數(shù)學(xué)教材梳理系統(tǒng)抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、系統(tǒng)抽樣的概念當(dāng)總體中個體數(shù)較多時,樣本容量就不宜太小，采用簡單隨機(jī)抽樣抽取樣本，就顯得費(fèi)事.這時可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取1個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣。在系統(tǒng)抽樣中，由于抽樣的間隔相等，因此系統(tǒng)抽樣也被稱作等距抽樣（或叫機(jī)械抽樣）。從元素個數(shù)為N的總體中抽取容量為n的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，則設(shè)k=，分為n組,每組k個,然后在第一組的1到k中隨機(jī)抽出一個數(shù)s作為起始數(shù)，再順次抽取第s+k，s+2k,…，s+（n—1)k個數(shù),這樣就得到了容量為n的樣本.系統(tǒng)抽樣有以下特征：（1）當(dāng)總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣.（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣,這時間隔一般為k=［］。(3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是:在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號。二、系統(tǒng)抽樣的一般步驟一般地，從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，用系統(tǒng)抽樣的一般步驟是:(1）采用隨機(jī)的方式將總體中的個體編號（編號方式可酌情考慮,為方便起見，有時可直接利用個體所帶有的號碼，如學(xué)生的準(zhǔn)考證號、街道門牌號等)；(2）確定分段間隔k,對總體編號分段,①當(dāng)是整數(shù)時，取k=;②當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中隨機(jī)剔除一些個體使剩余個體數(shù)N′能被n整除,這時k=;（3)在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l；（4）按照事先確定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l+k），再加k得到第3個個體編號（l+2k）,依次進(jìn)行下去，直到獲得整個樣本.誤區(qū)警示上述過程中，總體中的每個個體被取出（或被剔除）的可能性相等，也就是每個個體不被選?。ɑ虿槐惶蕹?的可能性也相等，另外在第一段抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣,每個個體被抽到的可能性均等,所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會仍然都相等，這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的。三、系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系類別特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣從總體中逐個抽取抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法總體中的個體數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體數(shù)較多典題·熱題知識點(diǎn)一隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣的區(qū)別例1從編號為1—50的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來進(jìn)行發(fā)射實(shí)驗(yàn),若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是（）A.5,10，15,20，25B.3,13，23,33,43C.1，2,3,4,5D.2,4,6,16,32思路分析：可分為5組，每組10枚，采用系統(tǒng)抽樣，所選的號碼應(yīng)該間隔相等且間隔為10.答案：B例2下列抽樣實(shí)驗(yàn)中,最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是(）A.某市的4個區(qū)共有2000名學(xué)生，且4個區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2，從中抽取200人入樣B.從某廠生產(chǎn)的2000個電子元件中隨機(jī)抽取5個入樣C.從某廠生產(chǎn)的2000個電子元件中隨機(jī)抽取200個入樣D.從某廠生產(chǎn)的20個電子元件中隨機(jī)抽取5個入樣思路分析：A中總體有明顯層次，不適用系統(tǒng)抽樣法；B中樣本容量很小，適宜用簡單隨機(jī)抽樣法中的隨機(jī)數(shù)表法；D中總體數(shù)很小，故適宜用抽簽法.只有C比較符合適用系統(tǒng)抽樣法.答案：C方法歸納簡單隨機(jī)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較少時，系統(tǒng)抽樣適用于總體元素個數(shù)較多的抽樣.知識點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣的抽樣方法與過程例3為了了解濟(jì)南市高一學(xué)生實(shí)行新課標(biāo)后期末考試數(shù)學(xué)科的成績，擬從參加考試的15000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取容量為150的樣本.請用系統(tǒng)抽樣法寫出抽樣的過程.思路分析：由于總體容量恰能被樣本容量整除，所以分段間隔k==100；以下按系統(tǒng)抽樣的4個步驟抽取樣本。解：用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程如下：①對全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行編號：1，2,3，…,15000；②分段:由于樣本容量與總體容量的比是1∶100，所以我們可將總體平均分為150個部分，其中每一部分包含100個個體；③在第一部分，即1號到100號中用簡單隨機(jī)抽樣，抽取一個號碼,比如是56；④以56作為起始數(shù)，然后順次抽取156，256，356，…,14956.這樣就得到容量為150的一個樣本.方法歸納從上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)抽樣有以下特點(diǎn)：（1）適用于個體數(shù)較多，但均衡的總體；(2)系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于:在總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣；（3)在整個抽樣過程中，每個個體被抽取的幾率都是.例4海濱中學(xué)有職工1021人，其中管理人員20人?，F(xiàn)從中抽取非管理人員40人,管理人員4人組成代表隊(duì)參加某項(xiàng)活動.你認(rèn)為應(yīng)如何抽樣?思路分析：由于樣本來自不同層次，所以適宜分別用不同的抽樣方法。從1001名非管理人員中抽取40人，適宜用系統(tǒng)抽樣法；從20名管理人員中抽取4人，適宜用抽簽法。解:首先在1001名非管理人員中抽取40人，用系統(tǒng)抽樣法抽樣過程如下：第一步:將1001名職工用隨機(jī)方式編號；第二步：從總體中剔除1人，將剩下的1000名職工重新編號(分別為001，002，…，1000），并分成40段，每段25人;第三步：在第一段001,002，…，025這25個編號中,用簡單隨機(jī)抽樣法抽出一個(如003）作為起始號碼；第四步：將編號為003，028，053，…，978的個體抽出.然后再從20人中，抽取4人，用抽簽法，其操作過程如下：第一步：將20名管理人員用隨機(jī)方式編號，編號為01，02，…，20；第二步：將這20個號碼分別寫在一個小紙條上，揉成小球，制成號簽；第三步：把得到的號簽放入一個不透明的盒子里,充分?jǐn)噭?；第四步：從盒子中逐個抽取4個號簽，并記錄上面的編號；第五步:從總體中將與抽到的號簽的編號相一致的個體取出。由以上兩類方法得到的個體便是代表隊(duì)隊(duì)員.方法歸納（1)系統(tǒng)抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更容易實(shí)施，可節(jié)約抽樣成本.(2）系統(tǒng)抽樣所得到的樣本的代表性和具體的編號有關(guān);而簡單隨機(jī)抽樣抽取的樣本的代表性與個體的編號無關(guān)。如果編號的個體特征隨編號的變化呈現(xiàn)一定的周期性，可能會使系統(tǒng)抽樣的代表性很差.例如，如果學(xué)號按照男生單號女生雙號的方法編排，那么用系統(tǒng)抽樣的方法抽取的樣本就會是全部為男生或全部為女生,因此在編號時一定要采用隨機(jī)編號。（3）從對總體的代表性看，系統(tǒng)抽樣方法的第一段是簡單隨機(jī)抽取,而以后為等距離抽取，不如簡單隨機(jī)抽樣中所有個體都是相互獨(dú)立的被選機(jī)會那樣有更強(qiáng)的代表性；但從抽取個體在總體中分布的均勻看，系統(tǒng)抽樣的個體比簡單隨機(jī)抽樣在總體中的分布更均勻，即從不同角度,兩種方法各有優(yōu)越性.由此可見，采用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，與用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本相比雖不能提高樣本的代表性,但抽樣過程操作起來方便很多.問題·探究交流討論探究問題在系統(tǒng)抽樣的過程中，哪些因素容易使抽取的樣本不具有代表性?該怎樣避免此類偏差的產(chǎn)生呢？探究過程：人物甲：我們在研究咱們班同學(xué)身高的時候發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題，由于我們班每排有8個人，我們采用系統(tǒng)抽樣的時候抽樣距是8，結(jié)果我們計(jì)算結(jié)果總是不太合乎常理，后來我們發(fā)現(xiàn)主要是由于抽樣距規(guī)定的恰好與每排的人數(shù)相同,這樣我們在抽取的樣本很容易偏高或偏低，所以我們的結(jié)果誤差較大。人物乙：我也想到一種情況:比如我們想了解某一時刻公交車上的人數(shù),若我們選擇的每隔7天抽樣一次的話，可能也會產(chǎn)生較大的誤差,因?yàn)橐恢苡?天，這樣做的話就不能合理地調(diào)查一周當(dāng)中其他時間的乘車人數(shù)，所以不準(zhǔn)確。人物丙：若個體的編號是按某種順序進(jìn)行編排的，那么再利用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣時，就很可能產(chǎn)生偏高或偏低的情況,這樣統(tǒng)計(jì)的結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因?yàn)檫@樣所抽取的樣本已不能很好地代表總體的水平.