第03講 三角函數(shù)的實際應用（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁第03講三角函數(shù)的實際應用1.經(jīng)歷探索不可攀爬物體高度的過程，體會三角函數(shù)在解決生活中的應用；2.能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題，能夠進行三角函數(shù)的計算；3.會將類似問題構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識解決問題；4.在解決問題中體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，發(fā)展學生的應用意識知識點1解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.知識點2解直角三角形的應用-坡度坡角在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.知識點3解直角三角形應用-仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

知識點4解直角三角形應用-方位角問題（1）方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

【題型1解直角三角形的應用】【典例1】（2023?綠園區(qū)一模）如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一條直線上，那么開挖點E與D的距離是（）A．1000sin55°米 B．1000cos35°米 C．1000tan55°米 D．1000cos55°米【變式1-1】（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，AC是電桿AB的一根拉線，測得BC＝6米，∠ACB＝52°，則拉線AC的長為（）A．米 B．米 C．米 D．6?cos52°米【變式1-2】（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，若要測量小河兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在小河邊取AB的垂線BP上的一點C，測得BC＝50米，∠ACB＝46°，則小河寬AB為多少米（）A．50sin46° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°【變式1-3】（2023?長春模擬）如圖，在天定山滑雪場滑雪，需從山腳下A處乘纜車上山頂B處，纜車索道與水平線所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，則纜車索道AB的長為（）A．800sinα米 B．800cosα米 C．米 D．米【典例2】（2023?廬陽區(qū)校級模擬）為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山．汽車原來從A地到B地需途經(jīng)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【變式2-1】（2023?張店區(qū)校級二模）春天是放風箏的好季節(jié)，如圖，小明在某公園B處放風箏，風箏位于A處，風箏線AB長為50m，從B處看風箏的仰角為37°，小剛從C處看風箏的仰角為60°（A，B，C三點位于同一豎直平面）．（1）風箏離地面多少米？（2）小明和小剛的直線距離BC是多少米？（結果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，，）【變式2-2】（2023春?紅旗區(qū)校級期末）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學在幸福大道段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100m的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3s，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，（1）求AP的長？（2）試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（≈1.732）【題型2解直角三角形的應用-坡度坡角】【典例3】（2023春?中江縣期中）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅歐減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°，已知原傳送帶AB長為．（1）新傳送帶AC＝m；（2）如果需要在貨物著地點C的左側留出5m的通道，試判斷與B點距離為的貨物MNOP是否需要挪走，并說明理由．【變式3-1】（2023?鳳凰縣三模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面，斜坡AB的長為12m，它的坡角度數(shù)為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點B6m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)：，．）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在改造背水坡的施工過程中，此房屋是否需要拆除？并說明理由．【變式3-2】（2022秋?阜平縣期末）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200m，坡度為1：．將斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡改造為斜坡CD，其坡度為1：4，求斜坡CD的長．（結果保留根號）【題型3解直角三角形的應用-仰角俯角問題】【典例4】（2023?山西模擬）某校課外活動小組來到太原古縣城進行參觀研學，對位于古縣城“十字街”的旗亭高度進行了實地測量．項目操作過程如下：如圖，測試小組利用測角儀從點D處觀測旗亭頂端A點的仰角為24°．在測角儀和旗亭之間水平光滑的地面放置一個平面鏡，小組成員在平面鏡上做好標記后，將平面鏡在地面上來回移動，當平面鏡上的標記位于點E處時，觀測的同學恰好能從點D處看到旗亭頂端A在鏡子中的像與平面鏡上的標記重合，此時測得CE＝2米．已知測角儀的高度CD＝1米，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，且點B，E，C在同一條水平直線上，求旗亭AB的高度．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：tan24°＝0.45，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91）【變式4-1】（2023?河西區(qū)模擬）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為30m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為35°，測得底部C處的俯角為43°，求甲、乙兩座建筑物的高度AB和DC．（結果取整數(shù)）tan35°≈0.70，tan43°≈0.93【變式4-2】（2023?襄州區(qū)模擬）某校數(shù)學興趣小組開展綜合實踐活動——測量校園內旗桿的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.5米，在測點A處安置測傾器，測得旗桿頂部點M的仰角∠MBC＝33°，在與點A相距4.5米的點D處安置測傾器，測得點M的仰角∠MEC＝45°（點A，D，N在同一條水平線上，且點M，N，D，A，B，E，C都在同一豎直平面內，點B，E，C在同一直線上），求旗桿頂部離地面的高度MN．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【變式4-3】（2023?平城區(qū)模擬）如圖，為了測量某一建筑物MN的高度，數(shù)學興趣小組的同學在點A處測得建筑物頂點M的仰角為63.4°，但是由于該建筑物底部有障礙物不能直接測量，因此到達平臺點D處測得建筑物頂點M的仰角為45°．斜坡AD的坡比是1：2.4，點D到地面的距離DC＝5米，測角儀AB，DE的高度為1米．求建筑物MN的高（參考數(shù)據(jù)sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）．【題型4解直角三角形應用-方向角問題】【典例5】（2023?臨高縣模擬）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島20千米的點A處，它沿著點A的南偏東15°的方向航行．（1）填空：∠ABE＝度，∠BAC＝度；（2）漁船航行多遠時距離小島B最近？（結果保留根號）（3）漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續(xù)航行10千米到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發(fā)沿著哪個方向航行到達事故地點航程最短，最短航程是多少？（結果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73，≈2.45）【變式5-1】（2023春?巴南區(qū)期末）在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．（1）求點A與點B之間的距離；（2）若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．【變式5-2】（2023?江津區(qū)二模）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結果保留根號）；（2）漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內到達C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）1．（2023?眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．2．（2023?西藏）如圖，輪船甲和輪船乙同時離開海港O，輪船甲沿北偏東60°的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時后，輪船甲到達A處，輪船乙到達B處，此時輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時25海里，求輪船乙的速度．（結果保留根號）3．（2023?廣安）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點C在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，點B、D都在點C的正北方向，BD長為100米，點B在點A的北偏東30°方向，點D在點E的北偏東58°方向．（1）求步道DE的長度；（2）點D處有一個小商店，某人從點A出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點B到達點D，也可以經(jīng)點E到達點D，請通過計算說明他走哪條路較近．（結果精確到個位）（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）4．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測量，A在燈塔C的南偏西60°方向，B在燈塔C的南偏東45°方向，且在A的正東方向，AC＝3600米．（1）求B養(yǎng)殖場與燈塔C的距離（結果精確到個位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請計算說明甲組能否在9分鐘內到達B處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）5．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．（1）求步道DE的長度（精確到個位）；（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）6．（2022?安徽）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．7．（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走公益活動，小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米．當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點D處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）8．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時貨輪與A港口的距離（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）一．選擇題（共7小題）1．如圖，某農林部門用鋼管為樹木加固，已知鋼管AB的長為4米，鋼管與地面所成夾角∠1＝52°．則固定點A離地面的高度AC為（）A．米 B．米 C．4cos52°米 D．4sin52°米2．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米3．如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB＝12m，則這棵樹CD的高度是（）A． B． C． D．4．如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的坡度為i＝1：2.5，過點B作BC⊥AC，垂足為點C，若大廳水平距離AC的長為7.5m，則兩層之間的高度BC為（）A．3m B．4m C．5m D．6m5．如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射，雷達站R與發(fā)射點L距離6km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為43°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°6．周末，劉老師讀到《行路難》中“閑來垂釣碧溪上，忽復乘舟夢日邊．”邀約好友一起去江邊垂釣．如圖，釣魚竿AC的長為4m，露在水面上的魚線BC的長為，劉老師想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC逆時針轉動15°到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′的長度是（）A．3m B．2m C．2m D．3m7．如圖，小明在M處用高1.5m（即CM＝1.5m）的測角儀測得旗桿AB頂端B的仰角為30°，將測角儀沿旗桿方向前進20m到N處，測得旗桿頂端B的仰角為60°，則旗桿AB的高度為（）A．11.5m B．20m C．m D．m二．填空題（共4小題）8．如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點O自由旋轉，當點A旋轉到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點B到水平地面EF的距離為米．（結果保留根號）9．如圖，飛機A恰好飛行到地面目標B的正上方2000米處，此時飛行員測得另一地面目標C的俯角為30°，則A、C之間的距離為米．10．如圖①是某市地鐵入口的雙閘門，如圖②，當它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝55cm，且與閘機側立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求當雙翼收起時，兩機箱之間的最大寬度為cm．11．攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是，壩高BC＝8m，則坡面AB的長度是m．三．解答題（共5小題）12．某臨街店鋪在窗