定積分問題舉例

定積分一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的性質(zhì)四、牛頓

萊布尼茨公式1一、定積分問題舉例曲邊梯形設(shè)函數(shù)y

f(x)在區(qū)間[a,

b]上非負、連續(xù).

由直線x

a、x

b、y

0及曲線y

f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

1.曲邊梯形的面積

2觀察與思考

在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形,當(dāng)小矩形的寬度減少時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?怎樣求曲邊梯形的面積？3求曲邊梯形的面積

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設(shè)

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:曲邊梯形的面積近似為;以直代曲42.變速直線運動的路程

已知物體直線運動的速度v

v(t)是時間t的連續(xù)函數(shù),且v(t)

0,計算物體在時間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S.(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物體在時間段[ti

1,

ti]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti);物體在時間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為(3)求和:

(4)取極限:

記

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物體所經(jīng)過的路程為以不變代變5定積分的定義

在小區(qū)間[xi

1,

xi]上任取一點xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

記Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;

在區(qū)間[a,

b]內(nèi)插入分點:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界.

如果當(dāng)

0時,上述和式的極限存在,且極限值與區(qū)間[a,b]的分法和xi的取法無關(guān),則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記為即二、定積分定義6定積分各部分的名稱

————積分符號,

f(x)———被積函數(shù),

f(x)dx

——被積表達式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區(qū)間.

說明：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量的記法無關(guān),即

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

7定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點,

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

注:

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),則有8位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點開始作直線運動,在t時刻物體所經(jīng)過的路程為S(t),速度為v

v(t)

S

(t)(v(t)

0),則在時間間隔[T1,

T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為即原函數(shù)

在區(qū)間I內(nèi),

如果F

(x)

f(x),

那么稱F(x)為f(x)在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù).牛頓的發(fā)現(xiàn):設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù),則有

9定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)

0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

這是因為10一般地,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示介于x軸、曲線y

f(x)及直線x

a、x

b之間的各部分面積的代數(shù)和.

定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)

0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

11定積分的幾何意義

觀察結(jié)果:設(shè)f(x)連續(xù),則有

觀察與分析

當(dāng)f(x)

0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

12三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)3性質(zhì)1性質(zhì)2兩點規(guī)定注:不論a

b

c的相對位置如何性質(zhì)3總成立

13推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

g(x)

則如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

0

則性質(zhì)5

這是因為

|f(x)|

f(x)

|f(x)|,所以推論2

14推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

g(x)

則如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

0

則性質(zhì)5

推論2

性質(zhì)6

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值

則15如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個點x

使下式成立

這是因為,由性質(zhì)6性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點x

[a,b],使兩端乘以b

a即得積分中值公式.注:

積分中值定理中的x可在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得.16例1計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解已知自由落體速度為故所求平均速度注:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值為17則積分上限的函數(shù)定理3

若是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù).四、牛頓

萊布尼茨公式證明有18

若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的一個原函數(shù),則

定理4(牛頓

萊布尼茨公式)證明因為F(x)和

(x)都是f(x)的原函數(shù)

所以存在常數(shù)C

使

F(x)

(x)

C.由F(a)

(a)

C及

(a)

0,得C

F(a),F(x)

(x)

F(a).由F(b)

(b)

F(a),得

(b)

F(b)

F(a),即

NL公式揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的聯(lián)系.

19

解

例2計算正弦曲線y

sinx在[0

p]上與x軸所圍成的平面圖形的面積A

20

例3

汽車以每小時36km速度行駛,到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a

5m/s2剎車.問從開始剎車到停車,汽車走了多少距離？t

2(s).

當(dāng)汽車停止時,有v(t)

v0

at

10

5t.

剎車后t時刻汽車的速度為v(t)

10

5t

0,汽車剎車時的初速度為

解于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為21

證明

例4設(shè)f(x)連續(xù),u1(x),u2(x)可導(dǎo),則有

設(shè)F(x)為f(x)的一個原函數(shù),則有

于是

22例5

解

例4設(shè)f(x)連續(xù),u1(x),u2(x)可導(dǎo),則有

例6

解

23

例7

設(shè)f(x)在[0,

)內(nèi)連續(xù),且f(x)>