高三數(shù)學(xué)理科寒假班講義

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：高三課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第01講-一等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①了解數(shù)列的基本概念；

教學(xué)目標(biāo)②理解掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式；

③靈活運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)臼?1果早

體系搭建

一、知識(shí)框架

二、知識(shí)概念

(-)等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本概念與性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

a,,

定義一=d("常數(shù))(”22)；

a

通項(xiàng)公式an-a}+（〃-1）=am+（〃一m）d?=卬產(chǎn)

i)4=尸

a-aa,n'

1)d=」__

n-m

2)若m+n=s+t(m,n,s,tcN"),則

2)當(dāng)“+〃=〃+q時(shí)，則有+an=ap+aq,

an?am=as-at.特別的，當(dāng)n+m=2k時(shí)，

特別地，當(dāng)加+次=2〃時(shí)，則有《“+〃〃=2?！?；

性質(zhì)得

3)S9S~^,S~S.....k@N+,成等差

k2kk3k2k93)若｛4｝為等比數(shù)列,則數(shù)列S.，

數(shù)列；

S—K，SM-S*…，成等比數(shù)列;

4)前奇數(shù)項(xiàng)的和與最中間項(xiàng)的關(guān)系：

S2n-t=(2?-l)a??4)如果｛0,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

歹U,則數(shù)列｛log,/｝是等差數(shù)列；

①當(dāng)夕=1時(shí)，Sn=nal

②當(dāng)qw1時(shí)，

求和公式

"2'2=。（1一9〃）二%-四⑼

°〃-1—1

1-q1-q

典例分析]

考點(diǎn)一：等差數(shù)列及其性質(zhì)

例1、若無窮等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai>o,公差d<0,｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則()

A.Sn單調(diào)遞減B.Sn單調(diào)遞增C.Sn有最大值D.Sn有最小值

1

例2、在等差數(shù)列｛an｝中，若a4+a6+a8+ai°+ai2=120,則ag—孑11的值為(

A.14B.15C.16D.17

例3、設(shè)S“、分別是等差數(shù)列｛6｝、｛b,J的前〃項(xiàng)和，2=2立2,則經(jīng)=______

T?〃+3b5

例4、已知等差數(shù)列｛67｝的前n項(xiàng)和為5n，且510=10,520=30,則S3o=.

19

例5、已知數(shù)列滿足4=1，。用=1一一其中〃eN+設(shè)

4a,2an-\

(1)求證：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

考點(diǎn)二：等比數(shù)列及其性質(zhì)

例1、已知等比數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)依次為a+\,a+4,則a“=()

例2、在等比數(shù)列｛4｝中，陽(yáng)和牝是二次方程f+依+5=0的兩個(gè)根，則4a44的值為()

A.25B.5y/5C.-5A/5D.±5yf^

例3、設(shè)等比數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若S6:S3=l：2,則S9:S3等于()

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

例4、對(duì)任意等比數(shù)列｛4｝,下列說法一定正確的是()

A.數(shù)列｛%+1｝不可能是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛總“｝(攵為常數(shù))一定是等比數(shù)列

C.若?！?gt;0,貝ij｛lna“｝一定是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛&『｝是等比數(shù)列，其公比與數(shù)列｛%｝的公比相等

考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列綜合

例1、等差數(shù)列同｝共有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為90,偶數(shù)項(xiàng)和為72,且七“-6=-33,則該數(shù)列的公差

為()

A.3B-3C.-2D.—1

例2、已知等比數(shù)列｛6,｝滿足=且火?4〃-5=22"(〃23),則當(dāng)“21時(shí)，

log2+log2?3+?■?+log2a2n^=()

A.〃(2〃一1)B.(n+1)2C.n2D.(〃-if

例3、已知數(shù)列｛如｝為等比數(shù)列，S.是它的前〃項(xiàng)和.若。2Z3=20,且出與2a7的等差中項(xiàng)為1，則$5=()

A.35B.33C.31D.29

例4、已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，數(shù)列也“｝是等差數(shù)列，若3白，4+4+%=7%,廁

tan上至?的值是()

l—a4as

5/2y/2[T

A.1B.---C.----D.—\/3

22

例5、等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知電=差，且S|,例S4成等比數(shù)列，求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

P(Practice-0riented)一—實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、等差數(shù)列｛4,｝的前n項(xiàng)和為S“，且S3=6,%=4,則公差d等于()

5

A.1B.-C.-2D.3

3

2、設(shè)S,,是等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，已知q=3,4=11，則S’等于()

A.13B.35C.49D.63

3、設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,。若4=—11,%+&=—6,則當(dāng)S“取最小值時(shí)，n等于()

A.6B.7C.8D.9

4、設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若Sg=72,則。2+/+為=

5、已知等比數(shù)列｛3｝中，%>0,0,。99為萬程爐一10x+16=0的兩根，則。2O45OM8。的值為()

A.32B.64C.256D.±64

6、己知｛明｝是等比數(shù)列,

A.16(1-4-")B.6(1-2-”)C.—(l-4-n)D.—(l-2-n)

33

7、已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列滿足2G一山+2“u=0,數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列，且6=0,則以友等于

()

A.2B.4C.8D.16

3r

8、已知函數(shù)數(shù)列｛居｝的通項(xiàng)公式由X,?=/U,LI)(佗2,且〃WN*)確定。

(1)求證：｛J｝是等差數(shù)列；

(2)當(dāng)即=：時(shí)，求xioo的值.

9、已知數(shù)列｛詼｝滿足為+1—2詼=0,且〃3+2是〃2,〃4的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式an\

(2)若兒=13+21og1S/!=bi+歷+…+士,求S〃的最大值.

2

＞課后反擊

1、等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S“，已知%T+%+I-吊=0，S2,“T=38,則m=()

A.38B.20C.10D.9

“，若M=3，則邑=()

2、設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S

S3S

6

78

A.2B.一C.一D.3

33

3、設(shè)等差數(shù)列｛a。｝的前n項(xiàng)和為Sn，若a6=S3=12,則｛a。｝的通項(xiàng)an=.

,若%=5%則3=_

4、設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S.—

5、等比數(shù)列｛%｝的公比夕＞0,已知。2=1，。"+2+。"+1=6?！埃瑒t｛?！保那?項(xiàng)和$4=

6、等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知SiEM成等差數(shù)列.

(1)求｛?！埃墓确?/p>

(2)若卬一/=3，求S”.

戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)

注意：解決等差數(shù)列問題時(shí)，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于4和d的方程：

②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量.

直擊高考k

1、【2016.?高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列｛%｝前9項(xiàng)的和為27,4o=8,則4oo=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

2、【2016.?年高考北京理數(shù)】已知｛4“｝為等差數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，若4=6,%+%=0,則

S6=?.

3、【2016.?高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列｛4“｝滿足。1+。3=10,。2+。4=5,則…?！钡淖畲笾禐?/p>

4、【2016?高考江蘇卷】已知｛為｝是等差數(shù)列,｛SJ是其前〃項(xiàng)和.若G+a；=-35=10,則為的值是_

5、【2015?全國(guó)I文】已知｛an｝是公差為1的等差數(shù)列；Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則aio=()

A.1ZB.旦C.10D.12

22

6、【2015?全國(guó)I理］已知等比數(shù)列｛a/滿足ai=3,ai+a3+a5=21,則a3+as+a7=()

A.21B.42C.63D.84

7、【2014?全國(guó)II文】等差數(shù)列⑶｝的公差為2,若a2,鋁,as成等比數(shù)列，則｛a。｝的前n項(xiàng)和Sn=()

Dn(n~~1)

A.n(n+1)B.n(n-1)C.176"。

22

S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)

名師點(diǎn)撥

（一）求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值

法一：因等差數(shù)列前〃項(xiàng)和是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，

但要注意數(shù)列的特殊性〃eN\

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和

即當(dāng)％>0,d<Q,由4”可得5”達(dá)到最大值時(shí)的〃值.

（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。

d<0

即當(dāng)/<0,d>0,由4"一可得S“達(dá)到最小值時(shí)的〃值.

［凡+120

或求｛4｝中正負(fù)分界項(xiàng)

法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故〃取離二次

函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，S“取最大值（或最小值）。若S,=S“則其對(duì)稱軸為〃=莊幺

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

>本節(jié)課我學(xué)到了

>我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：高三課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第02講一-數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與數(shù)列求和

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

④熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式；

教學(xué)目標(biāo)⑤掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的基本求法：常規(guī)法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法和取倒數(shù)法；

?掌握數(shù)列求和的基本方法，重點(diǎn)掌握裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)同1果早

體系搭建1A

一、知識(shí)概念

(一)數(shù)列通項(xiàng)公式求法

(1)常規(guī)公式法：已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和5“與%的關(guān)系，可用公式。“=/1求解；

V?-5n_,-n>2

注意：?jiǎn)为?dú)討論n=l的情況，只要n-l作為下標(biāo)存在，n必須大于等于2。

(2)累加法：適用于已知。的=4+/(〃)(/(〃)可求和)的情況；

a2~a}=/(1)

則…=?/?⑵

%+i一%=/(?)

兩邊分別相加得an+i-ax=￡/(〃)

k=\

(3)累乘法：適用于已知=《,/(〃)(/(〃)要可求積)的情況；

即%￡=/(〃)，則幺=/(2),……,％].=/(〃)；兩邊分別相乘得，4±L=a「j|/(%)

a??ia2a?q巖

(4)待定系數(shù)法：

①=pan+q,通過配湊可轉(zhuǎn)化為：an+i+4/(〃)=4a+4/(〃)]，那么數(shù)列｛a?+2,/(n)｝

即為以4為公比的等比數(shù)列。

②4+i=pa“+q”,通過配湊可轉(zhuǎn)化為：。,用+e的=44+e")，那么數(shù)列｛%+四"｝即為

%為公比的等比數(shù)列。

(5)取倒數(shù)法：關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有4a用項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩

邊同除以4a向后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出見

(二)數(shù)列求和的方法

(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。

[nax(q=1)

〃⑷+.,)+〃(〃1)4s=(1_【必須注意分母不為零】

"22———--(qwl)

i-q

(2)錯(cuò)位相減法求和：如：｛%｝等差,也,｝等比，求〃e+生%+…+的和.(等式兩邊同乘等比

數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減)【引導(dǎo)學(xué)生回顧等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，總結(jié)方法】

(3)分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。

(4)裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。

常見拆項(xiàng)：——---------------------(-----------)/1-j==—(y/n+1—\fn)

n[n+1)n〃+l(2n-l)(2n+l)22n-\2n+1+k')

典例分析

考點(diǎn)一：數(shù)列通項(xiàng)公式求法

例1、已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列｛%｝的前k項(xiàng)和為S*,且S*=；%%+1(kGN*)其中《=1,求數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)公式。

例2、已知數(shù)列｛。"｝滿足q=',an+l=an+——,求an

2〃+〃

例3、設(shè)同｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且+-回+%+/“=0例=1，2,3,則它的通項(xiàng)

公式是冊(cè)=?

例4、已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足4=1,?！?]=2?！?1(ne7V*),求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式。

例5、已知數(shù)列｛4｝滿足a“+i=2a“+4-3"T,q=l,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

例6、已知數(shù)列｛%｝滿足％+1=—^嗎=1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

4+2

考點(diǎn)二：數(shù)列求和

例1、求和：S?=Inx+Inx3+Inx5+???+Inx2"~'.

2

例2、數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知4=g，S“=nan-〃(〃-1),〃=1,2,鬃

(I)寫出S“與S,,,(n>2)的遞推關(guān)系式，并求S.關(guān)于”的表達(dá)式;

n+1

(II)設(shè)勿=——S,X'(X￡H),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和北。

n

例3、求和(x+4)+(/+』+…+(x”+!)(xwO).

例4、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,,%+4=24,S”=143,數(shù)列也｝的

前n項(xiàng)和為7；,滿足2"=,一"(〃eN).

(I)求數(shù)列｛"“｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列|」一|的前〃項(xiàng)和；

(n)判斷數(shù)列也,｝是否為等比.數(shù)列？并說明理由.

P(Practice-Oriented)一—實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”若斯=（〃++則S8等于（）

A—D—「J—p—

A,5a,30J30U,6

2、數(shù)列｛4｝中，q=6,a“—2%_1=—如+〃+1（〃22）,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式/=.

3、在數(shù)列｛2｝中，/=1,%>0,且滿足（〃+1）。的2一〃q2+44用=。，求｛〃“｝的通項(xiàng)公式。

4、已知等比數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為ai=1,公比q滿足q>0且夕#1.又已知S,5a3.9的成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)；

（2）令4,=iog3；,求Gr+Sr-1—匕W—的值.

4”歷歷3bnbn+\

5^數(shù)列｛斯｝中。|=3,已知點(diǎn)（。〃，〃〃+1）在直線y=x+2上,

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若兒=即3",求數(shù)列｛為｝的前,項(xiàng)和4.

6、已知數(shù)列｛4｝滿足為+|=3q,+2x3"+l,4=3,求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式。

＞課后反擊

1＞數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sa=2"-1,則％2+而+...+另=()

A.(2n-I)2B.；(2"-1)C.4n-lD.1(4"-1)

2、已知數(shù)列｛《,｝滿足/=!,。的=?！?=一，求其通項(xiàng)公式。

24n-1

3、求和：S〃=1?〃+2?(〃-1)+3?(〃-2)H------kn-1;

4|9

4、已知數(shù)歹U｛a,J的前n項(xiàng)和5“=］?！耙唬輥V2.+§(n=l、2、3……),求｛%｝的通項(xiàng)公式。

5、己知函數(shù)＜x)=〃的圖象過點(diǎn)(1,1),且點(diǎn)("一1,*)(〃GN*)在函數(shù)兀v)=av的圖象上.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)令兒=%+］一5“，若數(shù)列｛兒｝的前"項(xiàng)和為S”求證:S?＜5.

6、數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足卬=1,2S“=(〃+l)a“,

(I)求明與4T的關(guān)系式，并求｛七｝的通項(xiàng)公式；

（II）求和+——+…+一一

a1

一143Tn+\~

戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)

1、錯(cuò)位相減法求和注意事項(xiàng)

1)如果由等差和等比數(shù)列組成，可采用此種方法;

2)善于識(shí)別題目類型，特別是等比為負(fù)數(shù)的情形;

3)必須考慮等比的公比為1的情況。

直擊高考

1、【2015?全國(guó)I理】Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,己知an>0,an2+2an=4S,,+3

(I)求｛aj的通項(xiàng)公式：

(II)設(shè)bn=——-——,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.

anan+l

2、【2014?全國(guó)H理］已知數(shù)列｛a。｝滿足ai=l,an+i=3an+l.

(I)證明｛an+2｝是等比數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式;

2

(ID證明：-l-+A+...+A<3.

ala2an2

3、【2013?全國(guó)I文］已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5.

(I)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)歹U{-----1-----}的前n項(xiàng)和.

a2n-1^n+l

S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)

名師點(diǎn)撥

1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面

也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積相等.

2.常見的拆項(xiàng)公式有:

(2VH=

1_1______1_

(3X32”一廠2〃+1)，

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：高三課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第03講-一三角函數(shù)

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；

②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義；

③能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明；

教學(xué)目標(biāo)④會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)丁=45皿（5+。）的簡(jiǎn)圖，理解

A、孫0的物理意義；

⑤掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)并能靈活應(yīng)用；

⑥熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀，理解圖象平移

變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)---------同步課堂

體系搭建

（-）知識(shí)框架

（二）終邊相同的角

終邊相同的角：凡是與a終邊相同的角，都可以表示成左?360。+a的形式.

(1)終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；

(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；

(3)終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差360。的整數(shù)倍.

在己知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.

弧度和角度的換算：

⑴角度制與弧度制的互化：乃弧度=180°,1°=2弧度，1弧度=(恐)。B5718'

18071

(2)弧長(zhǎng)公式：/(a是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：S=!/r=!|a|/.

22

(三)任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、

誘導(dǎo)公式

三角函數(shù)定義：角a終邊上任意一點(diǎn)尸為(x,y),設(shè)|。p|=廠貝!］：sina=—,cosa=—,tana=—

rrx

三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；

++—+—+

sinacosatana

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2a+cos2a=1;組里=tana

cos。

(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系

式都成立；

(2)sin2a是(sina下的簡(jiǎn)寫；

(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“土”的選取.

誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限)：

sin(乃一a)=sina,cos(1一a)二一cosa,tan(7一a)二一tana

sin(4+a)=一sin。,cos(乃+a)=一cos。,tan(乃+a)=tana

sin(—a)=一sina,cos(—a)=cosa,tan(—a)=一tana

sin(27r—a)=一sina,cos(27r—a)=cosa,tan(2^—6Z)=-tana

sin(2攵1+a)=sinQ,cos(2k7U4-a)=cosa,tan(2kjv+)=taniZ,(keZ)

sin(——＜z)=cosa,cos(――)=sinasin(—+)=cosa,cos(—+)=-sin6z

2222

（四）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)^二§111居y=cosx的圖象與性質(zhì):

y=sinxy=cosx

定義域(_oo,+?o)(-OO,+oo)

值域[-1.1][-1,1]

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

增區(qū)間減區(qū)間

增區(qū)間減區(qū)間

[2U--,2U+-],[2^7TdH----1,

單調(diào)性2222[2攵萬一2攵乃][2攵4,2左乃+萬]

keZkeZkEZkeZ

周期性最小正周期T=2萬最小正周期T=2萬

7F

當(dāng)X=2匕WZ)時(shí)，＞min=T當(dāng)x=2k兀+7i(k￡Z)時(shí)，ym-n--1

最值

jr

當(dāng)x=2k萬+,(ZeZ)時(shí)，乂曲=1當(dāng)％=歌兀*￡Z)時(shí)，＞皿=1

對(duì)稱軸

對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心

TT

對(duì)稱性x=k7i-\-—(keZ)71

（k兀,0）（kGZ）x—k兀(keZ)（左?+,,0）伏wZ）

注：y=cosx的圖象是由y=sinx的圖象左移上TT得到的.

2

三角函數(shù)9=tanx的圖象與性質(zhì)：

y=tanx

定義域+工,ZwZ

2

值域R

奇偶性奇函數(shù)

TT7T

單調(diào)性增區(qū)間(k兀---，々萬+—),keZ

22

周期性T=7T

最值無最大值和最小值

k冗

對(duì)稱性對(duì)稱中心(”,0)(ZeZ)

2

（五）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖：用“五點(diǎn)法”作y=AsinOyx+e）的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=0x+°,

43

由Z取0,—,乃,2肛2萬來求出相應(yīng)的X,通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.

22

三角函數(shù)的值域問題：三角函數(shù)的值域問題，實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題，常用方

法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx（cosx）的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)在限定區(qū)間上的值域.

三角函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y=Asin（s+Q）（A>0,口〉0）的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把@r+0看作

TTTT

一個(gè)整體，比如：由2以■一545+0<2M■+］（AeZ）解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由

yr37r

2火%+^W公+°426■+已一（AeZ）解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；

22

確定y=4sinx（ox+°）的解析式的步驟：

①首先確定振幅和周期，從而得到A。；

②確定夕值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中第一個(gè)零點(diǎn)（-",（））作為突破口，要注意從圖象的升降情況

co

找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，同時(shí)要利用好最值點(diǎn).

（六）正弦型函數(shù)；=/tsin（0K+0）的圖象變換方法

先平移后伸縮

向左（0>0）或向右（9<0）、

y=sinx的圖象平移|同個(gè)單位長(zhǎng)度）

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短（。>1）

y=sin（x+°）的圖象到原來的工（縱坐標(biāo)不變）

CO

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A>1）或縮短（0〈A〈D、

y=sin（但+Q）的圖象為原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）>

向上（改>0）或向下（改<0）

y=Asin（tyx+°）的圖象平移同個(gè)單位長(zhǎng)度,y=Asin（x+0）+Z的圖象.

先伸縮后平移

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（4>1）或縮短（0<4<1）、

y=sinx的圖象為原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短（。>1））

y=Asinx的圖象到原來的,（縱坐標(biāo)不變）

0）

向左（，>0）或向右“<0）,

y=Asin（ox）的圖象平移”個(gè)單位

CO

向上（k〉0）或向下（4<0）、

y=Asm（cox+°）的圖象平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度y-Asin(④r+0)+火的圖象.

典例分析

考點(diǎn)一：三角函數(shù)的概念

5

例1、已知角a的終邊上一點(diǎn)P（-G,機(jī)），且sina=———,求cosajana的值.

4

4.

例2、已知角a的終邊過點(diǎn)P（—8m,—6sin30°),且cosa,則m的值為（)

5

A.-1B.1V3

D.

2222

兀

k/TTC._.?r(1kTC..lrI?.

例3、集合==——F—,k€Z}fN={x|x-----1—,kE.Z}，則()

42

A、M=NB、MnNC、MuND、A/nN=a)

考點(diǎn)二：扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算

例1、己知一半徑為r的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多

少度？扇形的面積是多少？

考點(diǎn)三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

例1、已知sinA+cosA=（,As（0,乃）,,求tanA的值.

例3、已知A是A48C的一個(gè)內(nèi)角，JltanA=-9,求sinAcosA

4

考點(diǎn)四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

例1、已知sin（3，+0）=1,求一叫+0）、。22乃）__的值.

3cos”cosS-e）-1]sin（6-gbos（e-0-sine+可

例2、已知函數(shù)f（x）=asin（冗x+。）+bcos（冗x+B）,且f（2009）=3,則f（2010）的值是（）

A.-1B.-2C.-3D.1

例3、化簡(jiǎn)⑴sinH7*T（〃wZ）

2

（2）sin（cz+n/r）+sin（a-〃乃）

sin（a4-〃乃）cos（a-〃乃）

考點(diǎn)五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1、函數(shù)y=lncosx（-的圖象是（）

例2、把函數(shù)尸cos2x+l的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位

長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖像是（

yk

jr

例3、已知函數(shù)/(x)=sin(s+e),其中①>0,|°|<5

jr37r

(I)若coswcos9-sin/-sin°=0,求°的值；

TT

（II）在（I）的條件下，若函數(shù)/（X）的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于求函數(shù)/（X）的解析

式；并求最小正實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)/（X）的圖像象左平移M個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).

TT

例4、已知函數(shù)/(x)=Asin(〃>+0),xwR(其中A>0,G>0,0<9<])的周期為不，且圖象上一個(gè)

°

最低點(diǎn)為M(―^-,—2).

TT

(1)求/(幻的解析式；(II)當(dāng)％6[0,今],求/(X)的最值.

實(shí)戰(zhàn)演練

課堂狙擊

1、的值等于()

B

A.-,4C2D

22--T

函數(shù)y=工+!cosxItanx

2、cosx+|tanx的值域是()

Isinx?

A.{1}B.{1,3}C.{-1}D.{-1,3}

3

3、如果sina+cosa=那么sin3a4-cos3a的值為()

4

A.穩(wěn)后C.亙庖或_至后