2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（湘教版2019選擇性必修第一冊(cè)第1章-第3章數(shù)列 直線與圓 圓錐曲線）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：湘教版選擇性必修第一冊(cè)第1章數(shù)列+第2章平面解析幾何初步+第3章圓錐曲線與方程。5．難度系數(shù)：0.69。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】直線可化為，設(shè)傾斜角為，則.故選：A2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得①，②，由①得，代入②得，解得，故，故.故選：C3．若表示圓的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D4．以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)為，雙曲線的半焦距，離心率，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．30 B．35 C．40 D．75【答案】B【解析】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，則也是等比數(shù)列，即，又，，所以，解得.故選：B.6．已知兩條直線和相互垂直，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】易知的斜率為，的斜率為，所以；解得.故選：C7．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】的方程可化為，它表示圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，設(shè)過(guò)圓上點(diǎn)與點(diǎn)的直線方程為，則圓心到直線的距離，可得，即最大值為，故選：B.8．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，，則橢圓的離心率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】由，得，則，則，則，即，解得，則，因?yàn)?，所以，即，整理得，則，解得或，故或．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由題意知為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q；對(duì)于A，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知直線：和圓：，則（

）A．存在k使得直線與直線：垂直B．直線恒過(guò)定點(diǎn)C．直線與圓相交D．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】由題意可知：圓：的圓心為，半徑，對(duì)A：因?yàn)橹本€：的斜率為，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此時(shí)直線與直線垂直，滿足題意，A正確；對(duì)B：由可得，，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓O相交，C正確；對(duì)D：直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時(shí)直線被圓O截得的弦長(zhǎng)最短為，D正確；故選：ACD.11．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，則（

）A．的最小值為2 B．以線段為直徑的圓與軸相切C． D．【答案】BC【解析】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，由x=my+1因?yàn)?，所以，所以x1所以AB=對(duì)于A，因?yàn)锳B=4(m2所以AB的最小值為4，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為M(x1+1到軸的距離為d=x1+12，而以線段為直徑的圓的半徑為所以圓心到軸的距離等于圓的半徑，所以以線段為直徑的圓與軸相切，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?FA所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)镺A=(m第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線與之間的距離是.【答案】【解析】易知直線與平行，這兩條直線間的距離為.故答案為：.13．已知圓：，圓：，如果這兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是.【答案】【解析】由題意知，，則，因?yàn)閳A與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)a取值范圍是.故答案為：.14．鎮(zhèn)江中學(xué)學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折5次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么．【答案】；【解析】第一空：由對(duì)折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)折三次的結(jié)果有：，，共4種不同規(guī)格；對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，共5種不同規(guī)格；對(duì)折5次可得到如下規(guī)格：，，，，，共6種不同規(guī)格；第二空：由于每次對(duì)折后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)折后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為,對(duì)于第次對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)為種，第次對(duì)折后的圖形面積之和為，則，，兩式作差得：，因此.故答案為：①；②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知，在中，(1)求邊的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【解析】（1）邊過(guò)兩點(diǎn)由兩點(diǎn)式，得，即，............................................................4分故邊的方程是．............................................................6分（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，............................................................9分又邊的中線過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以邊上的中線所在直線的方程為．............................................................13分16．（15分）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或．............................................................3分當(dāng)時(shí)，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，滿足單調(diào)遞增，故，所以．............................................................6分又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.................................................8分（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，............................................................11分?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為，............................................................14分所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即............................................................15分17．（15分）已知圓C與y軸相切，圓心在直線上，且被x軸截得的弦長(zhǎng)為．(1)求圓C的方程；(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求直線l的方程．【解析】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵圓心C在直線上，，①............................................................2分∵圓C與y軸相切，，②............................................................4分又∵圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為，，③............................................................6分聯(lián)立①②③解得，，，，圓C的方程為．............................................................7分（2）∵圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，圓心C到直線l的距離．............................................................9分當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為1，符合題意；............................................................11分當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，圓心C到直線l的距離，解得，直線l的方程為．綜上，所求直線l的方程為或．............................................................15分18．（17分）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，，滿足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)；(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)若直線與直線分別交于，求證：.【解析】（1）設(shè)，由題有，化簡(jiǎn)得到，所以曲線的軌跡方程為.............................................................3分（2）因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在，設(shè)，，，由，消得到，則，，............................................................6分，化簡(jiǎn)整理得到，得到或，當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與重合，不合題意，當(dāng)，，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn)...........................10分（3）由（2）知，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，............................................................12分又易知直線是雙曲線的漸近線，設(shè)，由，得的坐標(biāo)為，由，得的坐標(biāo)為，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，............................................................15分所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為，則，從而有.............................................................17分19．（17分）如果數(shù)列滿足：且，則稱數(shù)列為階“歸化數(shù)列”．若數(shù)列還滿足：數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若某6階“歸化數(shù)列”是等比數(shù)列，寫出該數(shù)列的各項(xiàng)；(2)若某13階“歸化數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，其前n項(xiàng)和為，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)成公比為的等比數(shù)列，顯然，則有，得，解得，由，得，解得，所以數(shù)列或?yàn)樗?階“歸化數(shù)列”；...........................3分（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，所以，所以，即，............................................................5分當(dāng)時(shí)，與歸化數(shù)列的條件相矛盾，............................................................6分當(dāng)時(shí)，則，所以，即，所以，............................................................8分當(dāng)時(shí)，由，所以，即，所以，故或；................................................