導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)課件

第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理二、洛必達(dá)（L’Hospital）法則三、函數(shù)的單調(diào)性四、函數(shù)的極值五、函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn)六、函數(shù)的漸近線本節(jié)主要內(nèi)容有：一、Lagrange中值定理定理（拉格朗日定理）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，如果（1）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)a<

<b，使得拉格朗日中值定理的幾何意義當(dāng)曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時(shí)，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得該點(diǎn)的切線平行于曲線兩端點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b))的連線，其斜率為oxf(b)yy=f(x)a

bf(a)推論1：如果對(duì)于任意x∈(a,b)，有f’(x)=0，則f(x)=c(c為常數(shù))證明：根據(jù)微分中值定理（即拉各朗日中值定理）及已知條件，現(xiàn)任取(a,b)區(qū)間中兩點(diǎn)x1

,x2，假設(shè)x2

>x1

，則存在一點(diǎn)ξ，使得故f(x1)=f(x2)由于x1

,x2是任意選取的，故在整個(gè)(a,b)區(qū)間內(nèi)，f(x)取恒定的值，即f(x)在(a,b)恒為常數(shù)。我們假設(shè)它為c，故可得f(x)=c。推論2：如果對(duì)于任意x∈(a,b)，有f’(x)=g’(x)，則f(x)=g(x)+c(c為常數(shù))故由推論1知f(x)－g(x)=c即f(x)=g(x)+c由已知條件知u’(x)=0證明：令u(x)=f(x)－g(x),則

u’(x)=f’(x)－g’(x)例:證由上式得例如,定義:二、L’hospital法則定理1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在點(diǎn)x0

的某個(gè)去心鄰域上有定義，如果（1）當(dāng)x

x0

時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0或都趨于無窮大；（2）函數(shù)f(x)，g(x)在x0

的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g

(x)0；（3）極限存在（或者為無窮大）,則有

如果極限仍屬于型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續(xù)使用上述定理，即例1求極限解：容易驗(yàn)證，該極限滿足洛必達(dá)法則的要求，所以

定理2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在|x|>N時(shí)有定義，如果（1）當(dāng)x

時(shí)，函數(shù)f(x)及g(x)都趨于0或都趨于無窮大；（2）函數(shù)f(x)，g(x)在|x|>N時(shí)可導(dǎo)，且g

(x)0；

（3）極限存在（或者為無窮大）；則有如果極限仍屬于型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續(xù)使用上述定理，即例2求極限解：這是一個(gè)型的不定式，且滿足洛必達(dá)法則的條件，所以有例3求極限解：這是一個(gè)型的不定式，且滿足羅必達(dá)法則的條件，相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則n次，即有例4求極限（對(duì)于這種類型的不定式，我們也可以將其變形為形）解：這是一個(gè)型的不定式，將它變形為形

例5求極限則解：對(duì)于這種型的不定式，我們的方法是例6：求解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，我們可以把極限號(hào)拿入，故其中例7：求解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，我們可以把極限號(hào)拿入，故其中例8：求解：故對(duì)于這三種類型求極限，我們要使用洛必達(dá)法則時(shí)，先將其化為指數(shù)函數(shù)的形式，再對(duì)其指數(shù)使用洛必達(dá)法則求極限，然后根據(jù)我們的復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，就可以把極限符號(hào)拿進(jìn)函數(shù)符號(hào)里面，這樣我們就可以求出極限了。注意三、函數(shù)的單調(diào)性αabxy=f(x)axbαy=f(x)f’(x)=tanα≥0f’(x)=tanα≤0單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)沿x軸正向逐漸上升沿x軸正向逐漸下降的曲線定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f

(x)>0（或f

(x)<0）,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。

由于f

(

)>0，因此，f(x2)>

f(x1)。即f(x)為單調(diào)增加。(對(duì)于單調(diào)減少的情況類似可以證明。)證明：在區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，

x2，且設(shè)x1

<

x2，則f(x)在[x1，x2]上滿足拉格朗日中值定理，從而有利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性關(guān)系求單調(diào)區(qū)間的步驟：4、判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用定理判斷在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。3、以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；2、找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；1、先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；例1確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。當(dāng)x=1和x=2時(shí)，f

(x)=0，故以1，2作為分界點(diǎn)。解：該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，），由于當(dāng)x（-，1）時(shí)，有f

(x)

0，所以，函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。當(dāng)x（1，2）時(shí)，有f

(x)<0，所以，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少。當(dāng)x（2，）時(shí)，有f

(x)

0，所以，函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。例2證明【注意】可用單調(diào)性條件來比較給定區(qū)間上兩個(gè)函數(shù)的大小。又由于f(0)=0，所以，f(x)

f(0)=0，即不等式成立。從而，當(dāng)x（0，）時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)增加。則證明：令四、函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x

，只要

x

x0，就一定滿足f(x)<f(x0)（或f(x)

f(x0)）,則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值），而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的極大值（或極小值）點(diǎn)。函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。而極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。xy0x0ab注意：函數(shù)的極值是函數(shù)的一個(gè)局部最大值或局部最小值，它通常并不等于函數(shù)的整體最大值或最小值。函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上可能有若干個(gè)極大值和極小值，極大值可能必極小值還小，因?yàn)闃O值是一個(gè)局部性的概念。同時(shí)，我們還看到，在函數(shù)取得極值的地方，曲線的切線是水平的，即f’(x)=0；但切線水平，即

f’(x)=0，該點(diǎn)未必取極值，如下圖所示此類點(diǎn)。定理1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值，則f

(

x0)=0。注意，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)時(shí)，上述定理不成立，但它也可能會(huì)取得極值。例如，函數(shù)在x0=0處不可導(dǎo)，但f(0)=0為函數(shù)的極小值。今后，我們稱使得f

(x)=0的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)（顯然，可導(dǎo)下的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)）。函數(shù)的極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中取得。定理2（函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在點(diǎn)x0處連續(xù)，則有如下結(jié)果：（1）當(dāng)x<x0時(shí)，有f

(x)

0；當(dāng)x

x0時(shí)，有

f

(x)

<0；則函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極大值。（2）當(dāng)x<x0時(shí)，有f

(x)<0；當(dāng)x

x0時(shí)，有

f

(x)

0；則函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極小值。（3）如果在x0的兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)f

(x)不變號(hào)，則函數(shù)在點(diǎn)x0處不能取得極值。例：解極大值極小值圖形如下解例：定理3（函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有二階導(dǎo)數(shù)，且f

(x0)=0，則函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0有極值：（1）當(dāng)f

(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有極大值；（2）當(dāng)f

(x0)

0時(shí)，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有極小值；（3）當(dāng)f

(x0)

=0時(shí)，無法判定f(x)在點(diǎn)x0是否取得極值。（第（3）個(gè)的情況如f(x)=x3在x=0點(diǎn)處，不取極值；而g(x)=x4在x=0點(diǎn)處，可以取到極小值。）例解【注意】如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)存在二階導(dǎo)數(shù)，且一階導(dǎo)數(shù)為零，那么判斷在這一點(diǎn)處是否取得極值，我們使用第一、第二判別法均可；若其左右鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)很難判斷，則可用第二判別法。而對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，我們要判斷其是否為極值點(diǎn)，就直接用第一判別法判斷。利用導(dǎo)數(shù)求極值的步驟：4.判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用定理判斷第2步中所求出的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。3.以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；2.找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；1.先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值。根據(jù)函數(shù)極值的定義，連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)間的端點(diǎn)、駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中取得。1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個(gè)最大哪個(gè)就是最大值,那個(gè)最小那個(gè)就是最小值;求最值的步驟:解計(jì)算例：比較得例求的極值,并問是否存在最值。當(dāng)x

(0，)時(shí),有f

(x)

0；當(dāng)x

(-2，0)時(shí),有f

(x)

<0；當(dāng)x

(-

，-2)時(shí),有f

(x)

0；當(dāng)x=0，x=-2時(shí)，f

(x)=0。解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，），且f(x)0，其導(dǎo)數(shù)為由此可得，f(-2)為極大值，f(0)為極小值，而

因此，f(0)為函數(shù)的最小值，其圖形如圖所示。-20xy五、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)1.凹凸性在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，只知道函數(shù)的單調(diào)性是不夠的，如函數(shù)

在

x=0，x=1時(shí),它們具有相同的值，而且在區(qū)間[0，1]內(nèi)都是單調(diào)增的，但它們的圖形卻相差很大。如圖所示它們的差異就是凹凸性不同。xy01定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有定義，如果對(duì)于區(qū)間[a,b]內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是（向上）凹的，而區(qū)間[a,b]稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)凹區(qū)間；如果對(duì)于區(qū)間[a,b]內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是（向上）凸的，而區(qū)間[a,b]稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)凸區(qū)間。我們從圖上來看一下：xy0x1x2x0x1x2y例討論函數(shù)的凹凸性。0xy1解：如圖所示，函數(shù)f1(x)在區(qū)間[0，1]上是向上凹的；函數(shù)f2(x)在區(qū)間[0，1]上是向上凸的。定理設(shè)函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則有（1）若對(duì)任意x∈(a,b)，有f

(x)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上的圖形是凹的；（2)若對(duì)任意x∈(a,b)，有

f

(x)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上的圖形是凸的。曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：2.拐點(diǎn)曲線上凹凸的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)。如圖所示：在拐點(diǎn)兩側(cè)由于凹凸性不同，那么相應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)就不同。f(x)=x3xyof”(x)>0f”(x)<0例:解上凹上凸上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸性及拐點(diǎn)：（3）判別f”(x)在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得出曲線在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的凹凸性，同時(shí)可以確定出上述各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)是否為拐點(diǎn)（拐點(diǎn)可以是二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，也可以是二階導(dǎo)數(shù)不