70分的頻率為(0.04+0.02)×10=0.6，

則樣本中分?jǐn)?shù)小于70分的頻率為1-0.6=0.4，

若用樣本估計(jì)總體，則全省該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)小于70分的考生約為5000×0.4=2000人，故選項(xiàng)B正確；在樣本中，成績(jī)低于50分的頻率為1-(0.04+2×0.02+0.01)×10=0.1，

當(dāng)分?jǐn)?shù)小于40的考生有30人時(shí)，其頻率為30500=0.06，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間〖40,50)內(nèi)的頻率為0.04，

用樣本估計(jì)總體，則全省考生中分?jǐn)?shù)在區(qū)間〖40,50)內(nèi)約5000×0.04=200人，故選項(xiàng)C正確；

用樣本估計(jì)總體，通過(guò)頻率分布直方圖可知中位數(shù)即為將左右兩邊矩形面積等分所在位置，則該位置在區(qū)間〖70,80)內(nèi)，且等于70+10×13.4

〖解析〗將(ax2-bx)6展開(kāi)，得到Tr+1=C6ra6-r(-b)rx12-3r，

令12-3r=3，解得r=3，

則14.2494

〖解析〗設(shè)AD=x米，依題意可得∠PAD=60°，∠PBD=45°，則PD=BD=x+885.因?yàn)镻DAD=tan∠PAD=3，所以x+885=15.35〖解析〗因?yàn)榧?、?人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為12，

所以甲、乙2人均購(gòu)買不到冰墩墩的概率P同理，丙購(gòu)買不到冰墩墩的概率P2所以，甲、乙、丙3人都購(gòu)買不到冰墩墩的概率P3=P1?P2=16.-1

〖解析〗由題意，令x=0時(shí)，則a0=1，

令x=12時(shí)，

則a0+a117.解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2+c2=a2+62bc，

由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，

∴cosA=62bc2bc=64．18.解：(1)an+1=Sn+1n∈N*，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-1+1，

所以an+1-an=Sn-Sn-1=an，即an+1=2an(n?2)，

在an+1=19.解：(1)∵(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)×10=1，

∴a=0.030，

設(shè)中位數(shù)為x，由題意有：

10×0.005+10×0.012+10×0.03+(x-30)×0.035=0.5，解得x=30.86．

即中位數(shù)為30.86．

(2)由頻率分布直方圖可得，第三組和第五組的人數(shù)之比為2：1，

采用分層抽樣的方法從第三組和第五組隨機(jī)抽取6名成年人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)定，第三組的人數(shù)為：6×23=4，第五組的人數(shù)為：6×13=2，即第三組與第五組的人數(shù)依次為4人和2人，

6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件的總數(shù)為C62，兩組各有20.(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，又AE?面PAB，∴BC⊥AE，

∵PA=AB，E為PB中點(diǎn)，∴AE⊥PB，又BC∩PB=B，

∴AE⊥平面PAB，又AE?平面AEF，

∴平面AEF⊥平面PBC．

(2)解：∵AB//CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB//平面PCD，

∴B到平面PCD的距離等于A到平面PCD的距離，

取PD的中點(diǎn)G，連接AG，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又CD⊥AD，AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，

∵PA=AD，G是PD的中點(diǎn)，∴AG⊥PD，

又PD∩CD=D，∴AG⊥平面PCD，

∵PA=AD=4，PA⊥AD，∴PD=42，

∴AG=12PD=22，

∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為22，

∵BF=14BC，∴21.解：(Ⅰ)依題意得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為x24+y2=1，c=a2-b2=3，

離心率