2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A?2,1,3，B1,?1,4，則AB=A.3,0,1 B.?1,?2,1 C.?1,0,7 D.3,?2,12.已知直線的傾斜角的范圍是α∈[π4,3π4]A.[?1,1] B.[?1,0)∪(0,1]

C.[?1,+∞) D.(?∞,?1]∪[1,+∞)3.空間向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量為(

)A.(12,0,12) B.(4.若{a,b,c}A.a B.a+2b C.a+25.若向量a=(1,λ,2)，b=(2,?1,2)，且a與b的夾角的余弦值為89，則λ=A.2 B.?2 C.?2或255 D.2或6.如圖，在棱長為1的正方體A.13

B.12

C.27.平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，∠A1AD=∠AA.0 B.32 C.128.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.BB1//平面ACD1

B.平面BDC1⊥平面ACD1

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若直線l的斜率k=?2，且過點(diǎn)(3,2)，則直線l經(jīng)過點(diǎn)(

)A.(0,4) B.(4,0) C.(6,?4) D.(?2,1)10.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)(A.存在點(diǎn)P，使D1P?//平面A1BC1

B.三棱錐B1?C1D1P的體積為定值

C.若D1P⊥B1D，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長為2

D.若點(diǎn)P是11.已知單位向量i,j,k兩兩的夾角均為θ(0<θ<π，且θ≠π2)，若空間向量a滿足a=xi+yj+zk(x,y,z∈R)A.已知a=(1,3,?2)θ,b=(4,0,2)θ，則a?b=0

B.已知a=(x,y,0)π3,b=(0,0,z)π3，其中x，y，z>0，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，向量a,三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線l的方向向量為m=(1,1,?1)，且l過點(diǎn)A(?1,1,1)，則點(diǎn)P(0,1,?1)到l的距離為______．13.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=7，則CD的長為______．

14.已知三棱錐P?ABC的體積為6,M是空間中一點(diǎn)，PM=?115PA+215四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．16.(本小題12分)

已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(?2,?4)，B(2,0)，C(?1,1).

(1)求直線AB的斜率和傾斜角;(2)若A，B，C，D可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若E(m,n)是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求nm?2的取值范圍．17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,AD=2BC=4，側(cè)面PAD⊥平面ABCD,O,M分別為AD,PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB/?/平面OMC．(2)若CD=2,PA=PD=4，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．18.(本小題12分)如圖所示，在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．(1)證明：BC⊥平面PAB；(2)若PA=AB=6，BC=3，在線段PC上(不含端點(diǎn))，是否存在點(diǎn)D，使得二面角B?AD?C的余弦值為105，若存在，確定點(diǎn)D19.(本小題12分)

若Ωn={a|a=(a1,a2,…,ai,…,an)，ai∈R，i=1，2，…，n}，則稱Ωn為n維空間向量集，0={0,0,…,0}為零向量.對(duì)于k∈R，任意a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，定義：

①數(shù)乘運(yùn)算：ka=(ka1,ka2,?,kan)；

參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.C

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABC

11.BC

12.213.5914.4

15.(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1,12,0，F(xiàn)12,1,0．

PE=1,12,?1，PF=12,1,?1，DP=(0,0,1)．

設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n·PE=0,n·PF=0,即x+12y?z=0,12x+y?z=0,

解得x=y，令x=y=2，得n=(2,2,3)，

因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為|DP·n||n|=317=3171716.解：(1)直線AB的斜率為?4?2?2=1，

設(shè)傾斜角為α，則tanα=1，

∵0?α<π，

∴直線AB的傾斜角為π4．

(2)如圖，

當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，kAB=kCD，kAC=kBD．

設(shè)D(x,y)，則1=y?1x+1,1+4?1+2=yx?2,，

解得x=3，y=5，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,5)．

(3)由題意得nm?2為直線BE的斜率．

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，直線BE的斜率最小，k17.解：(1)證明：連接BD,OB，設(shè)BD與OC相交于點(diǎn)E，因?yàn)锳D/?/BC，

AD=2BC=2OD=4，所以O(shè)BCD為平行四邊形，即E為BD的中點(diǎn)．連接ME，因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以PB//ME．因?yàn)镻B?平面OMC,ME?平面OMC，所以PB/?/平面OMC．(2)因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD．

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD

，取BC的中點(diǎn)H，連接OH

，而OD，OH?平面ABCD，

故PO⊥OD，PO⊥OH，

因?yàn)锳BCD是等腰梯形，所以O(shè)H⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH,OD,OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A0,?2,0所以AB=(設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z)，則令x=1，則y=?3,z=1|cos所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為15

18.(1)證明：過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，

因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE?平面PAB，

所以AE⊥平面PBC，

又BC?平面PBC，

所以AE⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC?平面PBC，所以PA⊥BC，

又因?yàn)锳E∩PA=A，AE，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

(2)解：假設(shè)在線段PC上(不含端點(diǎn))，存在點(diǎn)D，使得二面角B?AD?C的余弦值為105，

以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA為x軸，y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，

AC=(3,?6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,?6,?6)，BA=(0,6,0)，

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

m?AC=0,m?AP=0,即3x?6y=0,6z=0,

取x=2，y=1，z=0，則m=(2,1,0)，

因?yàn)镈在線段PC上(不含端點(diǎn))，

所以可設(shè)PD=λPC=(3λ,?6λ,?6λ)，0<λ<1，

所以AD=AP+PD=(3λ,?6λ,6?6λ)，

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=(x1，y1，z1)，

n?BA=0,n?AD=0,即6y1=0,3λx119.(1)解：對(duì)于①，假設(shè)a與b線性相關(guān)，

則存在不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2使得