專題4 比的認(rèn)識（數(shù)與代數(shù)）-2023-2024學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)寒假專項提升（北師大版）

專題4比的生疏（數(shù)與代數(shù)）1、生疏比。（1）兩個數(shù)相除，又叫作這兩個數(shù)的比。在一個比里面，“：”叫比號，比號前面的數(shù)叫作比的前項，比號后面的數(shù)叫作比的后項，前項除以后項的結(jié)果叫作比值，比值是一個具體的數(shù)。（2）求比值的方法。用比的前項除以比的后項得到一個數(shù)，這個數(shù)就是比值。比值可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示，但是要留意比值是不帶單位的。2、比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。（1）列表格表示比、除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。（2）用字母表示比、除法、分?jǐn)?shù)三者之間的關(guān)系，可以表示為a：b=a÷b=(b≠0)。3、生疏化簡比。（1）可以依據(jù)比與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，借助分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化簡比。（2）解答與比有關(guān)的簡潔實際問題時，我們可以結(jié)合實際問題，把比進行化簡。4、比的基本性質(zhì)。（1）比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，比值不變。（2）比的基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，商不變的性質(zhì)是一樣的。（3）利用比的基本性質(zhì)解答有關(guān)比的實際問題時，要留意比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，而不是增加或者削減相同的數(shù)。5、化簡整數(shù)比、小數(shù)比、分?jǐn)?shù)比的方法。（1）整數(shù)與整數(shù)的比的化簡，可以先把比改寫成分?jǐn)?shù)的形式，再把這個分?jǐn)?shù)進行約分；或者把比的前項和后項同時除以它們的最大公因數(shù)。（2）小數(shù)與小數(shù)的比的化簡，可以先把小數(shù)比改寫成小數(shù)的除法，再依據(jù)商不變的性質(zhì)進行化簡；也可以依據(jù)比的基本性質(zhì)把小數(shù)與小數(shù)的比先轉(zhuǎn)化成整數(shù)與整數(shù)的比，再化簡。（3）分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的比的化簡，用比的前項除以比的后項，結(jié)果肯定是一個比；也可以把比的前項和后項同時乘它們分母的最小公倍數(shù)。6、解決依據(jù)肯定的比進行安排的實際問題。方法一：先求出總量一共被平均分成了幾份，再接受平均分的方法求出每份的具體數(shù)量，最終求出各部分相應(yīng)的具體數(shù)量。方法二：先求出總量一共被平均分成了幾份，再用相應(yīng)的分?jǐn)?shù)來表示各部重量占總量的幾分之幾，最終用分?jǐn)?shù)乘法來解答。方法三：依據(jù)比設(shè)一份量為x，列方程解答。7、按肯定的比進行安排的問題的應(yīng)用。另一部重量=已知部重量÷已知部重量對應(yīng)的份數(shù)×另一部重量對應(yīng)的份數(shù)?？倲?shù)量=已知部重量÷已知部重量對應(yīng)的份數(shù)×總份數(shù)。一、選擇題1．一個長方形花園，周長是98米，長和寬的比是4∶3，這個花園的面積是（

）平方米。A．528 B．558 C．578 D．5882．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┫旅娓髑榫持?，能用“2∶3”表示的是（

）。A．混凝土中，水泥占，沙子占，水泥和沙子的比。B．某校學(xué)校部有2000人，中學(xué)部有3000人，中學(xué)部與學(xué)校部的人數(shù)的比。C．從學(xué)校動身前往書店，小華用4分鐘，小芳用6分鐘，小華和小芳的速度比。D．20g水中加入10g的鹽，水和鹽水的比。3．（2022上·廣東佛山·六班級校聯(lián)考期末）一個長方體的棱長總和為64厘米，長、寬、高的比為4∶3∶1，這個長方體的體積是（

）立方厘米。A．6144 B．768 C．600 D．964．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻（yáo）組成。爻分為陽爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。6個爻能組成種不同的“重卦”，在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有2個陽爻的重卦數(shù)與總重卦數(shù)的比是（

）。A． B． C． D．5．（2023下·北京東城·六班級期末）“宮、商、角、徵、羽”是我國古代音樂的基本音階?；疽綦A“商”的發(fā)音管比基本音階“徵”的發(fā)音管短，則“徵”和“商”的發(fā)音管長度比是（

）。A．3∶2 B．2∶3 C．4∶3 D．3∶46．（2023上·遼寧·六班級期中）一輛汽車從A城開往B城，已經(jīng)行駛了全程的，還剩下144千米。A、B兩城相距多少千米？下面列式正確的是（

）。①144÷（8－5）×8

②144÷（1－）③解：設(shè)A、B兩城相距千米。－＝144

④144÷（8－5）×5A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題7．2020年8月21日，由縣委、縣政府主辦的“走進蘇州－陜西渭南文化旅游合陽招商引資推介會”在蘇州進行，此次推介活動，合陽以“伊尹故里詩經(jīng)合陽”為文化招牌，在電商農(nóng)產(chǎn)品展銷現(xiàn)場交易金額達(dá)6萬元，線上交易金額達(dá)90萬元。展銷現(xiàn)場與線上交易金額的比是（），比值是（）。8．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┝?）班有男生25人，女生20人。男、女生人數(shù)的最簡整數(shù)比是（

）∶（

）；女生人數(shù)占全班人數(shù)的。9．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┓涿酆退?∶9調(diào)制成蜂蜜水。現(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌（）mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（）mL。10．小明讀一本書，第一天讀了一部分，已讀的和未讀的頁數(shù)比是1∶5，其次天讀了30頁，這時已讀的和未讀的頁數(shù)比是5∶7，這本書有（）頁。11．古代景德鎮(zhèn)青花瓷隨著海上絲綢之路的傳播而為世界所矚目。制造時，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康納瓦長石、石灰石和高嶺土，其中康納瓦長石和石灰石的比是?，F(xiàn)有24噸康納瓦長石，全部用來制造這種釉，需要（）噸石灰石。12．（2022上·廣東惠州·六班級校考期中）趙伯伯在荒山上種了50棵樹，其中有5棵沒有成活。（1）這批樹的成活率是（）%。（2）成活的樹的棵數(shù)與種樹總棵數(shù)的比是（），比值是（）。三、計算題13．（2021上·陜西西安·六班級校考期末）化簡比。9∶21

3.2∶4

0.35∶0.56

∶14．（2023上·甘肅定西·六班級統(tǒng)考期末）化簡下列比。36∶24

0.8∶0.12

45分∶1.5時四、作圖題15．（2023上·山西運城·六班級校考期中）下面每個小方格都是代表邊長1cm的正方形，請按要求畫一畫。（1）畫一個周長是36cm的長方形，且長和寬的比是5∶4。（2）畫一個面積是的長方形，把這個長方形涂上紅色與黑色，且紅色與黑色的面積比是1∶2。五、解答題16．（2023下·遼寧·六班級小升初模擬）為迎接2022年北京冬奧會的進行，某商場運進了880個“冰墩墩”吉利物玩偶，賣完這批玩偶用了3天。第一天賣了這批玩偶的，其次天和第三天賣的這批玩偶的數(shù)量之比是6∶5，該商場其次天比第三天多賣了多少個“冰墩墩”吉利物玩偶？17．（2023下·遼寧大連·六班級統(tǒng)考期末）看圖回答問題。

（1）幸福村種了132公頃黃瓜，種了多少公頃西紅柿？（2）黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植面積的比是多少？18．（2022上·廣東湛江·六班級?？茧A段練習(xí)）為加強海峽兩岸溝通，共同實現(xiàn)宏大復(fù)興的“中國夢”，我國提出修建連接大陸與臺灣的臺海通道設(shè)想。專家們經(jīng)過探討、猜測和論證，提出了北線、中線、南線的臺海通道三方案，接受橋梁與隧道結(jié)合的方式，北線橋梁和隧道總長大約為125千米，南線總長大約為174千米。（1）假如將要修建的海底隧道的橫截面是直徑為8米的圓，那么這個橫截面的面積是多少平方米？（2）假如北線橋梁和隧道的長度比是4∶21，那么北線隧道長約多少千米？（3）南線總長度比中線總長度長，中線總長度大約是多少千米？19．初代的“復(fù)興號”載客車廂只有576個座位，為了滿足人們對奇特生活的需求，我國又成功研制了加長版“復(fù)興號”。某列加長版“復(fù)興號”一共設(shè)置了1179個座位，其中商務(wù)座18個，其余的是一等座與二等座，數(shù)量比是1∶8，這列加長版“復(fù)興號”設(shè)置的一等座和二等座各有多少個座位？可以用分?jǐn)?shù)混合運算的方法，也可以用列方程的方法喲！20．（2023上·甘肅定西·六班級統(tǒng)考期末）學(xué)校購進一批圖書，把其中的分給低班級，余下的按3∶5分別分給中班級和高班級，其中中班級分得90本。學(xué)校購進圖書多少本？參考答案1．D【分析】依據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2可知，長方形的長、寬之和＝周長÷2；又已知長和寬的比是4∶3，把長看作4份，寬看作3份，長、寬一共是（4＋3）份；用長、寬之和除以它們的份數(shù)和，即可求出一份數(shù)；再用一份數(shù)分別乘長、寬的份數(shù)，求出長、寬；最終依據(jù)長方形的面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)計算求出這個長方形的面積?！驹斀狻块L、寬之和：98÷2＝49（米）一份數(shù)：49÷（4＋3）＝49÷7＝7（米）長：7×4＝28（米）寬：7×3＝21（米）面積：28×21＝588（平方米）這個花園的面積是588平方米。故答案為：D【點睛】本題考查比的應(yīng)用，依據(jù)長方形的周長公式求出長、寬之和，然后把長與寬的比看作份數(shù)，求出一份數(shù)，進而求出長方形的長、寬是解題的關(guān)鍵。2．D【分析】先依據(jù)比的意義寫出各情境中的比，再化簡成最簡潔的整數(shù)比，找出能用“2∶3”表示的情境即可。【詳解】A．∶＝（×5）∶（×5）＝1∶3水泥和沙子的比是1∶3，不符合題意；B．3000∶2000＝（3000÷1000）∶（2000÷1000）＝3∶2中學(xué)部與學(xué)校部的人數(shù)的比是3∶2，不符合題意；C．∶＝（×12）∶（×12）＝3∶2小華和小芳的速度比是3∶2，不符合題意；D．20∶（20＋10）＝20∶30＝（20÷10）∶（30÷10）＝2∶3水和鹽水的比是2∶3，符合題意。故答案為：D【點睛】本題考查比的意義以及比的化簡，留意化簡比的結(jié)果是一個比，它的前項和后項都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)。3．D【分析】依據(jù)長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，用長方體的棱長總和除以4，求出長、寬、高的長度之和，長、寬、高的比為4∶3∶1，再依據(jù)按比安排的方法，分別求出長方體的長、寬、高，利用長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)即可得解?！驹斀狻?4÷4＝16（厘米）16×＝16×＝8（厘米）16×＝16×＝6（厘米）16×＝16×＝2（厘米）8×6×2＝96（立方厘米）即這個長方體的體積是96立方厘米。故答案為：D【點睛】此題主要考查長方體的棱長總和、長方體的體積的計算方法以及按比例安排的應(yīng)用題的解答方法，解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件用分?jǐn)?shù)方法解答。4．C【分析】第一行為陽爻，另一個陽爻有5種不同的放法；其次行為陽爻，另一個陽爻有4種不同的放法；第三行為陽爻，另一個陽爻有3種不同的放法；第四行為陽爻，另一個陽爻有2種不同的放法；第五行為陽爻，只有1種放法和已經(jīng)消滅的放法不同；利用加法求出一共有多少種不同的放法，從而和全部的重卦數(shù)64種做比?！驹斀狻?＋4＋3＋2＋1＝15（種）所以，在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有2個陽爻的重卦數(shù)與總重卦數(shù)的比是15∶64。故答案為：C5．A【分析】將“徵”的發(fā)音管長度看作單位“1”，依據(jù)“商”的發(fā)音管長度比“徵”的發(fā)音管長度短，即可理解為當(dāng)“徵”的發(fā)音管長度為3份時，“商”的發(fā)音管長度比“徵”的發(fā)音管長度少1份，即“商”的發(fā)音管長度是2份，據(jù)此得解。【詳解】由分析可知，將“徵”的發(fā)音管長度看作單位“1”，則“商”的發(fā)音管長度是“徵”的發(fā)音管長度的，此時“徵”和“商”的發(fā)音管長度比為3：2。故答案為：A6．B【分析】①已知行駛了全程的，可以把已行的路程看作5份，則全程是8份，還剩下（8－5）份；用還剩下的路程除以（8－5）份，即可求出一份數(shù)，再用一份數(shù)乘全程的份數(shù)，求出全程。②把全程看作單位“1”，已經(jīng)行駛了全程的，則還剩下全程的（1－），單位“1”未知，用還剩下的路程除以（1－），即可求出全程。③等量關(guān)系：全程－已經(jīng)行駛的路程＝還剩下的路程，據(jù)此列出方程。④已知行駛了全程的，可以把已行的路程看作5份，則全程是8份，還剩下（8－5）份；那么144÷（8－5）是求一份數(shù)，用一份數(shù)乘5，求的是已行的路程?！驹斀狻竣?44÷（8－5）×8，求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；②144÷（1－），求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；③解：設(shè)A、B兩城相距千米。－＝144，求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；④144÷（8－5）×5，求的是已行的路程，列式錯誤。綜上所述，列式正確的有①②③。故答案為：B【點睛】本題考查用不同的方法解決問題：①把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比，依據(jù)比的應(yīng)用的解題方法，求出一份數(shù)，進而求出全程；②找出單位“1”，單位“1”未知，依據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義解答；③列方程解決問題，從題目中找到等量關(guān)系，依據(jù)等量關(guān)系列方程。7．1∶15【分析】兩個數(shù)相除，就是兩個數(shù)的比。展銷現(xiàn)場與線上交易金額的比是6∶90，再化簡比；最終用比的前項除以后項，得到的數(shù)就是比值，比值可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)等形式?！驹斀狻空逛N現(xiàn)場與線上交易金額的比是：6∶90＝（6÷6）∶（90÷6）＝1∶156∶90＝6÷90＝比值是?！军c睛】把握比的概念及比值的求法是解答的關(guān)鍵。8．5；4；【分析】要求最簡整數(shù)比，依據(jù)比的基本性質(zhì)作答，即比的前項和后項同時乘或除以同一個數(shù)（0除外），比值不變；女生人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾，用女生人數(shù)除以全班人數(shù)，結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示；據(jù)此解答?！驹斀狻磕猩藬?shù)∶女生人數(shù)＝25∶2025∶20＝（25÷5）∶（20÷5）＝5∶4全班人數(shù)：25＋20＝45（人）因此男、女生人數(shù)的最簡整數(shù)比是5∶4，女生人數(shù)占全班人數(shù)的?！军c睛】解答本題的關(guān)鍵是要把握和理解比的基本性質(zhì)。9．45030【分析】依據(jù)“蜂蜜和水按1∶9調(diào)制成蜂蜜水”，把蜂蜜的體積看作1份，水的體積是9份，所以，現(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌（50×9）mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（300×）mL；據(jù)此解題即可。【詳解】50×9＝450（mL）300×＝300×＝30（mL）所以，蜂蜜和水按1∶9調(diào)制成蜂蜜水?，F(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌450mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜30mL?！军c睛】此題主要考查按比例安排應(yīng)用題的特點：已兩個數(shù)的比，兩個數(shù)的和，求這兩個數(shù)或其中一個數(shù)，用按比例安排解答。10．120【分析】把這本書的總頁數(shù)看作單位“1”，第一天讀了一部分，已讀的和未讀的頁數(shù)比是1∶5，即已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的；其次天讀了30頁，這時已讀的和未讀的頁數(shù)比是5∶7，即已讀的頁數(shù)占總頁數(shù)的；那么其次天讀的30頁占總頁數(shù)的（－），單位“1”未知，用其次天讀的頁數(shù)除以（－），即可求出這本書的總頁數(shù)。【詳解】30÷（－）＝30÷（－）＝30÷（－）＝30÷＝30×4＝120（頁）這本書有120頁。11．16【分析】依據(jù)題意，康納瓦長石和石灰石的比是3∶2，則石灰石是康納瓦長石的，已知康納瓦長石24噸，求需要石灰石的重量，把康納瓦長石的總量看作單位“1”，依據(jù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，用康納瓦長石的重量×，即可求出需要石灰石的重量。【詳解】24×＝16（噸）古代景德鎮(zhèn)青花瓷隨著海上絲綢之路的傳播而為世界所矚目。制造時，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康納瓦長石、石灰石和高嶺土，其中康納瓦長石和石灰石的比是?，F(xiàn)有24噸康納瓦長石，全部用來制造這種釉，需要16噸石灰石。12．（1）90（2）9∶10【分析】（1）成活率＝成活的棵數(shù)÷總棵數(shù)×100%，據(jù)此求解即可；（2）用成活棵數(shù)比總棵數(shù)，依據(jù)比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以一個數(shù)（0除外），比值不變，化簡即可；用比的前項除以后項，即可求得比值?！驹斀狻浚?）（50－5）÷50×100%＝45÷50×100%＝0.9×100%＝90%即這批樹的成活率是90%。（2）（50－5）∶50＝45∶50＝（45÷5）∶（50÷5）＝9∶109÷10＝即成活的樹的棵數(shù)與種樹總棵數(shù)的比是9∶10，比值是。【點睛】本題考查成活率、比的化簡和求比值，牢記成活率的公式，以及比的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵。13．3∶7；4∶5；5∶8；1∶10【分析】比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。利用“比的基本性質(zhì)”把比化簡成最簡潔的整數(shù)比。【詳解】（1）9∶21＝（9÷3）∶（21÷3）＝3∶7（2）3.2∶4＝（3.2×10）∶（4×10）＝32∶40＝（32÷8）∶（40÷8）＝4∶5（3）0.35∶0.56＝（0.35×100）∶（0.56×100）＝35∶56＝（35÷7）∶（56÷7）＝5∶8（4）∶＝（×15）∶（×15）＝4∶40＝（4÷4）∶（40÷4）＝1∶1014．3∶2；4∶1；20∶3；1∶2【分析】依據(jù)比的基本性質(zhì)，比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變，據(jù)此化簡比即可?！驹斀狻?6∶24＝（36÷12）∶（24÷12）＝3∶2＝（1.5×8）∶（）＝12∶3＝（12÷3）∶（3÷3）＝4∶10.8∶0.12＝（0.8×100）∶（0.12×100）＝80∶12＝（80÷4）∶（12÷4）＝20∶345分∶1.5時＝45分∶90分＝（45÷45）∶（90÷45）＝1∶215．（1）（2）見詳解【分析】（1）依據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，由周長計算出（長＋寬）之和，再依據(jù)長和寬的比是5∶4，用（長＋寬）乘（）計算出長，用（長＋寬）乘（）計算出寬；（2）用30乘（）計算出紅色的面積，用30乘（）計算出黑色的面積，再依據(jù)長方形的面積＝長×寬，確定紅色長方形和黑色長方形對應(yīng)的長和寬?！驹斀狻浚?）長＋寬之和：36÷2＝18（cm）長：（cm）寬：（cm）具體作圖如下：（2）紅色面積：（cm2）黑色面積：（cm2）因此面積是的長方形的長可以是6cm，寬可以是5cm，寬保持不變，把長方形的長分為4cm和2cm兩個部分，其中將面積為10cm2的長方形涂成紅色，將面積為20cm2的長方形涂成黑色，具體作圖如下（畫圖不唯一，滿足條件即可）：【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記長方形周長和面積的計算公式，依據(jù)周長和面積計算出圖形相應(yīng)的長和寬，再作圖即可解答。16．60個【分析】先把該商場運進的“冰墩墩”總數(shù)看作單位“1”，依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用總個數(shù)乘就是其次天、第三天賣的個數(shù)，再把其次天、第三天賣的個數(shù)看作單位“1”，其中其次天賣的個數(shù)占，第三天賣的個數(shù)占，依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用其次天、第三天賣的個數(shù)乘兩天賣的個數(shù)所占的分率之和就是其次天比第三天多賣的個數(shù)?！驹斀狻浚▊€）答：商場其次天比第三天多賣了60個“冰墩墩”吉利物玩偶?！军c睛】依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，求出其次天、第三天賣的個數(shù)后，再把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，進而求出兩天賣的個數(shù)所占的分率之和，再依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義解答。17．（1）12公頃（2）11∶1∶8【分析】（1）扇形統(tǒng)計圖可以清楚的看出部分占總體的百分比，所以這里把“黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植總面積”看成單位“1”，單位“1”＝對應(yīng)量÷對應(yīng)分率，據(jù)此可算出黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植總面積，再乘種植西紅柿占總面積的分率5%，即可得到種植西紅柿的面積；（2）直接求黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植面積占總面積的百分率的比，然后依據(jù)比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，比值的大小不變，將結(jié)果化簡成最簡整數(shù)比即可。【詳解】（1）132÷55%×5%＝240×0.05＝12（公頃）答：種了12公頃西紅柿。（2）55%∶5%∶40%＝（55%×100）∶（5%×100）∶（40%×1