2024-2025學年廣東省深圳第二外國語學校高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省深圳第二外國語學校高三（上）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設復數(shù)z滿足z(1+i)=2(i為虛數(shù)單位)，則|z|=(

)A.1 B.2 C.2 D.2.命題“?x∈R，ex+1>0”的否定是(

)A.?x0∈R，ex0+1≤0 B.?x∈R，ex+1≤0

C.3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調遞減的是(

)A.f(x)=x2?|x| B.f(x)=1x24.設a=0.42，b=log0.43，c=40.3，則a，A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b5.函數(shù)y=x2ln|x|A. B.

C. D.6.設函數(shù)f(x)=log12(x2?ax+3)在A.[72,4] B.(?∞,72]7.若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則a+b的取值范圍是(

)A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,6] D.(0,9)8.設函數(shù)f(x)=?x2+4x,x≤4,|log2(x?4)|,x>4,若關于x的方程f(x)=t有四個實根x1，x2A.455 B.23 C.472 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若函數(shù)f(x)=13x3A.f′(1)=1 B.f(x)有兩個極值點

C.曲線y=f(x)的切線的斜率可以為?2 D.點(1,1)是曲線y=f(x)的對稱中心10.已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(?∞,?2)∪(3,+∞)，則下列選項中正確的是A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<?6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx211.已知函數(shù)f(x)，g(x)在R上的導函數(shù)分別為f′(x)，g′(x)，若f(x+2)為偶函數(shù)，y=g(x+1)?2是奇函數(shù)，且f(3?x)+g(x?1)=2，則下列結論正確的是(

)A.f′(2022)=0 B.g(2023)=0

C.f(x)是R上的奇函數(shù) D.g′(x)是R上的奇函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知冪函數(shù)f(x)=(m2?6m+9)xm滿足f′(1)=2，則13.已知正數(shù)a，b滿足a+b=2，則1a+114.已知函數(shù)y=x2?2x+2,x≥0x+ax+3a,x<0四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2x+a2x+1是奇函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)16.(本小題13分)

已知正項等比數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項和，anSn=2n(2n+1?2)．

(1)17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ac=a2+b2?c2b2，且a≠c．

(1)求證：B=2C；

(2)若18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=BC=AA1=2，A1B=6．

19.(本小題17分)

設A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意x∈A，都有x?1∈A或x+1∈A，則稱A為自鄰集.記集合An={1,2?…,n}(n>2，n∈N)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為an．

(1)直接寫出A4的所有自鄰集；

(2)若n為偶數(shù)且n>6，求證：An的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

(3)若n≥4，求證：參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.BD

10.BD

11.AD

12.4

13.2

14.(?∞,0)∪[1，+∞)

15.解：(1)因為f(x)=2x+a2x+1，

所以f(?x)=2?x+a2?x+1=1+a?2x1+2x，

因為f(x)為奇函數(shù)，

所以f(?x)+f(x)=1+a?2x1+2x+a+2x1+2x=(1+a)(1+2x)1+2x=a+1=0，

16.解：(1)正項等比數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項和，

由anSn=2n(2n+1?2)，可得n=1時，a1S1=a12=2×(4?2)=4，

解得a1=2；

n=2時，a2S2=17.解：(1)證明：因為ac=a2+b2?c2b2，

所以由余弦定理可得ac=2abcosCb2=2acosCb，即b=2ccosC，

所以由正弦定理可得sinB=2sinCcosC=sin2C，

所以在△ABC中，B=2C或B+2C=π，

又因為a≠c，

所以A≠C，

所以B=2C；

(2)在△BCD中，由正弦定理可得asin∠BDC=BDsinC，a=12，

即12sin∠BDC=BDsinC，

18.(1)證明：因為D為AC中點，且AB=AC=BC=2，

所以在△ABC中，有BD⊥AC，且BD=3，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，

所以BD⊥平面ACC1A1，

又A1D?平面ACC1A1，則BD⊥A1D，

由A1B=6，BD=3，得A1D=3，

因為AD=1，AA1=2，A1D=3，

所以由勾股定理，得AD⊥A1D，

又AC⊥BD，A1D∩BD=D，

所以AC⊥平面A1DB；

(2)解：如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標系D?xyz，

可得A(1,0,0),A1(0,0,3),B(0,3,0)，

19.解：(1)A4的所有自鄰集有：{1,2,3,4}，{1,2,3}，{2,3,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}．

證明：(2)對于An的含5個元素的自鄰集B={x1,x2,x3,x4,x5}，

不妨設x1<x2<x3<x4<x5．

因為對于?xi∈B，都有xi?1∈B

或xi+1∈B，i=1，2，3，4，5，

所以x2=x1+1，x4=x5?1，x3=x2+1

或x3=x4?1．

對于集合C={n+1?x5,n+1?x4,n+1?x3,n+1?x2,n+1?x1}，

因為1≤x1<x2<x3<x4<x5≤n，所以1≤n+1?xi≤n，i=1，2，3，4，5，

n+1?x5<n+1?x4<n+1?x3<n+1?x2<n+1?x1，

所以C?An．

因為x2=x1+1，x4=x5?1，x3=x2+1

或x3=x4?1．

所以

n+1?x2=(n+1?x1)?1，n+1?x4=(,n