專題4 比的認識（數與代數）-2023-2024學年六年級上冊數學寒假專項提升（北師大版）

專題4比的生疏（數與代數）1、生疏比。（1）兩個數相除，又叫作這兩個數的比。在一個比里面，“：”叫比號，比號前面的數叫作比的前項，比號后面的數叫作比的后項，前項除以后項的結果叫作比值，比值是一個具體的數。（2）求比值的方法。用比的前項除以比的后項得到一個數，這個數就是比值。比值可以用分數表示，也可以用小數或整數表示，但是要留意比值是不帶單位的。2、比與除法、分數之間的關系。（1）列表格表示比、除法、分數之間的關系。（2）用字母表示比、除法、分數三者之間的關系，可以表示為a：b=a÷b=(b≠0)。3、生疏化簡比。（1）可以依據比與分數的關系，借助分數的基本性質化簡比。（2）解答與比有關的簡潔實際問題時，我們可以結合實際問題，把比進行化簡。4、比的基本性質。（1）比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數，比值不變。（2）比的基本性質與分數的基本性質，商不變的性質是一樣的。（3）利用比的基本性質解答有關比的實際問題時，要留意比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數，而不是增加或者削減相同的數。5、化簡整數比、小數比、分數比的方法。（1）整數與整數的比的化簡，可以先把比改寫成分數的形式，再把這個分數進行約分；或者把比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。（2）小數與小數的比的化簡，可以先把小數比改寫成小數的除法，再依據商不變的性質進行化簡；也可以依據比的基本性質把小數與小數的比先轉化成整數與整數的比，再化簡。（3）分數與分數的比的化簡，用比的前項除以比的后項，結果肯定是一個比；也可以把比的前項和后項同時乘它們分母的最小公倍數。6、解決依據肯定的比進行安排的實際問題。方法一：先求出總量一共被平均分成了幾份，再接受平均分的方法求出每份的具體數量，最終求出各部分相應的具體數量。方法二：先求出總量一共被平均分成了幾份，再用相應的分數來表示各部重量占總量的幾分之幾，最終用分數乘法來解答。方法三：依據比設一份量為x，列方程解答。7、按肯定的比進行安排的問題的應用。另一部重量=已知部重量÷已知部重量對應的份數×另一部重量對應的份數。總數量=已知部重量÷已知部重量對應的份數×總份數。一、選擇題1．一個長方形花園，周長是98米，長和寬的比是4∶3，這個花園的面積是（

）平方米。A．528 B．558 C．578 D．5882．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┫旅娓髑榫持校苡谩?∶3”表示的是（

）。A．混凝土中，水泥占，沙子占，水泥和沙子的比。B．某校學校部有2000人，中學部有3000人，中學部與學校部的人數的比。C．從學校動身前往書店，小華用4分鐘，小芳用6分鐘，小華和小芳的速度比。D．20g水中加入10g的鹽，水和鹽水的比。3．（2022上·廣東佛山·六班級校聯(lián)考期末）一個長方體的棱長總和為64厘米，長、寬、高的比為4∶3∶1，這個長方體的體積是（

）立方厘米。A．6144 B．768 C．600 D．964．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻（yáo）組成。爻分為陽爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。6個爻能組成種不同的“重卦”，在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有2個陽爻的重卦數與總重卦數的比是（

）。A． B． C． D．5．（2023下·北京東城·六班級期末）“宮、商、角、徵、羽”是我國古代音樂的基本音階。基本音階“商”的發(fā)音管比基本音階“徵”的發(fā)音管短，則“徵”和“商”的發(fā)音管長度比是（

）。A．3∶2 B．2∶3 C．4∶3 D．3∶46．（2023上·遼寧·六班級期中）一輛汽車從A城開往B城，已經行駛了全程的，還剩下144千米。A、B兩城相距多少千米？下面列式正確的是（

）。①144÷（8－5）×8

②144÷（1－）③解：設A、B兩城相距千米。－＝144

④144÷（8－5）×5A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題7．2020年8月21日，由縣委、縣政府主辦的“走進蘇州－陜西渭南文化旅游合陽招商引資推介會”在蘇州進行，此次推介活動，合陽以“伊尹故里詩經合陽”為文化招牌，在電商農產品展銷現(xiàn)場交易金額達6萬元，線上交易金額達90萬元。展銷現(xiàn)場與線上交易金額的比是（），比值是（）。8．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┝?）班有男生25人，女生20人。男、女生人數的最簡整數比是（

）∶（

）；女生人數占全班人數的。9．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┓涿酆退?∶9調制成蜂蜜水?，F(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌（）mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（）mL。10．小明讀一本書，第一天讀了一部分，已讀的和未讀的頁數比是1∶5，其次天讀了30頁，這時已讀的和未讀的頁數比是5∶7，這本書有（）頁。11．古代景德鎮(zhèn)青花瓷隨著海上絲綢之路的傳播而為世界所矚目。制造時，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康納瓦長石、石灰石和高嶺土，其中康納瓦長石和石灰石的比是。現(xiàn)有24噸康納瓦長石，全部用來制造這種釉，需要（）噸石灰石。12．（2022上·廣東惠州·六班級校考期中）趙伯伯在荒山上種了50棵樹，其中有5棵沒有成活。（1）這批樹的成活率是（）%。（2）成活的樹的棵數與種樹總棵數的比是（），比值是（）。三、計算題13．（2021上·陜西西安·六班級?？计谀┗啽?。9∶21

3.2∶4

0.35∶0.56

∶14．（2023上·甘肅定西·六班級統(tǒng)考期末）化簡下列比。36∶24

0.8∶0.12

45分∶1.5時四、作圖題15．（2023上·山西運城·六班級?？计谥校┫旅婷總€小方格都是代表邊長1cm的正方形，請按要求畫一畫。（1）畫一個周長是36cm的長方形，且長和寬的比是5∶4。（2）畫一個面積是的長方形，把這個長方形涂上紅色與黑色，且紅色與黑色的面積比是1∶2。五、解答題16．（2023下·遼寧·六班級小升初模擬）為迎接2022年北京冬奧會的進行，某商場運進了880個“冰墩墩”吉利物玩偶，賣完這批玩偶用了3天。第一天賣了這批玩偶的，其次天和第三天賣的這批玩偶的數量之比是6∶5，該商場其次天比第三天多賣了多少個“冰墩墩”吉利物玩偶？17．（2023下·遼寧大連·六班級統(tǒng)考期末）看圖回答問題。

（1）幸福村種了132公頃黃瓜，種了多少公頃西紅柿？（2）黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植面積的比是多少？18．（2022上·廣東湛江·六班級?？茧A段練習）為加強海峽兩岸溝通，共同實現(xiàn)宏大復興的“中國夢”，我國提出修建連接大陸與臺灣的臺海通道設想。專家們經過探討、猜測和論證，提出了北線、中線、南線的臺海通道三方案，接受橋梁與隧道結合的方式，北線橋梁和隧道總長大約為125千米，南線總長大約為174千米。（1）假如將要修建的海底隧道的橫截面是直徑為8米的圓，那么這個橫截面的面積是多少平方米？（2）假如北線橋梁和隧道的長度比是4∶21，那么北線隧道長約多少千米？（3）南線總長度比中線總長度長，中線總長度大約是多少千米？19．初代的“復興號”載客車廂只有576個座位，為了滿足人們對奇特生活的需求，我國又成功研制了加長版“復興號”。某列加長版“復興號”一共設置了1179個座位，其中商務座18個，其余的是一等座與二等座，數量比是1∶8，這列加長版“復興號”設置的一等座和二等座各有多少個座位？可以用分數混合運算的方法，也可以用列方程的方法喲！20．（2023上·甘肅定西·六班級統(tǒng)考期末）學校購進一批圖書，把其中的分給低班級，余下的按3∶5分別分給中班級和高班級，其中中班級分得90本。學校購進圖書多少本？參考答案1．D【分析】依據長方形的周長＝（長＋寬）×2可知，長方形的長、寬之和＝周長÷2；又已知長和寬的比是4∶3，把長看作4份，寬看作3份，長、寬一共是（4＋3）份；用長、寬之和除以它們的份數和，即可求出一份數；再用一份數分別乘長、寬的份數，求出長、寬；最終依據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算求出這個長方形的面積?！驹斀狻块L、寬之和：98÷2＝49（米）一份數：49÷（4＋3）＝49÷7＝7（米）長：7×4＝28（米）寬：7×3＝21（米）面積：28×21＝588（平方米）這個花園的面積是588平方米。故答案為：D【點睛】本題考查比的應用，依據長方形的周長公式求出長、寬之和，然后把長與寬的比看作份數，求出一份數，進而求出長方形的長、寬是解題的關鍵。2．D【分析】先依據比的意義寫出各情境中的比，再化簡成最簡潔的整數比，找出能用“2∶3”表示的情境即可。【詳解】A．∶＝（×5）∶（×5）＝1∶3水泥和沙子的比是1∶3，不符合題意；B．3000∶2000＝（3000÷1000）∶（2000÷1000）＝3∶2中學部與學校部的人數的比是3∶2，不符合題意；C．∶＝（×12）∶（×12）＝3∶2小華和小芳的速度比是3∶2，不符合題意；D．20∶（20＋10）＝20∶30＝（20÷10）∶（30÷10）＝2∶3水和鹽水的比是2∶3，符合題意。故答案為：D【點睛】本題考查比的意義以及比的化簡，留意化簡比的結果是一個比，它的前項和后項都是整數，并且是互質數。3．D【分析】依據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，用長方體的棱長總和除以4，求出長、寬、高的長度之和，長、寬、高的比為4∶3∶1，再依據按比安排的方法，分別求出長方體的長、寬、高，利用長方體的體積＝長×寬×高，代入數據即可得解?！驹斀狻?4÷4＝16（厘米）16×＝16×＝8（厘米）16×＝16×＝6（厘米）16×＝16×＝2（厘米）8×6×2＝96（立方厘米）即這個長方體的體積是96立方厘米。故答案為：D【點睛】此題主要考查長方體的棱長總和、長方體的體積的計算方法以及按比例安排的應用題的解答方法，解題關鍵是依據已知條件用分數方法解答。4．C【分析】第一行為陽爻，另一個陽爻有5種不同的放法；其次行為陽爻，另一個陽爻有4種不同的放法；第三行為陽爻，另一個陽爻有3種不同的放法；第四行為陽爻，另一個陽爻有2種不同的放法；第五行為陽爻，只有1種放法和已經消滅的放法不同；利用加法求出一共有多少種不同的放法，從而和全部的重卦數64種做比?！驹斀狻?＋4＋3＋2＋1＝15（種）所以，在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有2個陽爻的重卦數與總重卦數的比是15∶64。故答案為：C5．A【分析】將“徵”的發(fā)音管長度看作單位“1”，依據“商”的發(fā)音管長度比“徵”的發(fā)音管長度短，即可理解為當“徵”的發(fā)音管長度為3份時，“商”的發(fā)音管長度比“徵”的發(fā)音管長度少1份，即“商”的發(fā)音管長度是2份，據此得解?！驹斀狻坑煞治隹芍?，將“徵”的發(fā)音管長度看作單位“1”，則“商”的發(fā)音管長度是“徵”的發(fā)音管長度的，此時“徵”和“商”的發(fā)音管長度比為3：2。故答案為：A6．B【分析】①已知行駛了全程的，可以把已行的路程看作5份，則全程是8份，還剩下（8－5）份；用還剩下的路程除以（8－5）份，即可求出一份數，再用一份數乘全程的份數，求出全程。②把全程看作單位“1”，已經行駛了全程的，則還剩下全程的（1－），單位“1”未知，用還剩下的路程除以（1－），即可求出全程。③等量關系：全程－已經行駛的路程＝還剩下的路程，據此列出方程。④已知行駛了全程的，可以把已行的路程看作5份，則全程是8份，還剩下（8－5）份；那么144÷（8－5）是求一份數，用一份數乘5，求的是已行的路程?！驹斀狻竣?44÷（8－5）×8，求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；②144÷（1－），求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；③解：設A、B兩城相距千米。－＝144，求的是A、B兩城之間的距離，列式正確；④144÷（8－5）×5，求的是已行的路程，列式錯誤。綜上所述，列式正確的有①②③。故答案為：B【點睛】本題考查用不同的方法解決問題：①把分數轉化成比，依據比的應用的解題方法，求出一份數，進而求出全程；②找出單位“1”，單位“1”未知，依據分數除法的意義解答；③列方程解決問題，從題目中找到等量關系，依據等量關系列方程。7．1∶15【分析】兩個數相除，就是兩個數的比。展銷現(xiàn)場與線上交易金額的比是6∶90，再化簡比；最終用比的前項除以后項，得到的數就是比值，比值可以是整數，分數，小數等形式?！驹斀狻空逛N現(xiàn)場與線上交易金額的比是：6∶90＝（6÷6）∶（90÷6）＝1∶156∶90＝6÷90＝比值是?！军c睛】把握比的概念及比值的求法是解答的關鍵。8．5；4；【分析】要求最簡整數比，依據比的基本性質作答，即比的前項和后項同時乘或除以同一個數（0除外），比值不變；女生人數占全班人數的幾分之幾，用女生人數除以全班人數，結果用分數表示；據此解答?！驹斀狻磕猩藬怠门藬担?5∶2025∶20＝（25÷5）∶（20÷5）＝5∶4全班人數：25＋20＝45（人）因此男、女生人數的最簡整數比是5∶4，女生人數占全班人數的?！军c睛】解答本題的關鍵是要把握和理解比的基本性質。9．45030【分析】依據“蜂蜜和水按1∶9調制成蜂蜜水”，把蜂蜜的體積看作1份，水的體積是9份，所以，現(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌（50×9）mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（300×）mL；據此解題即可。【詳解】50×9＝450（mL）300×＝300×＝30（mL）所以，蜂蜜和水按1∶9調制成蜂蜜水?，F(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌450mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜30mL?！军c睛】此題主要考查按比例安排應用題的特點：已兩個數的比，兩個數的和，求這兩個數或其中一個數，用按比例安排解答。10．120【分析】把這本書的總頁數看作單位“1”，第一天讀了一部分，已讀的和未讀的頁數比是1∶5，即已讀的頁數占總頁數的；其次天讀了30頁，這時已讀的和未讀的頁數比是5∶7，即已讀的頁數占總頁數的；那么其次天讀的30頁占總頁數的（－），單位“1”未知，用其次天讀的頁數除以（－），即可求出這本書的總頁數?！驹斀狻?0÷（－）＝30÷（－）＝30÷（－）＝30÷＝30×4＝120（頁）這本書有120頁。11．16【分析】依據題意，康納瓦長石和石灰石的比是3∶2，則石灰石是康納瓦長石的，已知康納瓦長石24噸，求需要石灰石的重量，把康納瓦長石的總量看作單位“1”，依據求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，用康納瓦長石的重量×，即可求出需要石灰石的重量?！驹斀狻?4×＝16（噸）古代景德鎮(zhèn)青花瓷隨著海上絲綢之路的傳播而為世界所矚目。制造時，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康納瓦長石、石灰石和高嶺土，其中康納瓦長石和石灰石的比是?，F(xiàn)有24噸康納瓦長石，全部用來制造這種釉，需要16噸石灰石。12．（1）90（2）9∶10【分析】（1）成活率＝成活的棵數÷總棵數×100%，據此求解即可；（2）用成活棵數比總棵數，依據比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以一個數（0除外），比值不變，化簡即可；用比的前項除以后項，即可求得比值。【詳解】（1）（50－5）÷50×100%＝45÷50×100%＝0.9×100%＝90%即這批樹的成活率是90%。（2）（50－5）∶50＝45∶50＝（45÷5）∶（50÷5）＝9∶109÷10＝即成活的樹的棵數與種樹總棵數的比是9∶10，比值是。【點睛】本題考查成活率、比的化簡和求比值，牢記成活率的公式，以及比的基本性質是解答此題的關鍵。13．3∶7；4∶5；5∶8；1∶10【分析】比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。利用“比的基本性質”把比化簡成最簡潔的整數比?！驹斀狻浚?）9∶21＝（9÷3）∶（21÷3）＝3∶7（2）3.2∶4＝（3.2×10）∶（4×10）＝32∶40＝（32÷8）∶（40÷8）＝4∶5（3）0.35∶0.56＝（0.35×100）∶（0.56×100）＝35∶56＝（35÷7）∶（56÷7）＝5∶8（4）∶＝（×15）∶（×15）＝4∶40＝（4÷4）∶（40÷4）＝1∶1014．3∶2；4∶1；20∶3；1∶2【分析】依據比的基本性質，比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數（0除外），比值不變，據此化簡比即可。【詳解】36∶24＝（36÷12）∶（24÷12）＝3∶2＝（1.5×8）∶（）＝12∶3＝（12÷3）∶（3÷3）＝4∶10.8∶0.12＝（0.8×100）∶（0.12×100）＝80∶12＝（80÷4）∶（12÷4）＝20∶345分∶1.5時＝45分∶90分＝（45÷45）∶（90÷45）＝1∶215．（1）（2）見詳解【分析】（1）依據長方形的周長＝（長＋寬）×2，由周長計算出（長＋寬）之和，再依據長和寬的比是5∶4，用（長＋寬）乘（）計算出長，用（長＋寬）乘（）計算出寬；（2）用30乘（）計算出紅色的面積，用30乘（）計算出黑色的面積，再依據長方形的面積＝長×寬，確定紅色長方形和黑色長方形對應的長和寬?！驹斀狻浚?）長＋寬之和：36÷2＝18（cm）長：（cm）寬：（cm）具體作圖如下：（2）紅色面積：（cm2）黑色面積：（cm2）因此面積是的長方形的長可以是6cm，寬可以是5cm，寬保持不變，把長方形的長分為4cm和2cm兩個部分，其中將面積為10cm2的長方形涂成紅色，將面積為20cm2的長方形涂成黑色，具體作圖如下（畫圖不唯一，滿足條件即可）：【點睛】解答本題的關鍵是熟記長方形周長和面積的計算公式，依據周長和面積計算出圖形相應的長和寬，再作圖即可解答。16．60個【分析】先把該商場運進的“冰墩墩”總數看作單位“1”，依據分數乘法的意義，用總個數乘就是其次天、第三天賣的個數，再把其次天、第三天賣的個數看作單位“1”，其中其次天賣的個數占，第三天賣的個數占，依據分數乘法的意義，用其次天、第三天賣的個數乘兩天賣的個數所占的分率之和就是其次天比第三天多賣的個數?！驹斀狻浚▊€）答：商場其次天比第三天多賣了60個“冰墩墩”吉利物玩偶?！军c睛】依據分數乘法的意義，求出其次天、第三天賣的個數后，再把比轉化成分數，進而求出兩天賣的個數所占的分率之和，再依據分數乘法的意義解答。17．（1）12公頃（2）11∶1∶8【分析】（1）扇形統(tǒng)計圖可以清楚的看出部分占總體的百分比，所以這里把“黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植總面積”看成單位“1”，單位“1”＝對應量÷對應分率，據此可算出黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植總面積，再乘種植西紅柿占總面積的分率5%，即可得到種植西紅柿的面積；（2）直接求黃瓜、西紅柿、辣椒三種蔬菜種植面積占總面積的百分率的比，然后依據比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數，比值的大小不變，將結果化簡成最簡整數比即可?！驹斀狻浚?）132÷55%×5%＝240×0.05＝12（公頃）答：種了12公頃西紅柿。（2）55%∶5%∶40%＝（55%×100）∶（5%×100）∶（40%×1