江蘇省宿遷市泗洪縣育才實驗中學2024-2025學年上學期八年級數學期中1

第1頁（共1頁）江蘇省宿遷市泗洪縣育才實驗中學2024-2025學年上學期八年級數學期中1一．選擇題（共8小題）1．《國語?楚語》記載：“夫美也者，上下、內外、大小、遠近皆無害焉，故曰美．”這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質特征在于對稱和諧．下列四個圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，在AB、AC上各取一點E、D，使AE＝AD，連接BD、CE相交于點O，再連接AO、BC，若∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對3．下列各組數，是勾股數的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．7，24，254．按下列給出的各條件，能畫出大小、形狀固定的△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°5．下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙6．如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點，則△CDE一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形7．如圖是三角形按常見關系進行分類的圖，則關于P、Q區(qū)域的說法正確的是（）A．P是等邊三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等邊三角形 C．P是直角三角形，Q是銳角三角形 D．P是鈍角三角形，Q是等腰三角形8．在3×3的正方形網格中，把3個小正方形涂上陰影．下列各圖中，這三個小正方形組成的圖案不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題）9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，連接DE．則∠ADE的度數是．10．如圖，已知，AE∥BD，若要用“角邊角”判定△AEC≌△DCE，則需添加的一組平行線是．11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，則∠F＝．12．已知等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為7cm，則它的周長為．13．一直角邊長為5，斜邊長為13的直角三角形斜邊上的高為．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3cm，則點D到AB的距離為cm．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點D在AC上，且AD＝2，點E是AB上的動點，連結DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連結AG，FG．當AG＝FG時，線段AG的長為．16．△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，則AD＝．17．如圖，AD是△ABC的中線，E是AB的中點，連接DE．若△ABC的面積為24，則△BDE的面積為．18．如圖，點D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點O，連接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么圖中的全等三角形共有對．三．解答題（共10小題）19．在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，點A在EB邊上，且CA＝BE．以AC為斜邊作Rt△DAC，使得B、D兩點在直線AC的異側，且∠DAC＝∠E，AD與EC交于點F．（1）求證：∠DCF＝∠ACB；（2）求證：CF＝AD；（3）過點A作AH⊥EC，垂足為H．求證：EH＝AF．20．在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長都是1，如圖所示，點A，B，O都在格點上，求∠AOB的度數．21．請按以下要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．用直尺和圓規(guī)作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依據（請在作圖區(qū)內畫圖）．22．如圖，點C是AE上一點，CD交EB于點F，CF＝DF，EA∥DB．求證：EF＝BF．23．（1）如圖1，在△ABC中，D是BC邊上的一點，以AD為直徑作半圓O，半圓O經過點C．若△ABC的面積為10，請僅用無刻度的直尺作一個三角形，使所作三角形的面積等于5．（2）如圖2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面積為10，請僅用無刻度的直尺作一個三角形，使所作三角形的面積等于5．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．（1）作圖：在AC邊上找一點E，使得點E到A、B兩點的距離相等．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，求EC的長．25．（此題需要寫出括號內的定理理由，已知、已證、已作、等量代換、等式性質這五條理由不需要寫）如圖，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，聯結CD，過點B作CD的垂線（垂足為點E），與過點A作AC的垂線交于點F，聯結CF．（1）求證：△ACF是等腰直角三角形；（2）聯結AE，求證：AE平分∠DEF．26．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）BF＝DE．27．已知：如圖，點B，E，C，F有同一直線l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，試判斷線段AC與DF的數量關系以及位置關系．并證明．28．如圖1，點C、D在直線AB上，∠ECF＝∠EDF，∠EDF+2∠EDA+2∠F＝180°．（1）求證：∠ACE＝∠BCF；（2）求證：DE＝DF；（3）如圖2，延長EC、FD交于點G，在直線AB上取點H，連接GH、FH，若CF＝CD+CE，EG＝HD+HG，∠FHD＝∠CED，求∠CFH的值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．《國語?楚語》記載：“夫美也者，上下、內外、大小、遠近皆無害焉，故曰美．”這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質特征在于對稱和諧．下列四個圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．如圖，在AB、AC上各取一點E、D，使AE＝AD，連接BD、CE相交于點O，再連接AO、BC，若∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】認真觀察圖形，確定已知條件在圖形上的位置，結合全等三角形的判定方法，由易到難，仔細尋找即可．【解答】解：①在△AEO與△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（SAS）；②∵△AEO≌△ADO，∴OE＝OD，∠AEO＝∠ADO，∴∠BEO＝∠CDO，在△BEO與△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（ASA）；③∵△BEO≌△CDO，∴BE＝CD，BO＝CO，OE＝OD，∴CE＝BD，在△BEC與△CDB中，，∴△BEC≌△CDB（SSS）；④在△AEC與△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；⑤∵△AEC≌△ADB，∴AB＝AC，在△AOB與△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），綜上所述，圖中全等三角形共5對，故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．3．下列各組數，是勾股數的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．7，24，25【考點】勾股數．【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、12+22≠53，所以不是勾股數，故不符合題意；B、0.3，0.4，0.5都不是正整數，所以不是勾股數，故不符合題意；C、，2，都不是正整數，所以不是勾股數，故不符合題意；D、72+242＝252，能構成直角三角形，所以是勾股數，故符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了勾股數，解答此題要用到勾股數的定義．4．按下列給出的各條件，能畫出大小、形狀固定的△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°【考點】全等三角形的判定．【分析】根據全等三角形的判定定理，三角形的三邊關系進行分析即可．【解答】解：A、AB+BC＝2+3＝AC，不能構成三形，故A不符合題意；B、AB＝2，BC＝3，不符合三角形全等的條件，所以不能畫出形狀、大小確定的三角形，故B不符合題意；C、AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50°，符合SAS，能畫出形狀、大小確定的三角形，故C符合題意；D、∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，不符合三角形全等的條件，所以不能畫出形狀、大小確定的三角形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關鍵是熟練全等三角形的判定定理．5．下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【考點】全等三角形的判定．【分析】根據三角形全等的判定方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和圖乙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和圖丙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲與△ABC全等；故選：B．【點評】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．6．如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點，則△CDE一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【考點】等腰三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質可得DE＝AB，CE＝AB，可得DE＝CE，再根據等腰三角形的判定進行選擇．【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點，∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE，∴△CDE一定是等腰三角形．故選：C．【點評】考查了直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的判定，將AB作為紐帶，得到DE＝CE是解題的關鍵．7．如圖是三角形按常見關系進行分類的圖，則關于P、Q區(qū)域的說法正確的是（）A．P是等邊三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等邊三角形 C．P是直角三角形，Q是銳角三角形 D．P是鈍角三角形，Q是等腰三角形【考點】三角形．【分析】根據三角形的邊或角進行分類．【解答】解：A、應該是Q是等邊三角形，P是等腰三角形，原說法不正確；B、等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等邊三角形，原說法正確；C、P、Q應該是根據邊的不同進行分類，另外直角三角形與銳角三角形是并列關系，原說法不正確；D、P、Q應該是根據邊的不同進行分類，鈍角三角形與等腰三角形分類標準不同，原說法不正確；故選：B．【點評】本題主要考查了三角形，按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．8．在3×3的正方形網格中，把3個小正方形涂上陰影．下列各圖中，這三個小正方形組成的圖案不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】利用軸對稱設計圖案．【分析】根據軸對稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，符合題意；C、是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是利用軸對稱設計圖案，軸對稱圖形的性質，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．二．填空題（共10小題）9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，連接DE．則∠ADE的度數是54°．【考點】等腰三角形的性質．【分析】根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于點D求得∠ADB的度數，利用三角形的內角和求得∠ADB的度數即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∵點E為AB的中點，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，故答案為：54°．【點評】考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是了解等腰三角形的等邊對等角的性質，難度不大．10．如圖，已知，AE∥BD，若要用“角邊角”判定△AEC≌△DCE，則需添加的一組平行線是AC∥DE．【考點】全等三角形的判定．【分析】根據已知有∠AEC＝∠DCE，CE＝EC．若要用“角邊角”判定△AEC≌△DCE，則需證明∠ACE＝∠DEC．此二角是內錯角，所以需添加的一組平行線是AC∥DE．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠AEC＝∠DCE．又CE＝EC，∴當∠ACE＝∠DEC時，△AEC≌△DCE．（ASA）此時有AC∥DE．故答案為AC∥DE．【點評】此題考查全等三角形的判定及平行線的判定，屬基礎題．11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，則∠F＝70°．【考點】全等三角形的性質．【分析】根據全等三角形的性質求出∠D＝∠A＝53°，∠E＝∠B＝57°，根據三角形的內角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，∴∠D＝∠A＝53°，∠E＝∠B＝57°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝70°，故答案為：70°．【點評】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理的應用，能根據全等三角形的性質得出∠D＝∠A，∠E＝∠B是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．12．已知等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為7cm，則它的周長為19cm或20cm．【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【分析】分6cm是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關系判斷是否能夠組成三角形，再利用三角形的周長的定義解答即可．【解答】解：若6cm是腰長，則三角形的三邊分別為6cm、6cm、7cm，能夠組成三角形，周長＝6+6+7＝19（cm），若6cm是底邊長，則三角形的三邊分別為6cm、7cm、7cm，能夠組成三角形，周長＝6+7+7＝20（cm），綜上所述，等腰三角形的周長為19cm或20cm．故答案為：19cm或20cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，難點在于分情況討論．13．一直角邊長為5，斜邊長為13的直角三角形斜邊上的高為．【考點】勾股定理的應用．【分析】利用勾股定理先求出直角三角形的另一條直角邊的長，根據三角形面積的不同方法計算可以求得斜邊的高的長度．【解答】解：直角三角形的另一條直角邊長為：，∴斜邊上的高線長＝，故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，根據面積法求斜邊的高是解題的關鍵．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3cm，則點D到AB的距離為3cm．【考點】勾股定理；角平分線的性質．【分析】根據角平分線的性質定理得出CD＝DE，代入求出即可．【解答】解：如圖，過D點作DE⊥AB于點E，則DE即為所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，∴CD＝DE（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等），∵CD＝3cm，∴DE＝3cm．故答案為：3．【點評】本題主要考查了角平分線的性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點D在AC上，且AD＝2，點E是AB上的動點，連結DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連結AG，FG．當AG＝FG時，線段AG的長為．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【分析】連接DF，AF，EF，證明△AFD≌△BFE，根據全等三角形的性質得到AD＝BE＝2，進而求出AE，根據勾股定理計算，求得AG，進而得到答案．【解答】解：連接DF，AF，EF，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠CAB＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵點G是DE的中點，點F是BC的中點，∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠B＝45°，∵FG＝AG，∴FG＝DG＝EG，∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，∴∠DFA＝∠EFB，在△AFD和△BFE中，，∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝BE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，∴AG＝DE＝，故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．16．△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，則AD＝6cm．【考點】等腰三角形的性質；勾股定理．【分析】根據等于三角形性質求出BD，根據勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，∴BD＝CD＝8cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD＝＝＝6cm，故答案為：6cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理的應用，關鍵是求出AD的長．17．如圖，AD是△ABC的中線，E是AB的中點，連接DE．若△ABC的面積為24，則△BDE的面積為6．【考點】三角形的面積．【分析】由AD是△ABC的中線，E是AB的中點，得到S△ABD＝S△ABC，S△BED＝S△ABD，推出S△BED＝S△ABC，又△ABC的面積為24，即可求出△BDE的面積．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ABC，∵E是AB的中點，∴S△BED＝S△ABD，∴S△BED＝S△ABC，∵△ABC的面積為24，∴△BDE的面積為×24＝6．故答案為：6．【點評】本題考查三角形的面積，關鍵是由三角形的面積公式得到S△BED＝S△ABC．18．如圖，點D、E分別在AB、AC上，BE與CD相交于點O，連接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么圖中的全等三角形共有5對．【考點】全等三角形的判定．【分析】先根據“SAS”證明△ABE≌△ACD，則BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，所以BD＝CE，再根據“AAS”證明△BOD≌△COE，然后根據“SSS”證明△BCD≌△CBE，同樣方法可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，從而可判斷圖中的全等三角形共有5對．【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SSS），同理可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，綜上所述，圖中的全等三角形共有5對．故答案為：5．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．三．解答題（共10小題）19．在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，點A在EB邊上，且CA＝BE．以AC為斜邊作Rt△DAC，使得B、D兩點在直線AC的異側，且∠DAC＝∠E，AD與EC交于點F．（1）求證：∠DCF＝∠ACB；（2）求證：CF＝AD；（3）過點A作AH⊥EC，垂足為H．求證：EH＝AF．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）根據∠EBC＝90°，∠ADC＝90°得∠DAC+∠DCA＝90°，∠E+∠ECB＝90°，由于∠DAC＝∠E，則∠DCA＝∠ECB，由此可得出結論；（2）先證△ACF和△ECA相似得CF：CA＝CA：CE①，再證△ACD和△ECB相似得CA：CE＝AD：BE②，由①②得：CF：CA＝AD：BE，然后根據CA＝BE可得出結論；（3）作△ABC的外接圓⊙O，交CE于H，連接AH，BH，則AC為⊙O的直徑，由此得AH⊥EC，∠EBH＝∠ACH，由此可依據“ASA”判定△EBH和△ACF全等，由全等三角形的性質可得出結論．【解答】證明：（1）∵Rt△DAC是以AC為斜邊的直角三角形，∴∠ADC＝∠EBC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∠E+∠ECB＝90°，∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF+∠ECA＝∠ACB+∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB；（2）∵∠DAC＝∠E，∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴CF：CA＝CA：CE①，∵在Rt△DAC中，AC為斜邊，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠EBC＝90°，又∵∠DAC＝∠E，∴△ACD∽△ECB，∴CA：CE＝AD：BE②，由①，②得：CF：CA＝AD：BE，∵CA＝BE，∴CF＝AD；（3）作△ABC的外接圓⊙O，交CE于H，連接AH，BH，如圖所示：∵∠EBC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∴∠AHC＝90°，即AH⊥EC，∵點B，H都在⊙O上，∵∠EBH＝∠ACH，在△EBH和△ACF中，∠EBH＝∠ACH，CA＝BE，∠DAC＝∠E，∴△EBH≌△ACF（ASA），∴EH＝AF．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．20．在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長都是1，如圖所示，點A，B，O都在格點上，求∠AOB的度數．【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】根據勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結論．【解答】解：連接AB，∵AO＝AB＝＝，OB＝＝2，∴AO2+AB2＝OB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性質，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．21．請按以下要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．用直尺和圓規(guī)作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依據（請在作圖區(qū)內畫圖）．【考點】作圖—復雜作圖；全等三角形的判定．【分析】利用尺規(guī)作DE＝BC，DF＝BA，EF＝CA，根據SSS即可判定△DEF≌△ABC．【解答】解：作圖如下：△DEF就是所求，判斷依據是三邊對應相等的兩個三角形全等．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，全等三角形的判定，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．22．如圖，點C是AE上一點，CD交EB于點F，CF＝DF，EA∥DB．求證：EF＝BF．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】由平行線的性質得∠CEF＝∠DBF，結合對頂角相等，利用AAS即可判定△CEF≌△DBF，即有EF＝BF．【解答】證明：∵EA∥DB，∴∠CEF＝∠DBF，在△CEF與△DBF中，，∴△CEF≌△DBF（AAS），∴EF＝BF．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活運用．23．（1）如圖1，在△ABC中，D是BC邊上的一點，以AD為直徑作半圓O，半圓O經過點C．若△ABC的面積為10，請僅用無刻度的直尺作一個三角形，使所作三角形的面積等于5．（2）如圖2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面積為10，請僅用無刻度的直尺作一個三角形，使所作三角形的面積等于5．【考點】作圖—復雜作圖．【分析】（1）連接OC，OB，△OBC即為所求作．（2）連接DF，BE交于點O，連接AO，OC，△AOC即為所求作．【解答】解：（1）如圖，△BOC即為所求作．（2）如圖，△AOC即為所求作．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．（1）作圖：在AC邊上找一點E，使得點E到A、B兩點的距離相等．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，求EC的長．【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；勾股定理．【分析】（1）作出AB的垂直平分線交AC于點E；（2）連接BE，根據線段垂直平分線的性質得到∠EFB＝90°，EA＝BE，根據勾股定理求出AC，設EC＝x，則EB＝8﹣x，根據勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解x即可【解答】解：（1）如圖所示，點E即為所求；（2）連接EC，∵EF是BC的垂直平分線，∴∠EFB＝90°，EA＝BE，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．∴AC＝＝＝8，設EC＝x，則EB＝8﹣x，在Rt△BCE中，根據勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，∴EC＝．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．25．（此題需要寫出括號內的定理理由，已知、已證、已作、等量代換、等式性質這五條理由不需要寫）如圖，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，聯結CD，過點B作CD的垂線（垂足為點E），與過點A作AC的垂線交于點F，聯結CF．（1）求證：△ACF是等腰直角三角形；（2）聯結AE，求證：AE平分∠DEF．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【分析】（1）由AD⊥AB于點A，AF⊥AC，得∠BAD＝∠CAF＝90°，則∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，由BF⊥CD于點E，得∠BED＝90°，可根據“等角的余角相等”推導出∠D＝∠ABF，而AD＝AB，即可證明△ADC≌△ABF，得AC＝AF，所以△ACF是等腰直角三角形；（2）作AI⊥CD于點I，AH⊥FB于點H，由△ADC≌△ABF，得CD＝FB，由S△ADC＝S△ABF得CD?AI＝FB?AH，則AI＝AH，再證明Rt△AIE≌Rt△AHE，得∠AEI＝∠AEH，所以AE平分∠DEF．【解答】證明：（1）∵AD⊥AB于點A，AF⊥AC，∴∠BAD＝∠CAF＝90°（垂直定義），∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，∵BF⊥CD于點E，∴∠BED＝90°（垂直定義），∴∠D+∠AGD＝180°，∠ABF+∠EGB＝180°（直角三角形的兩個銳角互余），∵BF交CD于點G，∴∠AGD＝∠EGB（對頂角相等），∴∠D＝∠ABF（等角的余角相等），在△ADC和△ABF中，，∴△ADC≌△ABF（ASA），∴AC＝AF，∴△ACF是等腰直角三角形．（2）作AI⊥CD于點I，AH⊥FB于點H，∴∠AIE＝∠AHE＝90°（垂直定義），∵△ADC≌△ABF，∴CD＝FB（全等三角形的對應邊相等），∵S△ADC＝S△ABF（全等三角形的面積相等），∴CD?AI＝FB?AH（三角形的面積公式），∴AI＝AH，在Rt△AIE和Rt△AHE中，，∴Rt△AIE≌Rt△AHE（HL），∴∠AEI＝∠AEH（全等三角形的對應角相等），∴AE平分∠DEF（角平分線定義）．【點評】此題重點考查等角的余角相等、全等三角形的判定與性質、根據面積等式證明線段相等、角平分線的定義等知識，證明△ADC≌△ABF是解題的關鍵．26．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）BF＝DE．【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．【分析】（1）由AAS證明△ABE≌△CDF即可；（2）由全等三角形的性質得BE＝DF，進而得出結論．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴BE﹣EF＝DF﹣EF，即BF＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．27．已知：如圖，點B，E，C，F有同一直線l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，試判斷線段AC與DF的數量關系以及位置關系．并證明．【考點】全等三角形的判定與性質．【分