第1講圖形的初步認(rèn)識（一）（題型精講）（原卷版）

第1講圖形的初步認(rèn)識（一）（精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：認(rèn)識立體圖形題型二：幾何體展開圖及由展開圖求幾何體表面積、體積題型三：正方體展開圖問題題型四：點、線、面、體之間的關(guān)系題型五：平面圖形旋轉(zhuǎn)后得到立體圖形題型六：截一個幾何體題型七：用七巧板拼圖問題題型八：直線、射線、線段題型九：兩點確定一條直線題型十：線段的和與差題型十一：線段的中點問題題型十二：與線段有關(guān)的動點問題題型十三：兩點之間線段最短題型十四：兩點間的距離題型十五：最短路徑問題第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：認(rèn)識立體圖形①幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形．

②立體圖形：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形．

知識點二：點、線、面、體①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

②從運動的觀點來看，點動成線，線動成面，面動成體．點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．③長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體．

【擴(kuò)展】多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間存在關(guān)系式：．知識點三：直線相關(guān)概念（1）概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實際事物進(jìn)行形象描述．（2）表示方法：①可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線(或直線)．②也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．（3）基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點確定一條直線．直線的特征：①直線沒有長短，向兩方無限延伸．②直線沒有粗細(xì)．③兩點確定一條直線．④兩條直線相交有唯一一個交點．（4）點與直線的位置關(guān)系：①點在直線上，如圖3所示，點在直線上，也可以說：直線經(jīng)過點．②點在直線外，如圖4，點在直線外，也可以說：直線不經(jīng)過點．知識點四：線段相關(guān)概念（1）概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．（2）表示方法：①線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段或線段．②線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段．(3)“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線上截取．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例：可以先量出線段的長度，再畫一條等于這個長度的線段．(4)基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．如圖所示，在，兩點所連的線中，線段的長度是最短的．注：①線段是直的，它有兩個端點，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．②連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離．③線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠(yuǎn)近來比較長短．(5)線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖所示，點是線段的中點，則，或．若點是線段的中點，則點一定在線段上．知識點五：射線相關(guān)概念(1)概念：直線上一點和它一側(cè)的部分叫射線，這個點叫射線的端點．如圖所示，直線上點和它一旁的部分是一條射線，點是端點．（2）特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長．（3）表示方法：①可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線．②也可以用一個小寫英文字母表示，如圖8所示，射線可記為射線．注：①端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖中射線，射線是不同的射線．②端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖中射線、射線、射線都表示同一條射線．知識點六：直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線①直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．

簡稱：兩點確定一條直線．

②經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．知識點七：兩點間的距離①兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．

②平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．第二部分：課前自我評估測試1．（2023秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┠硞€幾何體的展開圖如圖所示，該幾何體是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·甘肅武威·七年級?？计谀┤鐖D，在下面的四個幾何體中，從它們各自的正面和左面看，不相同的是（）A．三棱柱 B．正方體 C．圓柱 D．圓錐3．（2023秋·吉林長春·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點C、D為線段上的兩點，，若，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，下列說法正確的是（）A．點在射線上 B．點是直線的一個端點C．射線和射線是同一條射線 D．點在線段上5．（2023秋·山東聊城·七年級?？计谀┤鐖D所示，某同學(xué)的家在P處，他想盡快趕到附近C處搭順風(fēng)車，他選擇第②條路線，用幾何知識解釋其道理正確的是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，直線最短C．兩點之間，線段最短 D．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線6．（2023秋·四川達(dá)州·七年級四川省大竹中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可得到的立體圖形是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·河南鄭州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，一個密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，任意放置這個玻璃杯，則水面的形狀不可能是（

）A． B． C． D．第三部分：典型例題剖析題型一：認(rèn)識立體圖形典型例題例題1．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）①~④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（

）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④例題2．（2022秋·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）用3個大小相同的小正方體搭成的幾何體，從三個方向看到的形狀圖如圖所示，則這個幾何體可能是（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·廣東佛山·七年級校考階段練習(xí)）如圖，下列幾何體，是柱體的有______，球體的有______．（填序號）例題4．（2022秋·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，觀察下列幾何體并回答問題．(1)請觀察所給幾何體的面、棱、頂點的數(shù)量并歸納出棱柱有___________個面，___________條棱，___________個頂點；棱錐有___________個面，___________條棱，___________個頂點；(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱錐等這樣由四個或四個以上多邊形所圍成的立體圖形叫做多面體，經(jīng)過前人們歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)，多面體的面數(shù)，頂點個數(shù)以及棱的條數(shù)存在著一定的關(guān)系，請根據(jù)（1）總結(jié)出這個關(guān)系為___________．同類題型歸類練1．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市福永中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個由6個相同小正方體組成的幾何體，則該幾何體的主視圖是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)?？计谀┫铝袌D形中，是柱體的有______________________________．（填序號）3．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期中）用若干大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得從左面和從上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示．請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇___________題．A．搭成該幾何體的小立方塊最少有___________個．B．根據(jù)所給的兩個形狀圖，要畫出從正面看到的形狀圖，最多能畫出___________種不同的圖形．4．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）如圖是由一些棱長都為1cm的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)從正面看該幾何體，看到的形狀圖如圖所示，請在下面方格紙中分別畫出從左面看和從上面看該幾何體看到的形狀圖；（畫出的圖需涂上陰影或斜線）(2)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持從左面看和從上面看觀察到的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．題型二：幾何體展開圖及由展開圖求幾何體表面積、體積典型例題例題1．（2023秋·山東德州·七年級校考期末）如下圖，有一個正方體紙盒，在它的三個側(cè)面分別畫有三角形、正方形和五邊形，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個平面圖形，則展開圖是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在處，沿圓柱的側(cè)面爬到處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（

）A． B．C． D．例題3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示是小芳要用硬紙片做成的一個文具盒的展開圖，則這個文具盒的表面積等于________．例題4．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖是一個幾何體的展開圖．(1)寫出該幾何體的名稱_________：(2)用一個平面去截該幾何體，截面形狀可能是_________（填序號）；①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形(3)根據(jù)圖中標(biāo)注的長度（單位：cm），求該幾何體的表面積和體積．例題5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖①是一張長為20cm，寬為12cm的長方形硬紙板，把它的四個角都剪去一個邊長為cm的小正方形，然后把它折成一個無蓋的長方體盒子（如圖②），請回答下列問題：(1)折成的無蓋長方體盒子的容積______；（用含的代數(shù)式表示即可，不需化簡）(2)請寫出，值；12345180252192(3)從正面看折成的長方體盒子，它的形狀可能是正方形嗎？如果是正方形，求出的值；如果不是正方形，請說明理由．同類題型歸類練1．（2023秋·陜西西安·七年級西安市遠(yuǎn)東一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，該正方體的展開圖為（

）A． B．C． D．2．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，正方體相對面的數(shù)字或代數(shù)式互為相反數(shù)，則的值為______，的值為______．3．（2022秋·四川成都·七年級?？计谥校┠撤N無蓋的長方體包裝盒的展開圖如圖所示．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算，這種藥品包裝盒的體積是________．4．（2022秋·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）畫出如圖所示的底面為直角三角形的直棱柱的表面展開圖，并計算它的側(cè)面積和表面積．5．（2022秋·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐問題情景：某綜合實踐小組進(jìn)行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動，他們準(zhǔn)備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．操作探究：(1)若準(zhǔn)備制作一個無蓋的正方體紙盒，圖1中的圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒．(2)如圖2是小明的設(shè)計圖，把它折成無蓋正方體紙盒后與“小”字相對的字是．(3)如圖3，有一張邊長為50的正方形廢棄宣傳單，小華準(zhǔn)備將其四角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體紙盒．①請你在圖3中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕．②若四角各剪去了一個邊長為6的小正方形，這個紙盒的容積．題型三：正方體展開圖問題典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市福永中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，它需再添一個面，折疊后才能圍成一個正方體，下圖中的黑色小正方形分別由四位同學(xué)補畫，其中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)?？计谀﹫D1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形不能圍成正方體的位置是（）A．① B．② C．③ D．④例題3．（2023秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字是________．例題4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個股子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點數(shù)之和最大是________，最小是________．例題5．（2022秋·七年級單元測試）如圖所示，圖1為一個棱長為6的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數(shù)字和字母寫在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請根據(jù)要求回答問題：(1)如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則=___________，=___________；(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，則上面是___________（填6或10或或）；(3)圖1中，點為所在棱的中點，在圖2中找到點的位置，直接寫出圖2中的面積___________.同類題型歸類練1．（2023秋·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是正方體的平面展開圖，在頂點處標(biāo)有自然數(shù)1～11，折疊圍繞成正方體后，與數(shù)字6重合的數(shù)字是(

)A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，42．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市福永中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，標(biāo)有“☆“的一面相對面上的字是（）A．神 B．奇 C．?dāng)?shù) D．學(xué)3．（2023秋·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）有一個正方體，六個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，如圖是我們能看到的三種情況，如果記6的對面數(shù)字為a，2的對面數(shù)字為b，那么a+b的值為_____．4．（2022秋·湖南湘西·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個正方體的展開圖，如果正方體相對的兩個面上標(biāo)注的數(shù)值均互為相反數(shù)，則的值是_________．5．（2022秋·全國·七年級期末）如圖所示，圖1為一個棱長為3的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（每個面表示的數(shù)字寫在外表面上），請根據(jù)要求回答問題：(1)如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則x=，y=；(2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，則右面是（填0或或x或y）；(3)圖1中，點P為所在棱的中點，在圖2中找到點P的位置，并直接寫出圖2中的面積．題型四：點、線、面、體之間的關(guān)系典型例題例題1．（2022秋·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）下布現(xiàn)象，既說明“點動成線”的是（

）A．汽車雨刷在擋風(fēng)琉璃上刷出的痕跡B．流星劃過夜空留下的痕跡C．酒店旋轉(zhuǎn)門運動的痕跡D．在桌面上快速轉(zhuǎn)動一個硬幣形成的痕跡例題2．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）國扇文化有深厚的文化底蘊，歷來中國有“制扇之國”之稱，打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為____．例題3．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）飛機表演“飛機拉線”時，我們用數(shù)學(xué)的知識可解釋為點動成線.用數(shù)學(xué)知識解釋下列現(xiàn)象：(1)流星從空中劃過留下的痕跡可解釋為______；(2)自行車的輻條運動可解釋為_____；(3)一只螞蟻行走的路線可解釋為_____；(4)打開折扇得到扇面可解釋為_____；(5)一個圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為____.例題4．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖①、②、③、④四個圖形都是平面圖形，觀察圖②和表中對應(yīng)數(shù)值，探究計數(shù)的方法并解答下面的問題．(1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少頂點、多少條邊、這些邊圍成多少區(qū)域，將結(jié)果填入下表：圖形①②③④頂點數(shù)()邊數(shù)()區(qū)域數(shù)()(2)根據(jù)表中的數(shù)值，寫出平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的關(guān)系；(3)如果一個平面圖形有20個頂點和11個區(qū)域，求這個平面圖形的邊數(shù)．同類題型歸類練1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）夜晚時，我們看到的流星劃過屬于（

）A．點動成線 B．線動成面 C．面動成體 D．以上答案都不對2．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）一個棱柱的面數(shù)為14，棱數(shù)是36，則其頂點數(shù)為________．3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，某銀行大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為2m、高為3m的玻璃隔板組成．(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱．這能說明的事實___________（選擇正確的一項填入）．A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留）題型五：平面圖形旋轉(zhuǎn)后得到立體圖形典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（11·曲靖）將如圖所示的兩個平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，對其所得的立體圖形，下列說法正確的是（

）A．主視圖相同B．左視圖相同C．俯視圖相同D．三種視圖都不相同例題2．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖是平面圖形繞虛線l旋轉(zhuǎn)一周得到的，則該旋轉(zhuǎn)圖形的是…（）A． B． C． D．例題3．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖①，把一張長8厘米、寬4厘米的長方形紙板分成甲、乙兩個相同的直角三角形．(1)將甲三角形繞軸（如圖②）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個怎樣的幾何體?它的體積是多少立方厘米（π取3.14）(2)將乙三角形繞軸（如圖③）旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體，求該幾何體的體積．例題4．（2022秋·七年級單元測試）探究：有一長6，寬4的矩形紙板，現(xiàn)要求以其一組對邊中點所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)180°，得到一個圓柱，現(xiàn)可按照兩種方案進(jìn)行操作：方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖①；方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖②．(1)請通過計算說明哪種方法構(gòu)造的圓柱體積大；(2)若將此長方形繞著它的其中一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)360°，則得到的圓柱體積為多少？同類題型歸類練1．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市福永中學(xué)校考階段練習(xí)）將如圖所示的直角三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A． B． C． D．2．（2023秋·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知直角三角形紙板ABC，直角邊，．將直角三角形紙板繞三角形的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，能得到______種大小不同的幾何體？分別計算繞三角形直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積？圓錐的體積，其中取3．（2022秋·山東青島·六年級統(tǒng)考期中）點動成線，線動成面，面動成體，如圖，長方形的長，寬，若將長方形繞邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，請你解答下列問題：(1)得到的幾何體的名稱是______；(2)求得到的幾何體的側(cè)面積和體積．4．（2022秋·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）已知長方形的長為5cm，寬為4cm，將其繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖形．（1）得到的幾何圖形的名稱為，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為．（2）求此幾何體的表面積；(結(jié)果保留π)（3）求此幾何體的體積．(結(jié)果保留π)5．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖，將一個長方形沿它的長或?qū)捤诘闹本€旋轉(zhuǎn)一周，回答下列問題：（1）得到什么幾何體？（2）長方形的長和寬分別為6cm和4cm，分別繞它的長和寬所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到不同的幾何體，它們的體積分別為多少？（結(jié)果保留）題型六：截一個幾何體典型例題例題1．（2023秋·陜西西安·七年級西安市遠(yuǎn)東一中?？茧A段練習(xí)）用一平面截一個正方體，不能得到的截面形狀是（）A．等邊三角形 B．長方形 C．六邊形 D．七邊形例題2．（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級?？计谀┤鐖D所示，用經(jīng)過、、三點的平面截去正方體的一角，變成一個新的多面體，這個多面體的面數(shù)是A．8 B．7 C．6 D．5例題3．（2022·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，將圖①中的正方體切去一塊，可得到如圖②所示的幾何體．若正方體的棱長為1，則圖②中幾何體的表面積為______．例題4．（2022春·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖①，已知正方體的棱長為4cm，，，分別是，，的中點，截面將這個正方體切去一個角后得到一個新的幾何體（如圖②），則圖②中陰影部分的面積為_______cm2．同類題型歸類練1．（2023秋·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一三四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的一塊長方體木頭，想象沿虛線所示位置截下去所得到的截面圖形是(

)A． B． C． D．2．（2022秋·陜西寶雞·七年級?？计谥校┤鐖D，用平面截一個幾何體，該幾何體的截面形狀是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖所示，觀察下列圖形，在橫線上寫出幾何體的名稱及截面形狀.（1）①的名稱是________，截面形狀________；（2）②的名稱是________，截面形狀是________；（3）③的名稱是________，截面形狀是________；（4）④的名稱是________，截面形狀是________；4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）我們知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等邊三角形．如圖，大正三棱柱的底面周長為10，截取一個底面周長為3的小正三棱柱．(1)請寫出截面的形狀；(2)請直接寫出四邊形DECB的周長．題型七：用七巧板拼圖問題典型例題例題1．（2022秋·山東威?！て吣昙壭Ｂ?lián)考階段練習(xí)）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，用如圖1所示的七巧板拼圖2所示的平行四邊形和長方形，下列說法正確的是（

）A．能拼成平行四邊形，不能拼成長方形B．能拼成長方形，不能拼成平行四邊形C．既能拼成長方形，也能拼成平行四邊形D．既不能拼成長方形，也不能拼成平行四邊形例題2．（2022秋·全國·七年級期末）七巧板是由可以錯綜分合的幾何圖案演化而來，它是一種拼板玩具，體現(xiàn)了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，將一塊正方形薄板分為7塊，其中包括5塊大小不等的三角形，1塊正方形和1塊平行四邊形，圖2是由圖1拼成的風(fēng)車形狀，則下列等式錯誤的是（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）將一張邊長為8cm的正方形紙片經(jīng)過折疊、打開、畫線得到如圖1所示一副七巧板，再將圖1沿實線分割，拼成如圖2所示一個“家”的圖形，該圖形中的小正方形（陰影部分）的面積為___________cm2．例題4．（2022春·山東青島·七年級?？计谀┤鐖D，把一副七巧板按如圖進(jìn)行1~7編號，1~7號分別對應(yīng)著七巧板的七塊，如果編號5對應(yīng)的面積等于，則由這幅七巧板拼得的“房子”中陰影部分的面積等于______．例題5．（2022春·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）七巧板是我國著名的拼圖玩具，從宋代“燕幾圖”演變而來，距今有3000多年歷史．已知一副七巧板（左圖）的總面積為36cm2，現(xiàn)用這副七巧板如右圖擺放，則圖中“箭頭”的面積是______cm2同類題型歸類練1．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為__________．2．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，被西方人譽為“東方魔板”．小林將圖1的一副七巧板拼成圖2的“衣服”（陰影部分），并將它放入方格圖中，方格圖中的小正方形邊長為1，則這件“衣服”的周長為____（取1.4）．3．（2022春·湖南株洲·九年級?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長為的正方形厚紙板，做成如圖①所示的一套七巧板（點為正方形紙板對角線的交點，點、分別為、的中點，∥，∥），將圖①所示七巧板拼成如圖②所示的“魚形”，則“魚尾”的長為______．4．（2022秋·河南周口·九年級?？茧A段練習(xí)）巧板又稱七巧圖、智慧板，是中國民間流傳的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四邊形組成的．如圖，若圖形“4”的小正方形的邊長為，則整個七巧板所組成的大正方形的面積為__________．5．（2022春·北京·七年級北京市第一六一中學(xué)?？计谀八那砂濉庇址QT字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具．“四巧板”由一塊長方形（拼圖中的大寫“一“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成．其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊．這幾個多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有45°、135°和270°的角．如圖是一副“四巧板”：請你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應(yīng)的圖形編號．

四巧板題型八：直線、射線、線段典型例題例題1．（2023秋·山東聊城·七年級?？计谀┤鐖D圖中有條直線，條射線，條線段，則的值等于______．例題2．（2023春·七年級單元測試）如圖，點在的一邊上．按下列要求畫圖：(1)過點畫直線，與的另一邊相交于點；(2)過點畫的垂線段，垂足為點；(3)過點畫直線，交直線于點；例題3．（2022秋·陜西延安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段上有兩個定點，．(1)圖中共有_____條線段．(2)若在線段增加一點，則增加了_____________條線段．(3)現(xiàn)有一列往返于，兩地的火車，中途?？?個站．問：①有____________種票價；②要準(zhǔn)備____________種車票．(4)已知，兩地之間相距，在，所在的公路(看成直線)有一處，且與之間的距離為，在，兩地的正中間，求與地之間的距離．同類題型歸類練1．（2023秋·吉林長春·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點都稱為格點，點A、B、C都在格點上．(1)畫射線；(2)找一格點D，使得直線，畫出直線；(3)找一格點E，使得直線于點H，畫出直線，并注明垂足H．2．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，在同一平面內(nèi)有4個點A、B、C、D，請按要求完成下列問題.（此題作圖不要求寫出畫法和結(jié)論）（1）連接線段AB、線段AD；（2）作直線BD、射線AC，兩線相交于點O；（3）我們?nèi)菀着袛喑鼍€段AB+AD與BD的數(shù)量關(guān)系是，理由是.3．（2023秋·甘肅武威·七年級?？计谀┤鐖D,已知四點A、B、C、D,用圓規(guī)和無刻度的直尺，按下列要求與步驟畫出圖形:(1)畫直線AB；(2)畫射線DC；(3)延長線段DA至點E,使AE=AB(保留作圖痕跡)．4．（2022秋·湖北黃石·七年級校考期末）如圖，已知點A為線段上的一點．(1)根據(jù)要求畫出圖形（不要求寫作法）：延長至點D，使；反向延長至點E，使；(2)如果，求的長5．（2022秋·安徽滁州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，線段上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有三個點時，線段總共有3條，如果線段上有4個點時，線段總數(shù)有6條，如果線段上有5個點時，線段總數(shù)共有條，…(1)當(dāng)線段上有6個點時，線段總數(shù)共有條；(2)當(dāng)線段上有n個點時，線段總數(shù)共有多少條？題型九：兩點確定一條直線典型例題例題1．（2023秋·山東臨沂·七年級臨沂實驗中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中：其中正確的有（）①；②若，則是線段的中點；③兩點之間所有連線中，直線最短；④兩點確定一條直線．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④例題2．（2023秋·山東濱州·七年級校考期末）如圖，經(jīng)過創(chuàng)平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點確定一條直線B．兩點之間線段最短C．垂線段最短D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直例題3．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，已知四條線段，，，中的一條與擋板另一側(cè)的線段在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（）A． B． C． D．例題4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，經(jīng)過平面上的兩個點可以畫一條直線，如圖2，圖3，經(jīng)過平面上三個點中任意兩個點畫直線，一共可以畫一條或三條直線．那么經(jīng)過平面上四個點中任意兩個點畫直線，一共可以畫幾條直線？請畫圖說明．例題5．（2022秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）基本事實：已知過兩點可以畫一條直線，我們得到了一個基本事實，若平面內(nèi)有不在同一直線上的個點，過其中任意兩點，一共可以畫條直線；類比：如圖，已知，在的內(nèi)部畫射線，則圖中共有個角；圖1實踐應(yīng)用：年月日，滬蘇通鐵路正式通車，加快了長三角交通一體化建設(shè)，滬蘇通鐵路銜接南通和上海，并在沿途增設(shè)張家港、常熟、太倉三個停靠站，如圖．若一動車往返于上海與南通之間，已知各站之間的路程均不相等．則共有____種不同的票價．(不考慮座位等級等其它因素)圖2同類題型歸類練1．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）如圖，已知四條線段，，，中的一條與擋板另一側(cè)的線段在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·天津·七年級天津市第二十一中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中，正確的有（

）①直線與直線不是同一條直線；②若，則點為線段的中點；③兩點確定一條直線；④兩條射線組成的圖形叫做角．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2022秋·七年級課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．如圖（1），建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法用幾何知識解釋是：兩點確定一條直線．B．如圖（2），將甲，乙兩把尺子拼在一起，兩端重合，如果甲尺經(jīng)校定是直的，那么乙尺不是直的，判斷依據(jù)是：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．C．如圖（3），要測量兩堵圍墻形成的的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，可先延長得到，然后測量的度數(shù)，再計算出的度數(shù)，其中依據(jù)的原理是：等角的余角相等．D．如圖（4），從小明家到學(xué)校原有三條路線：路線①；路線②；路線③，后又開通了一條直道，路線④，這四條路線中路線④路程最短，其中依據(jù)的原理是：兩點之間線段最短．4．（2022秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在利用量角器畫一個40°的的過程中，對于先找點B，再畫射線OB這一步驟的畫圖依據(jù)是______．題型十：線段的和與差典型例題例題1．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、相交于點，且．、是上兩點，．若，，，則的長為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，點、在線段上，，若，則______．例題3．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）、、、四個車站的位置如圖所示．（1）、兩站的距離為_____；（2）若，為的中點，=______．同類題型歸類練1．（2023秋·吉林長春·七年級長春市實驗中學(xué)校考期末）如圖，點B是線段AC上一點，且，．(1)求線段AC的長．(2)若點O是線段AC的中點，求線段OB的長．2．（2023秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，C為線段上一點，，點F、E分別為線段、的中點，．求的長和的長．3．（2023秋·山東臨沂·七年級臨沂實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，線段AB＝10cm，C是線段AB上一點，AC＝4cm，M是AB的中點，N是AC的中點．求：(1)線段CM的長；(2)求線段MN的長．題型十一：線段的中點問題典型例題例題1．（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級?？计谀┤鐖D，線段，點是線段上一點，點、分別是的中點，則的長為_____cm．例題2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸上點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，則、兩點的距離是__________，、兩點的中點是__________．若，，那么、兩點的中點是_________．例題3．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知，是數(shù)軸上兩點，點在原點左側(cè)且距原點20個單位，點在原點右側(cè)且距原點100個單位．（1）點表示的數(shù)是：_______；點表示的數(shù)是：_______．（2），兩點間的距離是_______個單位，線段中點表示的數(shù)是_______．例題4．（2022秋·湖北武漢·七年級?？计谀┚€段和數(shù)軸上運動，開始時與原點重合，且．(1)若，且為線段的中點，求線段的長．(2)在（1）的條件下，線段AB和CD同時開始向右運動，線段的速度為5個單位/秒，線段的速度為3個單位/秒，經(jīng)過秒恰好有，求的值．(3)在（1）的條件下，若線段和同時開始向左勻速運動，線段的速度為個單位/秒，線段的速度為個單位/秒，設(shè)為線段中點，為線段中點，此時線段的長為定值嗎？若是請求出這個定值，若不是請說明理由．例題5．（2022秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律．(1)【特例感知】若數(shù)軸上點，點表示的數(shù)分別為8，，則兩點之間的距離為_____________，線段的中點表示的數(shù)為_____________；(2)若數(shù)軸上點，點表示的數(shù)分別為，．【分類討論】若，則兩點之間的距離為：；若，則兩點之間的距離為：；若，則兩點之間的距離為：_____________；【類比探究】線段的中點表示的數(shù)為_____________；(3)【綜合運用】若數(shù)軸上點，點表示的數(shù)分別為8，，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，同時點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，當(dāng)相遇時，停止運動，設(shè)運動時間為秒（），點在運動過程中，兩點之間的距離為_____________；（用含的代數(shù)式表示）若點為的中點，點為的中點，線段的長度為_____________．（用含的代數(shù)式表示）同類題型歸類練1．（2023秋·吉林長春·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點D是線段AB的中點，C是線段AD的中點，若AB＝8cm，則CD＝___cm．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點，，在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，1，9．它們分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左做勻速運動，設(shè)同時運動的時間為秒．若，，三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點，則的值為______．3．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上有A，B兩點，OA＝16，點B所表示的數(shù)為20，AC＝6AB．(1)求點C所表示的數(shù)．(2)動點P，Q分別自A，B兩點同時出發(fā)，均以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點E為線段CP的中點，點F為線段CQ的中點，求出線段EF的長．4．（2022秋·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀?）如圖，已知點在線段上，且，，點、分別是，的中點，求線段的長度．解：（1）∵，點是______的中點∴_____∵，點是的中點∴______∴______∴線段的長度為6cm（2）若點是線段上任意一點，且，，點、分別是，的中點，求；（用、的代數(shù)式表示）題型十二：與線段有關(guān)的動點問題典型例題例題1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上的點和點分別表示0和10，點是線段上一動點.點沿以每秒2個單位的速度往返運動1次，是線段的中點，設(shè)點運動時間為秒（不超過10秒）.若點在運動過程中，當(dāng)時，則運動時間的值為（

）A．秒或秒 B．秒或秒或或秒C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒例題2．（2022秋·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）已知線段，點是射線上的一個動點，點是線段的中點，點是線段的中點．當(dāng)時，的長為___________．例題3．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖，為線段上一點，，比BC的多5，，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線上沿方向運動，運動時間為秒，為的中點，為的中點，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論是________．同類題型歸類練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知在一張紙條上畫有一條數(shù)軸．（1）沿過原點且垂直于數(shù)軸的直線折疊紙條，則表示－3的點與表示___________的點重合；（2）為數(shù)軸上一點，沿過點且垂直于數(shù)軸的直線折疊紙條，當(dāng)表示－3的點與表示1的點重合時，①點所表示的數(shù)為__________；②若數(shù)軸上的，兩點也同時重合，且，求點所表示的數(shù)．2．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖1，已知線段，點M是線段上一點，點C在線段上，點D在線段上，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以的速度沿直線運動，運動方向如箭頭所示，其中a、b滿足條件：．(1)直接寫出：____________，_____________；(2)若，當(dāng)點C、D運動了，求的值；(3)如圖2，若，點N是直線上一點，且，求與的數(shù)量關(guān)系．3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點．點C，D在線段AB上移動的過程中，線段EF的長度是否會發(fā)生變化，若會，請說明理由；若不會，請求出EF的長．4．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，直線AB上有一點P，點M，N分別為線段PA，PB的中點，AB＝14．(1)若點P在線段AB上，且AP＝8，求線段MN的長度；(2)若點P在直線AB上運動，設(shè)AP＝x，BP＝y(tǒng)，請分別計算下面情況時MN的長度：①當(dāng)P在AB之間；②當(dāng)P在A左邊；③當(dāng)P在B右邊；你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？5．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知：數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別為、、，點為原點，且、、滿足．(1)直接寫出、、的值；(2)如圖1，若點從點出發(fā)以每秒1個單位的速度向右運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位的速度向右運動，點從點出發(fā)以每秒2個單位的速度向右運動，點、、同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為秒，為何值時，點到點、的距離相等；(3)如圖2，若點從點出發(fā)以每秒1個單位的速度向左運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位的速度向左運動，點，同時出發(fā)開始運動，點為數(shù)軸上的一個動點，且點始終為線段的中點，設(shè)運動時間為秒，若點到線段的中點的距離為3時，求的值．題型十三：兩點之間線段最短典型例題例題1．（2022秋·河北石家莊·七年級石家莊市第四十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，小明從家到學(xué)校有三條路可走，路程最短的是道路②，其理由是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，直線最短C．垂線段最短 D．連接兩點的所有直線，線段最短例題2．（2022秋·北京·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將五邊形沿虛線裁去一個角得到六邊形，則該六邊形的周長一定比原五邊形的周長小，理由為______．例題3．（2023春·七年級單元測試）如圖，汽車站、碼頭分別位于兩點，直線和波浪線分別表示公路與河流．(1)從汽車站到碼頭怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；(2)從碼頭到公路怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由．例題4．（2023秋·山東臨沂·八年級郯城縣實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，分別以點、為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于，，作直線，為的中點，為直線上任意一點．若，面積為10，則長度的最小值為（）A． B．3 C．4 D．5例題5．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，的面積是16，邊的垂直平分線分別交，邊于點，．若點D為邊的中點，點為線段EF上一動點，則周長的最小值為_____．同類題型歸類練1．（2022秋·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一條直線公路的異側(cè)有兩個村莊、，現(xiàn)在想在公路上選一點向兩個村莊、鋪設(shè)線路管道，使得點到村莊、的距離之和最短，下面有四種畫法，其中符合題意的畫法是____．（只填序號）2．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線和直線外三點A，B，C，按下列要求畫圖：(1)畫射線；(2)連接，并延長至D，使得；(3)在直線上確定點E，使得最?。?．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，以一邊為直角邊構(gòu)造，且，，，．(1)求證：為直角三角形．(2)若點P為上一動點，連接，，求最小值．題型十四：兩點間的距離典型例題例題1．（2022秋·北京房山·七年級統(tǒng)考期末）已知點，在直線上，，若點是直線上一點，且，則的長為（）A．7 B．3 C．7或3 D．2或3例題2．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，把一根繩子對折成線段，上有一點P，已知，則這根繩子的長為________．例題3．（2022秋·江蘇·七年級期末