2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(知識(shí)+真題+10類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示目錄TOC\o"1-2"\h\u第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 1第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 3高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 4高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)） 6高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題） 6第四部分：新定義題 8第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.1.2基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).2、平面向量的正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.1平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使,則有序數(shù)對(duì)，叫做的坐標(biāo)，記作.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）向量數(shù)量積：若，則；（4）任一向量：設(shè)，則.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·乙卷文）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（

）A．1 B． C． D．例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.①用，表示；②若，求的值；(2)若，求的最小值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（

）

A． B． C． D．2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是．3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)）典型例題例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．8例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)，向量，，若，則．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（

）A．6 B．4 C．8 D．32．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．3 D．高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題）典型例題例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．例題3．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．練透核心考點(diǎn)1．（22-23高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，三點(diǎn)、、共線，則．2．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）已知三點(diǎn)共線，求x的值．第四部分：新定義題1．（18-19高一下·北京東城·期中）已知集合.對(duì)于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說(shuō)明：的充要條件是.(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；(2)若，且存在，使得，求證：；(3)記.若，且，求的最大值.第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示目錄TOC\o"1-2"\h\u第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 1第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 3高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 9高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)） 12高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題） 14第四部分：新定義題 16第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.1.2基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).2、平面向量的正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.1平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使,則有序數(shù)對(duì)，叫做的坐標(biāo)，記作.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）向量數(shù)量積：若，則；（4）任一向量：設(shè)，則.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．2．（2022·全國(guó)·乙卷文）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D3．（2022·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，，根據(jù)平面向量基本定理，將用線性表示，根據(jù)兩個(gè)向量相等即可求出的值，即可得出答案.【詳解】由題知點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，故.故選：D.例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立基底，，則，然后將設(shè)，最終表示為，然后得到，進(jìn)而求出范圍．【詳解】矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足，

設(shè)，則，，聯(lián)立，可解得，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則可設(shè)，，又，所以，，因?yàn)?，所以．故選：B．例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.①用，表示；②若，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①利用向量的幾何運(yùn)算求解；②設(shè)，然后用表示，然通過(guò)，將也用表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等列方程組求解；（2）設(shè)，將用表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等將用表示，然后利用基本不等式求最值.【詳解】（1）①因?yàn)椋?，故在中，；②因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以又由①及已知，，所以，解得；?）因?yàn)?，又，，三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用和三點(diǎn)共線，分別得到和，列出方程組，求得的值，進(jìn)而求得的值，從而得解.【詳解】由題意知，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，可得，解得，即，因?yàn)?，所?故選：A.2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】

因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，且三點(diǎn)共線，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線，用表達(dá)，再用表達(dá)，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可由共線定理求得；（2）用表達(dá)，再用表達(dá)，根據(jù)，待定系數(shù)求得關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得其最小值.【詳解】（1）由點(diǎn)共線可設(shè)，則，即，，，，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，由點(diǎn)共線可設(shè)，即，故，解得，故，.（2），，，故，又為中點(diǎn)，則，故，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故的最小值為.高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知，繼而得到，由此即可解出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意知與的長(zhǎng)度相等，方向相反，所以，又因?yàn)椋O(shè)，則，所以，解得，即，故選：A例題2．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，若，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐標(biāo)即可.【詳解】由題意得，.故選：A例題3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）已知在非平行四邊形ABCD中，，且三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)平面向量共線可求得，當(dāng)ABCD為平行四邊形時(shí)可求得C的橫坐標(biāo)為3，即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)ABCD為平行四邊形時(shí)，如下圖所示：

則，依題意可得頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)不能取3；設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則由可得，且，所以，即；故滿足題意的頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.【詳解】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．2．（22-23高一下·新疆烏魯木齊·期中）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，故，而，故，故，故，故選：A.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算處理即可.【詳解】如圖，連接，

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，整理得．故答案為：高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)）典型例題例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】由題意知，所以，解得．故選：B例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，若，則，解得，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)，向量，，若，則．【答案】/【分析】由向量平行可得，計(jì)算即可得解.【詳解】由，則有，即，由，故，故，即.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（

）A．6 B．4 C．8 D．3【答案】A【分析】借助向量共線定理與基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)橄蛄抗簿€，所以，解得，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.2．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示列方程求可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，故選：A.3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】由，得，由，得，所以.故選：B高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題）典型例題例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．【答案】A【分析】先求出和，根據(jù)B，C，D三點(diǎn)共線得到，進(jìn)而列出方程求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，則，得.故選：A.例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）