高中數(shù)學(xué)必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

集合：

1、集合的定義：一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。集合中的每個(gè)對(duì)象叫做

這個(gè)集合中的元素

2、集合元素的特征：①確定性②互異性③無序性

3、集合的分類：①有限集②無限集③空集，記作0

4、集合的表示法：①列舉法②描述法③文氏圖法④特殊集合⑤區(qū)間法

常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集)記為N正整數(shù)集記為N*或N+

②整數(shù)集記為Z③實(shí)數(shù)集記為R④有理數(shù)集記為Q

5、元素與集合的關(guān)系：①屬于關(guān)系，用表示；②不屬于關(guān)系，用“住”表示

6、集合間的關(guān)系：①包含：用“q”表示②真包含：用”表示③相等④不相等

7、集合的交、并、補(bǔ)

交集的定義：由所有屬于集合4且屬于集合的元素組成的集合，叫做A與B的交集，記作AD5，

即4口3={小"且￥65}

并集的定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，記作AUB,

即AU8={4T￡A或￥叫

8、全集與補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于集合U

的補(bǔ)集，記作C”，即。$={不￡”由e4}

9、交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算：

(1)交換律：AQB=BQAAUB=B\JA

⑵結(jié)合律：(4nB)nC=An(B「C)(AUB)UC=AU(BUC)

(3)分配律:.An(Buc)=(An8)u(Anc)AU(Bnc)=(AUB)n(Auo

⑷0T律：①nA=6,6UA=AUnA=AUUA=U

(5)等哥律：AQA=AAUA=A

⑹求補(bǔ)律：A^\CVA=(|>A\JCVA=UCVU=Cg=UCv(CaA)=A

⑺反演律：CU(AQB)=(QA)U(CtfB)Q(AU8)=(QA)A(QB)

10、文氏圖的應(yīng)用：交集、并集、補(bǔ)集的文氏圖表示

11、重要的等價(jià)關(guān)系：==

12、一個(gè)由〃個(gè)元素組成的集合有2"個(gè)不同的子集，其中有2”-1個(gè)非空子集，也有2”-1個(gè)真子集

函數(shù)：

1、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素在集合3中

都有唯一的元素匕和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A、8以及A到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做

從集合A到集合的映射，記作f8,其中人叫做〃的象，〃叫做匕的原象

如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一個(gè)元素

都有原象，那么這個(gè)映射叫做A到8上的一一映射

2、函數(shù)：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，那么從A到8的映射fB就叫做函數(shù)，記作)，=/(%),其

中x叫做自變量，y是*的函數(shù)值.自變量的取值集合4叫做函數(shù)的定義域，函

數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域，值域CqB,函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；兩個(gè)函數(shù)相同：

定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同

3、醫(yī)數(shù)的表示方法：(1)列表法(2)圖象法(3)解析法

4、分段函數(shù):在自變量的不同取值范圍內(nèi)，其解析式不同，分段函數(shù)不是兒個(gè)函數(shù),是一個(gè)函數(shù)

5、(1)函數(shù)的定義域的常用求法：

①分式的分母不等于零②偶次方根的被開方數(shù)大于等于零③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零

④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1

⑤三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中工。%4+](左wZ),余切函數(shù)丁二以)1%中，xk7r(kGZ)

⑥如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍

(2)值域的求法：①直接法②分離常數(shù)法③圖象法④換元法⑤判別式法⑥不等式與對(duì)勾函數(shù)

6、求函數(shù)解析式的方法：

①直代②湊配法③換元法④待定系數(shù)法⑤列方程組法⑥特殊值法

7、增減函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值七

①若當(dāng)玉v12時(shí)，都有f(西)</(電)，則說/(幻在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)

②若玉v/當(dāng)時(shí)，都有了(西)>/。2)，則說/(幻在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)

8、(1)單調(diào)性的證明：討論函數(shù)的增減性應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間，用定義證明函數(shù)的增減性，有“一設(shè)，二

差，三判斷”三個(gè)步驟

(2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

①若/(%),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(%)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

②若/3)為增(減)函數(shù)，則-/3)為減(增)函數(shù)

③若/(%)與g。)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，

則y=/[g*)]是減函數(shù),即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是“同增異減”

④奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反

9、(1)奇、偶函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)/(X)

①如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)工,都有/(-x)=/(%),那么函數(shù)了(%)就叫做偶函數(shù)

②如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)工,都有/(-外=-/。)，那么函數(shù)/(幻就叫做奇函數(shù)

注意：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

②f(-x)=-/(x)^(-x)=f(x)是定義域上的恒等式

③若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0

④奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形

(2)函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

①如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)

②兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶困數(shù)

③一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)

④兩個(gè)函數(shù)y=和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函

數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)

基本初等函數(shù)

1、(1)一般地，如果x”=〃，那么X叫做〃的〃次方根。其中〃>L〃eN,

①負(fù)數(shù)沒有偶次方根②0的任何次方根都是0,記作花=0

③當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，叱”,當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，VF=|a|=r

-a(a<0)

④我們規(guī)定：(1)〃'"=(a>0,帆,〃￡>1)(2)a~f,=—(/:>0)

(2)對(duì)數(shù)的定義：設(shè)。>0且對(duì)于數(shù)N>0,若能找到實(shí)數(shù)6,使得/=N,那么數(shù)b稱為以。為

底的N的對(duì)數(shù),記作b=log,N,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)

注：(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)(因?yàn)镹=a">0)(2)log。1=0,log.〃=1(a>0且awl)

(3)將Z?=log.N代回ab=N得到一個(gè)常用公式"0g"N=N(4)ax=Nolog,N=x

(3〕基函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=￡函數(shù)稱為幕函數(shù).其中“是自變量，a是常數(shù)

2、(1)?aras=ar+s(a>0,r,seQ)②(優(yōu)丫=(a>0,r,seQ)

③(。/?丫=arbr(a>0,b>0,rGQ)

(2)當(dāng)a>0,arl,M>0,N>0時(shí)：

,0H

①k)g“(MN)=lognM+logflN②bg/2]=§?A/-logaN@logaM=n\ogaM

\N)

④換底公式：log,*=髻2(0>OMH],c>O,cHl,b>O)，利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:

log"

(1)bg"=?g*⑵

3、(1)指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y="'(〃>1)叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般把函數(shù))，二1。8“吊。>0且〃工1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),它的自變量為不，其定義域

a<ba>ba<ba>b

表2累函數(shù)y=x"(a￡R)

a二a<0Ocavla>1a=l

q

1/

〃為奇數(shù)/aj)

---1，t奇函數(shù)

q為奇數(shù)

lIL”

］、.、、

〃為奇數(shù)

q為偶數(shù)J1

P為偶數(shù)

偶函數(shù)

q為奇數(shù)J-1-1------；--1--H\J

第一象限性

減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)

質(zhì)

零點(diǎn)、二分法：

I、(1)函數(shù)的零點(diǎn)：

①對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使/(%)=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù))，=/(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0有實(shí)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

②如果函數(shù))，=/(幻=0在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且那

么函數(shù))，=/(外在區(qū)間卜,口內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,〃)，使得f(c)=O,這個(gè)c也就是方程

f(x)=O的根

(2)函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①(代數(shù)法)求方程/(幻=0的實(shí)數(shù)根

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)

的性質(zhì)找出零點(diǎn)

2、二分法:

定義：對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，

使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

底面

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCOE-AB'C'DE或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

九何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平

行于底面的截面是與底面全等的多邊形

(2)棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P—AB'CDZ，

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距

離與高的比的平方

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四楂臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-ABCDE'

人何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓②母線與軸平行③軸與底面圓的半徑垂直

④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓②母線交于圓錐的頂點(diǎn)③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行干圓錐底面的平而夫截圓錐.截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從兒何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度

3、空間兒何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和

(2)特殊幾何體表面積公式(C為底面周長(zhǎng)，〃為高，川為斜高，/為母線)：

S直楂柱側(cè)面積=chS圓柱惻=2mhS正枝律側(cè)面枳=-泌，S圓錐惻面積=Tirl

SIE檢臺(tái)惻面積=受(。+。2川S1g臺(tái)側(cè)面積=(r+R);d

S圓柱表=2k(/*+/)S如錐表=加(r+，)S圓臺(tái)表=川廣+〃+&+R-)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：

%=571%柱=a=4廠%%=；S/?%錦=:鬲？

K=-(5+7?5+5)/?%臺(tái)=^(S+\/Vs+S)h=-;r(r2+rR+R2)h

5、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A、描述性說明8、平面是無限伸展的

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、,表示，如平面a(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi))；也可以用兩

個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面8C

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)4在平面。內(nèi)，記作Awa；點(diǎn)A不在平面。內(nèi)，記作Aca

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)4的直線/上，記作：Aeh點(diǎn)A在直線/外，記作4任/

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面。內(nèi)，記作/=a；直線/不在平面。內(nèi)，記作/<za

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1：Ae/,8w/,Awa,8wa=/ua

(3)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和￡相交，交線是。，記作。0尸=。符號(hào)語言：尸￡AQBn4。8=/,尸€/

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)

(5)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、3是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,分別引直線儲(chǔ)〃々

b'Hb,則把直線，和力'所成的銳角（或直角）叫做異面直線。和b所成的角。兩條異面直線所

成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義②異面直線的判定定理

<2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn)。的位置無美

（3）求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在

特殊的位置上

B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（或直線在平面外（平行----沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaaC\a=Aalia

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點(diǎn)：all。相交——有一條公共直線：a[\p=b

6、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行

線線平行=>線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和?個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=>線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行O面面平行）

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行

（線線平行。面面平行）

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行（面面平行O線面平行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（面面平行=線線平行）

7、空間中的垂宜問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面宜線所成的角是直角，就說這兩條異面宜線互相垂直

②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

成的圖形）是直一面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另

一個(gè)平面

8、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為（T

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)。，分別作與兩條異面直線〃力平行的直線

形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直

角的角叫做兩條異面直線所成的角

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為（F②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這

個(gè)平面所成的角

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角，“一件，二證，三計(jì)算”

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖

掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線

（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面

角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二

面角的面

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)皿內(nèi)分別作

垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角力二面角

的平面角

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角兩相交平面如果所組成的

二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩

個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射

線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)

面的交線所成的角為二面角的平面角

直線與方程

1、直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平

行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°Wav180°

2、直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率

常用Z表示。即4=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度

當(dāng)aw[0°,90'）時(shí)，k>0當(dāng)ac（90°,180）時(shí)，kvO當(dāng)a=90°時(shí)，上不存在

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：A=之二"（％工/）

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)王=8時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°

（2）k與8的順序無關(guān)

（3）以后求斜鼠可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到

3、直線方程

①點(diǎn)斜式：y-y二女（工一刀）直線斜率左，且過點(diǎn)（片,、）

注意：當(dāng)直線的斜率為0"時(shí)，k=0,直線的方程是y=y

當(dāng)直線的斜率為90'時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示。但因/上每一點(diǎn)的橫

坐標(biāo)都等于修，所以它的方程是工=當(dāng)

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為左，直線在y軸上的截距為人

③兩點(diǎn)式：,'=""（%*為,必工必）直線兩點(diǎn)

必一乂七一王

④截矩式：-+^=1,其中直線/與x軸交于點(diǎn)（冬0）,與），軸交于點(diǎn)（0/），即/與x軸、y軸的截距

ab

分別為a,b

⑤一般式：Ax+8），+C=0（A,B不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：平行于x軸的直線：y=b（b為常數(shù)）；平行

于y軸的直線：x=a（〃為常數(shù)）

4、區(qū)直線平行與垂直

當(dāng)4：y=%x+A，.：.=3+3時(shí)，4〃4o匕=42，々Wb2；/]±/2<=>k]k2=-]

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否

5、兩條直線的交點(diǎn)：4：4%+4），+G=04：4工+32、+。2=。相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組[4'+用y+G=°的一組解

[&X+B2y+C2=0

方程組無解=//12方程組有無數(shù)解O4與4重合

6、法點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（x，y）,8（當(dāng),為）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則IA昨J（一一七）2+（以一%）2

7、點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)M%,%）到直線4：A￥+6>，+C=0的距離4二邑垣絲壯

ylA2+B2

8、兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解

圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（工一4）2+（），一。2=產(chǎn)，圓心（〃乃），半徑為7*

（2）一般方程/+瓜+與，+尸=0

當(dāng)十七2-46>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為（_0,_￡）,半徑為r=Jz）2+七2一4”

222

當(dāng)。2+七2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+七2-4/〈0時(shí)，方程不表示任何圖形

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求

出。、b、r；若利用一般方程，需要求出。、E、F,另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦

的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線/:Ax+&v+C=0,-C:（…>+（…）2=戶,圓心C（a.b）到/的距離為

\Aa+Bb+C\t則有d>ru>/與。相離；d=與C相切；dvro/與C相交

（2）設(shè)直線/:Ar+B），+C=0,圓C:（x—a》+（y—匕）2=產(chǎn)，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)

一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有AvOo/與。相離

△=0O/與Cffl切△>0o/與Cffi交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式書）+?（）=〃去解直線與圓相切的問題，其中（%,九）

表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑

（3）過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓/+y2=72,圓上一點(diǎn)為（公,%）,則過此點(diǎn)的切線方程為X%+）為=/

②圓（彳一。）2+（丁一32=尸，圓上一點(diǎn)為（%,凡），則過此點(diǎn)的切線方程為

2

（x-a）（x0-a）+（y-6）（%-b）=r

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定

2222

設(shè)圓G：+（y-4『=r>C2:（x-a2）+（y-b2）=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的吳小比較來確定

當(dāng)。>R+〃時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條

當(dāng)d=R+??時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

當(dāng)R—rvdvR+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線

當(dāng)4=/一，1時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線

當(dāng)—時(shí)，兩圓內(nèi)含

當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓

高一數(shù)學(xué)必修3

算法初步

1、秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)〃次多項(xiàng)式，只要作〃次乘

法和〃次加法即可。表達(dá)式如下：

nnl

anx+an_ix~+...+4=((((a,,x+an_i)x+an_2)x+...)x+a2)x+a}

2、理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的

含義

(1)描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指?jìng)未a)

<2)算法的特征；

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)

或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間

內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

(3)算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算：關(guān)系運(yùn)算等

②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

3、流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖

形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改

注意：(1)畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

(2)拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)

往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這

個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了

(3)在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)

束框

4、算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)______________.

直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)

(1)順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure)：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重

及執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的

(2)選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條

件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語

句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，

不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(〃〃，/)和當(dāng)型

(印方/e)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí))用

當(dāng)型循環(huán)

5、基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語言編寫的，是介于自然語言

和機(jī)器語言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書

寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用x=y,

也可以用x―y;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*"，也可以用“x”

(1)賦值語句(assignmentstatement)：用<—表示，如：x<—y,表示將y的值賦給X,其中X

是一個(gè)變量，y是一個(gè)與X同類型的變量或者表達(dá)式

一般格式：“變量一表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“x=y”，但此時(shí)的

“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)

注：1)賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式

“=”具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=。，都是錯(cuò)誤的，而a=3*5—1,a=27+3

都是正確的

2)一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2、a/,c=2都是錯(cuò)誤的，而

。=3是正確的

(2)輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,Z?

輸出語句(outstatement)；PrintX,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果％,y

注：1)支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開！

2)Read語句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式

3)Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”

4)Print語句可以輸出常量和表達(dá)式的值5)有多個(gè)語句在一行書寫時(shí)用隔開

例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print“X二”；x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

(3)條件語句(conditionalstatement)：

1)行If語句：IfAThenB注：沒有EndIf

2)塊If語句：注：①不要忘汜結(jié)束語句EndIf,當(dāng)有If語句嵌套使用時(shí)，有幾個(gè)If,

就必須要有幾個(gè)EndIf②ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，

另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里,

還是屬于下一個(gè)條件④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：

次也是已知次數(shù)的循環(huán)2)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)

3)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).

ForIFrom初值to終值Step步長(zhǎng)WhileA

While循環(huán)

EndForFor循環(huán)EndWhile

DoWhilepDo

I

I

???

Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)

說明：1)卬〃〃e循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決

有關(guān)問題時(shí)，可以寫成〉Mi/e循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗臈l件相對(duì)好判斷

2)凡是能用卬加歷循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫

3)While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化

4)D。循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化

5)注意臨界條件的判定

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第匚象限，則稱a為第幾象限角

第一象限角的集合為{a卜?360<a<H360+90/GZ}

第二象限角的集合為{a360+90vh360+180?wz}

第三象眼角的集合為{a卜?360+180<avh360+270,Jiez}

第四象限角的集合為{ak?360+270<a<k-360+360M￡z}

終邊在x軸上的角的集合為{a[a=￡18(T,AeZ}

終邊在y軸上的角的集合為\a\a=匕180+90。/￡z}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a|a=匕90,kGZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為物忸=h360+a?sz)

4、已知a是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再?gòu)膞軸的正半軸

a

的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為上終邊所落在的

n

區(qū)域

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度

6、半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,則角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|臼=；

7、弧度制與角度制的換算公式：2^=360F=—1=|—j?57.3°

180[7T)

8、若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為，弧長(zhǎng)為/,周長(zhǎng)為C,面積為S,則

I=r\a\,C=2r+/,S=^lr=—\a\r2

9、設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是

r^r=y]j(r+y2>oj,則sina=2,cosa=—,tana=-(x^O)

10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正

11、三角函數(shù)線：sincr=MP,cosa=OM,tana=AT

12^同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(l)sin2a+cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a)

sina(.sina

12)------=tanasma=tanacosct、cosa=-------

cosaVtana

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2攵%+a)=sina,cos(2^-Fa)=cosa,tan(2^+a)=tana(/:eZ)

（2）sin（^+a）=-sina,cos（4+a）=-cosa,tan（乃+a）=tana

（3）sin（-a）=-sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=-tana

（4）sin（〃-a）=sina,cos（^-a）=-cosa?tan（%一a）=-tana

（5）sinfy-a=cosa,cos（,一a）=sina⑹sin仁+a）=cosa,cos（/+a=-sina

口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限

14、函數(shù)），=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)丁=3"%+0）的圖象；再

招函數(shù)y=sin（x+0）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

>=sin（w+0）的圖象；再將函數(shù)y=sin（azr+*）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的A

倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（@x+0）的圖象函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮

短）到原來的?!■倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sintyx的圖象；再將函數(shù),=5皿8的圖象上所有

（O

點(diǎn)向左（右）平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)>=411（5+0）的圖象；再將函數(shù)^=5m（5+夕）的圖

象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)丁二人或。（5+9）的圖象

函數(shù)y=Asin（69X+^））（A>0,69>0）的性質(zhì)：

①振幅：A②周期：T=—③頻率：f——=—④相位：cox+（p⑤初相：（p

coT2萬

函數(shù)y=Asin（@:+e）+Z?,當(dāng)工=當(dāng)時(shí)，取得最小值為八五；當(dāng)工=工時(shí)，取得最大值為了3，則

11T

4=耳(乂皿一如汕)，b=](ymax+Xnin)，~=X2~<^2)

當(dāng)％=+時(shí)，當(dāng)x=2%〃(攵￡Z)時(shí)，

最值ya=l;當(dāng)x=2Z1一J乂_=1；當(dāng)X=2后T+乃既無最大值也無最小值

(伏Z)時(shí),%in=T?(ZEZ)時(shí),ymin=-1.

周期性2萬27rn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k7r--,