2024-2025學年江西省上饒市弋陽二中高三（上）月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江西省上饒市弋陽二中高三（上）月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|x≤5},B={x|y=lg(x?1)}A.{0} B.{0,1} C.{1} D.{1,2}2.已知z=21+i，其中i為虛數(shù)單位，則z?A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y=loga(x+1A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限4.已知a，b都是正數(shù)，則“ab≥4”是“ab≥a+b”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知α，β滿足sin(α+2β)=512，cos(α+β)sinβ=13A.112 B.?112 C.16.已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有45齒，小輪有30齒.如果大輪的轉速為180r/min(轉/分)，小輪的半徑為10cm，那么小輪周上一點每1s轉過的弧長是(????)cm．A.5400π B.90π C.180π D.40π7.將函數(shù)y=2sin(2x+π6)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，再將所得圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的12，得到函數(shù)f(x)的圖象.若f(x)的圖象關于點(π3A.π4 B.5π6 C.5π128.若函數(shù)f(x)=lnx+12x2+ax有兩個極值點x1，xA.a≤?4 B.a≥4 C.a≤?42 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.關于函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.y=f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)

B.y=f(x)的最大值為2

C.將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移π24個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合

10.已知f(x)=alnx+2x，則以下結論正確的有(

)A.?a<0，f(x)有零點

B.?a>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增

C.a=2時，f(x)≥2

D.a=?1時，f(2x?1)?f(x)>0的解集為(11.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)?x，當0<x≤1時，f(x)=x?x，則A.當2<x≤3時，f(x)=x?2?2x+2

B.當n為正整數(shù)時f(n)=n?n22

C.對任意正實數(shù)t，f(x)在區(qū)間(t,t+1)內恰有一個極大值點

D.若f(x)在區(qū)間三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設函數(shù)f(x)=2x?2?x，則使得f(13.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(b?c)sinB=bsin(A?C)，則角A=______．14.已知存在a>0，使得函數(shù)f(x)=alnx與g(x)=x2?3x?b的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=2b，a=2ccosC．

(1)求ab的值；

(2)若△ABC的面積為15，求AB邊上的高．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=bx+logax4?x(a>0且a≠1，b∈R)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當b=2，證明：f(x)+f(4?x)為定值，并求出函數(shù)f(x)的對稱中心；

(2)當a=e時，若17.(本小題15分)

已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2c?b=2asin(C?π6)．

(1)求角A；

(2)若a=6，D為邊BC上一點，AD為∠BAC的平分線，且AD=118.(本小題17分)

已知函數(shù)g(x)=2ln(?t?1)+cos(?t?2)．

(1)函數(shù)f(x)與g(x)的圖像關于x=?1對稱，求f(x)的解析式；

(2)f(x)?1≤ax在定義域內恒成立，求a的值；

(3)求證：k=n+12nf(19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aex?x?a(a∈R)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當a=?1時，求φ(x)=f(x)?cos2x在[0,π]上的值域；

(2)當0<a≤1時，討論f(x)的零點個數(shù)；

(3)當a≥1時，從下面①和②兩個結論中任選一個進行證明．

參考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.(?3,1)

13.π314.?3

15.解：(1)a=2ccosC，由余弦定理得，a=2c?a2+b2?c22ab，

又因c=2b，

所以a=2×2b×a2+b2?(2b)22ab，化簡得a2=6b2，

所以ab=6；

(2)由(1)得cosC=a2c=6b2×2b=6416.解：(1)證明：當b=2時，f(x)=2x+logax?loga(4?x)，其中x∈(0,4)，

f(4?x)=2(4?x)+loga(4?x)?loga[4?(4?x)]=8?2x+loga(4?x)?logax，

所以f(x)+f(4?x)=8，

故函數(shù)f(x)的對稱中心為(2,4)．

(2)當a=e時，f(x)=bx+lnx?ln(4?x)，其中x∈(0,4)，

因為f(x)在定義域上單調遞增，所以f′(x)≥0在(0,4)上恒成立，

又f′(x)=b+1x17.解：(1)由2c?b=2asin(C?π6)及正弦定理，

可得2sinC?sinB=2sinA(3?2sinC?12cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

則有2sinC?cosAsinC=3sinAsinC，

又C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinA+cosA=2，

即sin(A+π6)=1，又A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=π2，即A=π3；

(2)由AD為∠BAC的平分線，可得∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ADB18.解：(1)依題意，設f(x)圖像上任意一點坐標為(x0,y0)，

則其關于x=?1對稱的點(?2?x0,y0)在g(x)圖像上，

則y0=f(x0)=g(?2?x0)，則f(x0)=g(?x0?2)=2ln(x0+1)+cosx0，(x0>?1)

故f(x)=2ln(x+1)+cosx，(x>?1)；

(2)令?(x)=f(x)?1?ax=2ln(x+1)+cosx?1?ax，(x>?1)，

則在?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立，

又?(0)=0，且?(x)在x∈(?1,+∞)上是連續(xù)函數(shù)，則x=0為?(x)的一個極大值點，

?′(x)=2x+1?sinx?a，?′(0)=2?a=0?a=2，

下證當a=2時，?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立，

令φ(x)=ln(x+1)?x，φ′(x)=1x+1?1=?xx+1，

當x∈(?1,0)，?′(x)>0，?(x)在(?1,0)上單調遞增，

當x∈(0,+∞)，?′(x)<0，?(x)在(0,+∞)上單調遞減，

故φ(x)≤φ(0)=0，ln(x+1)≤x在(?1,+∞)上恒成立，又cosx≤1，

則a=2時，?(x)=f(x)?1?ax=2[ln(x+1)?x]+(cosx?1)≤0恒成立，

綜上，a=2．

(3)由(2)可知：f(x)?1≤2x，19.解：(1)當a=?1時，φ(x)=?ex?x+sin2x，φ′(x)=?ex?1+sin2x，

∵?1≤sin2x≤1，∴φ′(x)=?ex?1+sin2x≤?ex<0，

∴φ(x)在[0,π]上單調遞減，

又φ(0)=?1，φ(π)=?eπ?π，

∴φ(x)在[0,π]上的值域為[?eπ?π,?1]；

(2)f(x)=aex?x?a(0<a≤1)，令f′(x)=aex?1=0得x=?lna，

當x<?lna時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當x>?lna時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

∴f(x)≥f(?lna)=1+lna?a，

當a=1時，1+lna?a=0，

∴f(x)≥0，則f(x)在(?∞,+∞)上有且僅有1個零點．

當0<a<1時，令r(a)=1+lna?a(0<a<1)，r′(a)=1a?1=1?aa>0，

∴r(a)在(0,1)上單調遞增，

∴r(a)<r(1)=0，即f(?lna)<0，又f(0)=0，

∴f(x)在(?∞,?lna)上有1個零點，又f(?2lna)=1a+2lna?a，

令μ(a)=1a+2lna?a(0<a<1)，則μ′(a)=?(a?1)2a<0，

∴μ(a)在(0,1)上單調遞減，

∴μ(a)>μ(1)=0，

∴f(?2lna)>0，

∴f(x)在(?lna,?2lna)上有一個零點．

綜上所述，a=1時，f(x)有一個零點，

0<a<1時，f(x)有2個零點；

(3)證明：選擇①：當a≥1，x>0時，f(x)=a(ex?1)?x≥ex?1?x，

設g(x)=ex?x?xlnx+sinx?1，

當0<x≤1時，?xlnx≥0，sinx>0，

又由(2)知ex?1?x≥0，∴g(x)>