專題02截長補(bǔ)短模型（原卷版）2

專題02截長補(bǔ)短模型基本模型：①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS）.②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），例題精講例1．（截長型）在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線時(shí)，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說明理由，請(qǐng)直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說明.例2．（補(bǔ)短型）【問題背景】如圖1：在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使，連接，再證明，可得出結(jié)論．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，、分別是，上的點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立【學(xué)以致用】如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，求的周長．例3．（截長補(bǔ)短綜合）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【變式訓(xùn)練1】（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．【變式訓(xùn)練3】如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．課后訓(xùn)練1．如圖，為等邊三角形，若，則__________（用含的式子表示）．2．如圖，已知中，，D為上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)是_________．3．如圖，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE

于E交AF于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）如圖1所示，當(dāng)∠EAF在∠BAC內(nèi)部時(shí)，求證：EF＝BE+CF．（2）如圖2所示，當(dāng)∠EAF的邊AE、AF分別在∠BAC外部、內(nèi)部時(shí)，求證：CF＝BF+2BE．4．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長、交于點(diǎn)．方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、．（1）請(qǐng)你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點(diǎn)，，，求證：．5．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．6．如圖1，在中，，平分，連接，，．（1）求的度數(shù)：（2）如圖2，連接，交于，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求線段的長．7．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖），怎樣證明呢？分析：把沿的角平分線翻折，因?yàn)椋?，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，即，據(jù)以上操作，易證明，所以，又因?yàn)?，所以．感悟與應(yīng)用：（1）如圖（a），在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形中，平分，，，，①求證：；②求的長．8．如圖，在銳角中，，點(diǎn)D，E分別是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．9．在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BA