數(shù)學教材梳理：獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、兩個分類變量之間關(guān)系的定性分析1.分類變量取不同的“值”表示個體所屬不同類別的分量稱為分類變量.這里的“變量"和值都應(yīng)作為“廣義”的變量和值進行理解。例如：對于性別變量，其取值為男和女兩種.那么這里的變量指的是性別，同樣這里的“值”指的是“男”和“女”,因此，這里所說的“變量"和值不一定取的是具體的數(shù)值。要點提示注意此處空半格分類變量是大量存在的，例如：吸煙變量有吸煙與不吸煙兩種類別，而國籍變量則有多種類別。2.定性分析的方法（1）頻率分析通過對樣本的每個分類變量的不同類別的事件發(fā)生的頻率大小比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.通常通過列聯(lián)表列出兩個分類變量的占少數(shù)表來進行分析.（2）圖形分析①三維柱形圖.它可以清晰的看出各個頻數(shù)的相對大??；②二維條形圖.如本節(jié)引例中，可畫疊在一起的二維條形圖.淺色條高表示不患肺癌的人數(shù)，深色條高表示患肺癌的人數(shù);③頻率分布條形圖：為了更清晰的表示引例的特征,我們可用等高條形圖表示兩種情況下患肺癌的比例.方法歸納注意此處空半格三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.作三維柱形圖時要注意選擇恰當?shù)囊暯?，以使每個柱體都能被看到。二、獨立假設(shè)1。2×2列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965上表稱為2×2列聯(lián)表。意思是問題要考慮調(diào)查的人的兩種狀態(tài)：是否吸煙，是否患肺癌。每種狀態(tài)又分兩種情況：吸煙，不吸煙以及患肺癌、未患肺癌.表中排成兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果，希望根據(jù)這4個數(shù)據(jù)來檢驗上述兩種狀態(tài)是否有關(guān).這一檢驗就稱為2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗。2。獨立性檢驗：利用隨機變量K2=(其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ為樣本容量）來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關(guān)系"的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.要點提示注意此處空半格上述表達式就是統(tǒng)計中重要的K2統(tǒng)計量，用它的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H1，如果算出的K2值較大，就拒絕H1,也就是拒絕事件“X與Y無關(guān)”，從而就認為它們是有關(guān)的了。深化升華注意此處空半格獨立性檢驗的基本思想類似于反證法.要確認“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立。在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機變量K2應(yīng)該很小.如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值ｋ很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理。根據(jù)隨機變量K2的含義，可以通過概率P(K2≥k）的大小來評價該假設(shè)不合理的程度有多大，從而說明這“兩個分類變量沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度有多大.三、判斷結(jié)論成立的可能性的方法1。通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（1）在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積ａｄ與副對角線上的兩個柱形高度的乘積ｂｃ相關(guān)越大，H1成立的可能性就越大。（2)在二維條形圖中，可以估計滿足條件X=x1的個體中具有Y=y1的個體所占的比例，也可以估計滿足條件X=x2的個體中具有Y=y2的個體所占的比例。兩個比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大。2.利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體做法是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算檢驗隨機變量K2的值k，其值越大，說明H1成立的可能性就越大.當?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)ａ、ｂ、ｃ、ｄ都不小于5時，可以通過隨機變量k2來確定結(jié)論的可信程度。要點提示注意此處空半格在計算得檢驗隨機變量K2的值時，要注意臨界值6。635，3.841和2.706.如果k2＞6。635,就有99％把握認為“X與Y有關(guān)系”.如果k2＞3.841，就有95%把握認為“X與Y有關(guān)系”。如果k2＞2。706,就有90%把握認為“X與Y有關(guān)系”.而如果k2≤2。706，就認為沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”.誤區(qū)警示注意此處空半格使用K2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時,要求表中的4個數(shù)據(jù)都要大于5，所以在選取樣本容量時一定要注意這一點。問題·探究問題1某聾啞研究機構(gòu)對聾啞關(guān)系進行抽樣調(diào)查，在耳聾的657人中有416人啞,而另外不聾的680人中有249人啞.你能運用這組數(shù)據(jù)得出相應(yīng)結(jié)論嗎？思路：認真分析后，我們就是要在聾與啞有無關(guān)系上作出結(jié)論。于是可以運用獨立性檢驗進行判斷.一種方法可以根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表，計算K2的值，與臨界值做比較；另一種方法可以用三維柱形圖粗略估計得出結(jié)論.當然，我們也可以采用對照兩組人群中啞的比例進行粗略估計，但精確度要相對低一些。探究：方法一:由題目數(shù)據(jù)列聯(lián)表得：啞不啞合計聾416241657不聾249431680合計6656721337根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得到：K2=≈95.29>10。828，所以我們有99。9%的把握說聾與啞有關(guān)。方法二：我們可以把題目中的數(shù)據(jù)做出相應(yīng)的三維柱形圖(圖)，容易比較發(fā)現(xiàn)，底面副對角線兩個柱體高度的乘積大些,可以在某種程度上認為聾與啞有關(guān)。問題2如何進行獨立性檢驗？試舉一例說明之.思路：（1）作統(tǒng)計假設(shè):假設(shè)H0“事件A與B獨立”；（2）根據(jù)公式K2=，求出K2；（3)作出統(tǒng)計判斷：若K2＞6.635，則有99％的把握說事件A與B有關(guān)，若K2＞3。841,則有95％的把握說事件A與B有關(guān)。若K2≤2。706，則認為沒有充分的證據(jù)顯示事件A與B有關(guān)。注意在此過程中要使表中的4個數(shù)據(jù)大于5.如“五一”黃金周前某地的一旅游景點票價上浮，黃金周過后,統(tǒng)計本地與外地來的游客人數(shù)，與去年同期相比，結(jié)果如下：本地外地合計去年140728424249今年133120653396合計273849077645問票價上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)是否有關(guān)系？探究:按照獨立性檢驗的基本步驟，假設(shè)票價上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)沒有關(guān)系。因為k2=≈30。35>6.635.所以假設(shè)不成立,我們有99％的把握認為票價上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)有關(guān)系.典題·熱題例1為了研究人的性別與患色盲與否是否有關(guān)，某研究所進行了隨機調(diào)查。發(fā)現(xiàn)在調(diào)查的480名男性中有39名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲，試檢驗人的性別與患色盲與否有關(guān)？思路分析:由題意列出2×2列聯(lián)表,由公式計算出K2，與臨界值做比較，得出事件成立的可信程度。解：由題意所得數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表得：患色盲不患色盲合計男性39441480女性6514520合計459551000由公式得K2=≈28.23.因為28.23＞10.828，所以有99.9%的把握認為患色盲與否與人的性別有關(guān)，男性患色盲的概率要比女性大很多。方法歸納注意此處空半格獨立性檢驗問題的基本步驟為：(1）找相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表;（2)求統(tǒng)計量K2；（3）判斷可能性,注意與臨界值做比較，得出事件有關(guān)的確信度。例2某縣對在職的71名高中數(shù)學教師就支持新的數(shù)學教材還是支持舊的數(shù)學教材做了調(diào)查,結(jié)果如下表所示：支持新教材支持舊教材合計具有15年以上教齡的教師122537教齡在15年以上的教師102434教齡在15年以下的教師224971根據(jù)此資料，你是否認為教齡的長短與支持新的數(shù)學教材有關(guān)？思路分析:根據(jù)獨立性檢驗思想,由公式計算出K2，然后與兩臨界值比較得出結(jié)論.解：由公式得K2=≈0。08.由K2＜2。706，我們沒有充分的證據(jù)說明教齡的長短與支持新的數(shù)學教材有關(guān)。深化升華注意此處空半格獨立性檢驗?zāi)軒椭覀儗θ粘Ｉ钪械膶嶋H問題作出合理的推斷和預(yù)測。因此要在學習中,應(yīng)通過案例分析，理解和掌握獨立性檢驗的方法,體會其基本思想在解決實際問題中的應(yīng)用，以提高我們分析和處理問題的能力.例3在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.利用獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論是在什么范圍內(nèi)有效？思路分析:由題意列出2×2列聯(lián)表，利用公式求得K2后與臨界值比較，得出結(jié)論后要注意這組數(shù)據(jù)是來自于住院的病人，而不是隨機對全體人群采樣。解：由題意列出2×2列聯(lián)表如下:患心臟病患其他病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437由公式得K2=≈10.828。所以有99.9%的把握認為“禿頂與患心臟病有關(guān)".誤區(qū)警示注意此處空半格在應(yīng)用公式時,切忌誤用公式為K2=。這會使結(jié)果相差甚遠.例4某校高三年級在一次全年級的大型考試中,數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中,物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？物理化學總分數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人。思路分析:分別列出兩個量間的2×2列聯(lián)表，將數(shù)據(jù)代入公式求得K2，對照K2與臨界值及三個的大小關(guān)系得出結(jié)論。解:（1)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀228132360數(shù)學非優(yōu)秀143737880合計3718691240代入公式可得K2＝270.1143。（2)列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)156724880合計3818591240代入公式可得K2＝240.6112。（3）列出數(shù)學與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀26793360數(shù)學非優(yōu)秀9911411240合計366514880代入公式可得K2＝914。6456.由上面分析可知，數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學