數(shù)學(xué)教材梳理：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、兩個(gè)分類變量之間關(guān)系的定性分析1.分類變量取不同的“值”表示個(gè)體所屬不同類別的分量稱為分類變量.這里的“變量"和值都應(yīng)作為“廣義”的變量和值進(jìn)行理解。例如：對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種.那么這里的變量指的是性別，同樣這里的“值”指的是“男”和“女”,因此，這里所說的“變量"和值不一定取的是具體的數(shù)值。要點(diǎn)提示注意此處空半格分類變量是大量存在的，例如：吸煙變量有吸煙與不吸煙兩種類別，而國(guó)籍變量則有多種類別。2.定性分析的方法（1）頻率分析通過對(duì)樣本的每個(gè)分類變量的不同類別的事件發(fā)生的頻率大小比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.通常通過列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量的占少數(shù)表來進(jìn)行分析.（2）圖形分析①三維柱形圖.它可以清晰的看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大??；②二維條形圖.如本節(jié)引例中，可畫疊在一起的二維條形圖.淺色條高表示不患肺癌的人數(shù)，深色條高表示患肺癌的人數(shù);③頻率分布條形圖：為了更清晰的表示引例的特征,我們可用等高條形圖表示兩種情況下患肺癌的比例.方法歸納注意此處空半格三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.作三維柱形圖時(shí)要注意選擇恰當(dāng)?shù)囊暯?，以使每個(gè)柱體都能被看到。二、獨(dú)立假設(shè)1。2×2列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965上表稱為2×2列聯(lián)表。意思是問題要考慮調(diào)查的人的兩種狀態(tài)：是否吸煙，是否患肺癌。每種狀態(tài)又分兩種情況：吸煙，不吸煙以及患肺癌、未患肺癌.表中排成兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果，希望根據(jù)這4個(gè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)上述兩種狀態(tài)是否有關(guān).這一檢驗(yàn)就稱為2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)。2。獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用隨機(jī)變量K2=(其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ為樣本容量）來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系"的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).要點(diǎn)提示注意此處空半格上述表達(dá)式就是統(tǒng)計(jì)中重要的K2統(tǒng)計(jì)量，用它的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)H1，如果算出的K2值較大，就拒絕H1,也就是拒絕事件“X與Y無關(guān)”，從而就認(rèn)為它們是有關(guān)的了。深化升華注意此處空半格獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法.要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立。在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小.如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值ｋ很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理。根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過概率P(K2≥k）的大小來評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度有多大，從而說明這“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度有多大.三、判斷結(jié)論成立的可能性的方法1。通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（1）在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ａｄ與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積ｂｃ相關(guān)越大，H1成立的可能性就越大。（2)在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y2的個(gè)體所占的比例。兩個(gè)比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大。2.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體做法是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的值k，其值越大，說明H1成立的可能性就越大.當(dāng)?shù)玫降挠^測(cè)數(shù)據(jù)ａ、ｂ、ｃ、ｄ都不小于5時(shí)，可以通過隨機(jī)變量k2來確定結(jié)論的可信程度。要點(diǎn)提示注意此處空半格在計(jì)算得檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的值時(shí)，要注意臨界值6。635，3.841和2.706.如果k2＞6。635,就有99％把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”.如果k2＞3.841，就有95%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”。如果k2＞2。706,就有90%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”.而如果k2≤2。706，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”.誤區(qū)警示注意此處空半格使用K2統(tǒng)計(jì)量作2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),要求表中的4個(gè)數(shù)據(jù)都要大于5，所以在選取樣本容量時(shí)一定要注意這一點(diǎn)。問題·探究問題1某聾啞研究機(jī)構(gòu)對(duì)聾啞關(guān)系進(jìn)行抽樣調(diào)查，在耳聾的657人中有416人啞,而另外不聾的680人中有249人啞.你能運(yùn)用這組數(shù)據(jù)得出相應(yīng)結(jié)論嗎？思路：認(rèn)真分析后，我們就是要在聾與啞有無關(guān)系上作出結(jié)論。于是可以運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行判斷.一種方法可以根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2的值，與臨界值做比較；另一種方法可以用三維柱形圖粗略估計(jì)得出結(jié)論.當(dāng)然，我們也可以采用對(duì)照兩組人群中啞的比例進(jìn)行粗略估計(jì)，但精確度要相對(duì)低一些。探究：方法一:由題目數(shù)據(jù)列聯(lián)表得：?jiǎn)〔粏『嫌?jì)聾416241657不聾249431680合計(jì)6656721337根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得到：K2=≈95.29>10。828，所以我們有99。9%的把握說聾與啞有關(guān)。方法二：我們可以把題目中的數(shù)據(jù)做出相應(yīng)的三維柱形圖(圖)，容易比較發(fā)現(xiàn)，底面副對(duì)角線兩個(gè)柱體高度的乘積大些,可以在某種程度上認(rèn)為聾與啞有關(guān)。問題2如何進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)？試舉一例說明之.思路：（1）作統(tǒng)計(jì)假設(shè):假設(shè)H0“事件A與B獨(dú)立”；（2）根據(jù)公式K2=，求出K2；（3)作出統(tǒng)計(jì)判斷：若K2＞6.635，則有99％的把握說事件A與B有關(guān)，若K2＞3。841,則有95％的把握說事件A與B有關(guān)。若K2≤2。706，則認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示事件A與B有關(guān)。注意在此過程中要使表中的4個(gè)數(shù)據(jù)大于5.如“五一”黃金周前某地的一旅游景點(diǎn)票價(jià)上浮，黃金周過后,統(tǒng)計(jì)本地與外地來的游客人數(shù)，與去年同期相比，結(jié)果如下：本地外地合計(jì)去年140728424249今年133120653396合計(jì)273849077645問票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)是否有關(guān)系？探究:按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟，假設(shè)票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)沒有關(guān)系。因?yàn)閗2=≈30。35>6.635.所以假設(shè)不成立,我們有99％的把握認(rèn)為票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)有關(guān)系.典題·熱題例1為了研究人的性別與患色盲與否是否有關(guān)，某研究所進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查。發(fā)現(xiàn)在調(diào)查的480名男性中有39名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲，試檢驗(yàn)人的性別與患色盲與否有關(guān)？思路分析:由題意列出2×2列聯(lián)表,由公式計(jì)算出K2，與臨界值做比較，得出事件成立的可信程度。解：由題意所得數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表得：患色盲不患色盲合計(jì)男性39441480女性6514520合計(jì)459551000由公式得K2=≈28.23.因?yàn)?8.23＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為患色盲與否與人的性別有關(guān)，男性患色盲的概率要比女性大很多。方法歸納注意此處空半格獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟為：(1）找相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表;（2)求統(tǒng)計(jì)量K2；（3）判斷可能性,注意與臨界值做比較，得出事件有關(guān)的確信度。例2某縣對(duì)在職的71名高中數(shù)學(xué)教師就支持新的數(shù)學(xué)教材還是支持舊的數(shù)學(xué)教材做了調(diào)查,結(jié)果如下表所示：支持新教材支持舊教材合計(jì)具有15年以上教齡的教師122537教齡在15年以上的教師102434教齡在15年以下的教師224971根據(jù)此資料，你是否認(rèn)為教齡的長(zhǎng)短與支持新的數(shù)學(xué)教材有關(guān)？思路分析:根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想,由公式計(jì)算出K2，然后與兩臨界值比較得出結(jié)論.解：由公式得K2=≈0。08.由K2＜2。706，我們沒有充分的證據(jù)說明教齡的長(zhǎng)短與支持新的數(shù)學(xué)教材有關(guān)。深化升華注意此處空半格獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)軒椭覀儗?duì)日常生活中的實(shí)際問題作出合理的推斷和預(yù)測(cè)。因此要在學(xué)習(xí)中,應(yīng)通過案例分析，理解和掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法,體會(huì)其基本思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，以提高我們分析和處理問題的能力.例3在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論是在什么范圍內(nèi)有效？思路分析:由題意列出2×2列聯(lián)表，利用公式求得K2后與臨界值比較，得出結(jié)論后要注意這組數(shù)據(jù)是來自于住院的病人，而不是隨機(jī)對(duì)全體人群采樣。解：由題意列出2×2列聯(lián)表如下:患心臟病患其他病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437由公式得K2=≈10.828。所以有99.9%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)".誤區(qū)警示注意此處空半格在應(yīng)用公式時(shí),切忌誤用公式為K2=。這會(huì)使結(jié)果相差甚遠(yuǎn).例4某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個(gè)關(guān)系較大？物理化學(xué)總分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人。思路分析:分別列出兩個(gè)量間的2×2列聯(lián)表，將數(shù)據(jù)代入公式求得K2，對(duì)照K2與臨界值及三個(gè)的大小關(guān)系得出結(jié)論。解:（1)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計(jì)3718691240代入公式可得K2＝270.1143。（2)列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)156724880合計(jì)3818591240代入公式可得K2＝240.6112。（3）列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀9911411240合計(jì)366514880代入公式可得K2＝914。6456.由上面分析可知，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)