人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)22.6投球問(wèn)題-二次函數(shù)的應(yīng)用(壓軸題專項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專題22.6投球問(wèn)題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】擲實(shí)心球是某市中考體育考試的選考項(xiàng)目，小強(qiáng)為了解自己實(shí)心球的訓(xùn)練情況，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來(lái)研究實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)情況，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在一次投擲中，實(shí)心球從y軸上的點(diǎn)A0,2處出手，運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線的一部分，實(shí)心球在最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,3.6，落在x軸上的點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）某市男子實(shí)心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表：得分10095908580767066605040302010擲遠(yuǎn)（米）12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2請(qǐng)你求出小強(qiáng)在這次訓(xùn)練中的成績(jī)，并根據(jù)得分標(biāo)準(zhǔn)給小強(qiáng)打分；（3）若拋物線經(jīng)過(guò)Mm,y1，Nm+2,y2兩點(diǎn)，拋物線在M，N之間的部分為圖象H（包括M，N兩點(diǎn)），圖象【思路點(diǎn)撥】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B4,3.6，用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，進(jìn)而把A（2）取函數(shù)值為0，看球落地時(shí)x的值為多少，根據(jù)點(diǎn)C的位置，x取正值即為球拋出去的距離，根據(jù)所給表格可判斷應(yīng)得分?jǐn)?shù)；（3）根據(jù)題意得出y1=?0.1m2+0.8m+2【解題過(guò)程】（1）解：由題意可得，拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,3.6，設(shè)該拋物線的解析式為y=ax?4∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,2∴a0?4∴a=?0.1，∴該拋物線的解析式為：y=?0.1x?4（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，?0.1x?4解得：x1=10，∵點(diǎn)C在x軸的正半軸，∴x∴x1=10∵9.6<10<11.2，∴小強(qiáng)的得分是90分；（3）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Mm,y1∴yy2由題意可知，圖象H上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為15∴有以下四種情況：①如圖，當(dāng)0≤m<2時(shí)，y的值隨x的值的增大而增大，依題意，y2即：?0.1m解得：m=2.5，這與0≤m<2相矛盾，故舍去；②如圖，當(dāng)2≤m<3時(shí)，y最大值即：3.6??0.1解得：m=4+2或m=4?∵m=4+2與2≤m<3∴m=4?2③如圖，當(dāng)3≤m<4時(shí)，y最大值即：3.6??0.1解得：m=2+2或m=2?∵m=2?2與3≤m<4∴m=2+2④如圖，當(dāng)m≥4時(shí)，y的值隨x的值的增大而減小，依題意，y1即：?0.1m解得：m=3.5，這與m≥4相矛盾，故舍去；綜上所述：m=4?2或m=2+學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，將一個(gè)小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出，小球的拋出路線可以用拋物線y=4x?12x2刻畫(huà)，斜坡可以用直線A．小球落地點(diǎn)與點(diǎn)O的水平距離為7B．當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球與點(diǎn)O的水平距離為C．小球與點(diǎn)O的水平距離超過(guò)4mD．小球與斜坡的距離的最大值為492．（2024·遼寧鞍山·二模）如圖，小明站在原點(diǎn)處，從離地面高度為1m的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點(diǎn)C處，彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=ax?22+2，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，如果在地上擺放一個(gè)底面半徑為0.5m，高為0.5m的圓柱形筐，筐的最左端距離原點(diǎn)為n米，若要彈力球從A．7 B．9 C．10 D．83．（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，嘉嘉用計(jì)算機(jī)編程模擬拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離，當(dāng)彈跳球以某種特定的角度從點(diǎn)P0,1處拋出后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線L，其最高點(diǎn)的坐標(biāo)為4,5．彈跳球落到斜面上的點(diǎn)A處反彈后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線L'，且開(kāi)口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的（1）拋物線L的解析式為；（2）若點(diǎn)A與點(diǎn)P的高度相同，且點(diǎn)A在拋物線L'的對(duì)稱軸的右側(cè)，則拋物線L'的對(duì)稱軸為直線4．（23-24九年級(jí)上·浙江湖州·期末）如圖，乒乓球桌桌面是長(zhǎng)AB=2.7m，寬AD=1.5m的矩形，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點(diǎn)，在E，F(xiàn)處設(shè)置高HE=0.15m的攔網(wǎng)．一次運(yùn)動(dòng)員在AD端發(fā)球，在P點(diǎn)擊打乒乓球后經(jīng)過(guò)桌面O點(diǎn)反彈后的運(yùn)行路徑近似二次項(xiàng)系數(shù)a=?427的拋物線的一部分．已知本次發(fā)球反彈點(diǎn)O在到桌面底邊AD的距離為0.1m，到桌面?zhèn)冗匒B的距離為0.1m處．若乒乓球沿著正前方飛行（垂直于BC），此時(shí)球在越過(guò)攔網(wǎng)時(shí)正好比攔網(wǎng)上端GH高0.1m，則乒乓球落在對(duì)面的落點(diǎn)Q到攔網(wǎng)EF的距離為m；若乒乓球運(yùn)行軌跡不變，飛行方向從O點(diǎn)反彈后飛向?qū)Ψ阶烂?，落點(diǎn)Q在距離BC為0.2m的5．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運(yùn)動(dòng)路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，籃球在O點(diǎn)正上方1.8m的點(diǎn)P處出手，籃球的高度ym與水平距離xm（1）求c的值；（2）求籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面的最大高度；（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過(guò)頭頂在對(duì)方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為BC=2.8m6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）海豚是生活在海洋里的一種動(dòng)物，它行動(dòng)敏捷，彈跳能力強(qiáng)．海豚表演是武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一．在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，海豚身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)行路線可以近似看成拋物線的一部分．如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)與海豚落水點(diǎn)所在的直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=ax2+2x，海豚在跳起過(guò)程中碰到（不改變海豚的運(yùn)動(dòng)路徑）飼養(yǎng)員放在空中的離O點(diǎn)水平距離為3m（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是163m時(shí)，距起跳點(diǎn)（3）在海豚起跳點(diǎn)與落水點(diǎn)之間漂浮著一個(gè)截面長(zhǎng)CD=6m，高DE=4m的泡沫箱，若海豚能夠順利跳過(guò)泡沫箱（不碰到），求點(diǎn)D橫坐標(biāo)7．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）為適應(yīng)2024年武漢市體育中考改革，學(xué)校購(gòu)入一臺(tái)羽毛球發(fā)球機(jī)，羽毛球飛行路線可以看作是拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)球機(jī)放置在球場(chǎng)中央離球網(wǎng)水平距離3m的點(diǎn)O處，球從點(diǎn)O正上方1.15m的A處發(fā)出，其運(yùn)行的高度ym與運(yùn)行的水平距離xm滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x?4)2+?（1）若?=2.75，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；②如果小明的身高為1.65m（2）如果小明的身高為1.75m，并且能在原地有效擊球，直接寫(xiě)出a8．（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)O向右上方沿拋物線L發(fā)出一個(gè)小球P，當(dāng)小球P達(dá)到最大高度3時(shí)，小球P移動(dòng)的水平距離為2．（1）求拋物線L的函數(shù)解析式；（2）求小球P在x軸上的落點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在x軸上的線段AB處，豎直向上擺放著若干個(gè)無(wú)蓋兒的長(zhǎng)方體小球回收箱，已知OA=3，且每個(gè)回收箱的寬、高分別是0.5、0.3，當(dāng)小球P恰好能落入回收箱內(nèi)（不含邊緣）時(shí)，求豎直擺放的回收箱的個(gè)數(shù)．9．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)女子排球比賽落幕．中國(guó)女排在決賽中以3:0擊敗日本隊(duì)，成功衛(wèi)冕，斬獲隊(duì)史亞運(yùn)第9冠．愛(ài)思考的小芳在觀看比賽時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實(shí)踐探究．經(jīng)實(shí)地測(cè)量可知，排球場(chǎng)地長(zhǎng)為18m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央且高度為2.24m．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點(diǎn)．記排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度為y（單位：m），距擊球點(diǎn)的水平距離為x（單位：小華第一次發(fā)球時(shí)，測(cè)得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：水平距離x04681112豎直高度y2.002.712.802.712.242.00（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式．（2）通過(guò)計(jì)算，判斷小華這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)，并說(shuō)明理由．（3）小華第二次發(fā)球時(shí)，假設(shè)她只改變擊球點(diǎn)高度，排球運(yùn)動(dòng)軌跡的拋物線形狀不變，在點(diǎn)O處上方擊球，既要過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界（排球壓線屬于沒(méi)出界）時(shí)，問(wèn)小華的擊球點(diǎn)高度?（單位：m）的取值范圍是多少？10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）乒乓球是我國(guó)國(guó)球，球臺(tái)長(zhǎng)為2.8m，中間處球網(wǎng)的高度為1.5dm．現(xiàn)有一臺(tái)乒乓球發(fā)球器，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，從第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線，乒乓球第一次接觸臺(tái)面在球網(wǎng)左側(cè)，越過(guò)球網(wǎng)（擦網(wǎng)不影響球運(yùn)動(dòng)軌跡）后，第二次接觸臺(tái)面在球網(wǎng)右側(cè)為成功發(fā)球．乒乓球大小忽略不計(jì)．如圖，當(dāng)發(fā)球器放在球臺(tái)左端時(shí)，通過(guò)測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：x(02468101214…y(3.362.521.680.8401.402.403…（1）直接寫(xiě)出球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（寫(xiě)出自變量的取值范圍）（2）求乒乓球第二次接觸臺(tái)面時(shí)與發(fā)球器出口的水平距離；（3）發(fā)球器有一個(gè)滑軌，可以讓發(fā)球口向右平移，若要成功發(fā)球，發(fā)球口最多向右平移多少dm？11．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在嘉嘉的一次投籃中，球出手時(shí)離地面高2米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米．籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米．（1）經(jīng)計(jì)算此球________（填寫(xiě)“能”或“不能”）投中．（2）若出手的角度、力度和高度都不變的情況下，求嘉嘉朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃才能將籃球投入籃圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都發(fā)生改變的情況下，但是拋物線的頂點(diǎn)等其他條件不變，求嘉嘉出手的高度需要增加多少米才能將籃球投入籃圈中？（4）若出手的角度、力度都改變，出手高度不變，籃圈的坐標(biāo)為6,3.44，球場(chǎng)上方有一組高6米的電線，要想在籃球不觸碰電線的情況下，將籃球投入籃圈中，直接寫(xiě)出二次函數(shù)解析式中a的取值范圍．12．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖是身高為1.75m的小明在距籃筐4m處跳起投籃的路線示意圖，籃球運(yùn)行軌跡可近似看作拋物線的一部分，球在小明頭頂上方0.25m的A處出手，在距離籃筐水平距離為1.5m處達(dá)到最大高度3.5m（1）求籃球運(yùn)行軌跡所在拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)小明按照如圖方式投籃出手時(shí)，小剛在小明與籃筐之間跳起防守，已知小剛最高能摸到2.7m（3）當(dāng)小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線形狀與跳起投籃時(shí)相同．若他想投中籃筐，則應(yīng)該向前走多遠(yuǎn)？(投籃時(shí)，球從下方穿過(guò)籃筐無(wú)效)13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）籃球是一項(xiàng)廣受喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)．學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，小江同學(xué)打籃球時(shí)發(fā)現(xiàn)，籃球投出時(shí)在空中的運(yùn)動(dòng)可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開(kāi)如下研究：如圖，籃框距離地面3m，某同學(xué)身高2m，站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的O（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球擊在籃框上方0.2m及以內(nèi)范圍的籃板上時(shí)，球會(huì)打板進(jìn)框．若該同學(xué)正對(duì)籃框，改用跳投的方式，出手點(diǎn)O位置升高了0.5m，要能保證進(jìn)球，求14．（2024·貴州黔西·一模）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；（3）將小球的運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線平移得到拋物線y=a(x??)2+k(a≠0)，當(dāng)平移后的拋物線與直線OA僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在線段OA上時(shí)，?15．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，排球運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為18m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央，高度為2.24m，排球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分．小樂(lè)在場(chǎng)地左側(cè)邊界處（距球網(wǎng)7m）練習(xí)發(fā)球，某次發(fā)球，擊球點(diǎn)的高度為2m，當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時(shí)達(dá)到最大高度（1）求此拋物線的解析式（不寫(xiě)自變量的取值范圍）．（2）通過(guò)計(jì)算判斷此球是否能夠過(guò)網(wǎng)．若能過(guò)網(wǎng)，請(qǐng)進(jìn)一步判斷是否會(huì)出界．（3）小樂(lè)繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，要使球既能過(guò)網(wǎng)又不出界，請(qǐng)直接寫(xiě)出發(fā)球點(diǎn)距離球網(wǎng)的距離d的取值范圍．（結(jié)果保留根號(hào)）16．（2024·河南濮陽(yáng)·二模）濮陽(yáng)雜技是一項(xiàng)非常古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．起源于春秋，興盛于明清，發(fā)展于現(xiàn)代，以功力深厚、技藝精湛著稱于世．如圖（1），“空中飛人”是雜技表演的壓軸節(jié)目，表演驚險(xiǎn)刺激，極具觀賞性，深受觀眾好評(píng)．如圖（2），演員從浪橋的旋轉(zhuǎn)木梯點(diǎn)F處拋出（將身體看成一點(diǎn)，身體擺動(dòng)忽略不計(jì)）飛到吊下的平臺(tái)AB上，其飛行路線可看作是拋物線的一部分．下面有一張平行于地面的保護(hù)網(wǎng)MN，以保護(hù)表演的演員安全．建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，已知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,8，OC=11.5m，CE=2m，EF=322（1）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B，且與y軸交于點(diǎn)H0,6（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)N的坐標(biāo)為8,72，為使演員在演出時(shí)不受傷害，求保護(hù)網(wǎng)MN（3）設(shè)該拋物線的關(guān)系式為y=ax2?8ax+c，拋射點(diǎn)F不變，為保證演員表演時(shí)落在平臺(tái)AB17．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）將小球（看作一點(diǎn)）以速度v1ms豎直上拋，上升速度隨時(shí)間推移逐漸減少直至0，此時(shí)小球達(dá)到最大高度，小球相對(duì)于拋出點(diǎn)的高度ym與時(shí)間ts的函數(shù)解析式為y=a（1）求小球上升的高度y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)范圍），并寫(xiě)出小球上升的最大高度；（2）向上拋出小球時(shí)再讓小球在水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)，且速度為v2ms，發(fā)現(xiàn)小球運(yùn)動(dòng)的路線為一拋物線，其相對(duì)于拋出點(diǎn)的高度ym與時(shí)間ts①若v2=4m②在①的條件下求小球上升的高度y與小球距拋出點(diǎn)的水平距離x之間的函數(shù)關(guān)系式；③在小球的正前方的墻上有一高1m的小窗戶PQ，其上沿P的坐標(biāo)為4,3，若小球恰好能從窗戶中穿過(guò)（不包括恰好擊中點(diǎn)P,Q，墻厚度不計(jì)），請(qǐng)直接寫(xiě)出小球的水平速度v18．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)科實(shí)踐問(wèn)題情境：某學(xué)校舉辦了校園科技節(jié)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，科學(xué)小組的同學(xué)自制了一個(gè)小型投石機(jī)，并在校園科技節(jié)主題活動(dòng)當(dāng)天進(jìn)行投石試驗(yàn)展示．試驗(yàn)步驟：第一步：如圖，在操場(chǎng)上放置一塊截面為△OCD的木板，該木板的水平寬度（OD=5米，豎直高度CD=0.5米，將投石機(jī)固定在點(diǎn)O處，緊貼木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墻；第二步：利用投石機(jī)將石塊(石塊大小忽略不計(jì)）從點(diǎn)A處拋出，石塊飛行到達(dá)最高點(diǎn)后開(kāi)始下降，最終落地，其中點(diǎn)A到地面的高度OA=0.3米，測(cè)得BC=0.7米．試驗(yàn)數(shù)據(jù)：科學(xué)小組的同學(xué)借助儀器得到石塊飛行過(guò)程中的一組數(shù)據(jù)：石塊飛到最高點(diǎn)P時(shí)離地面的高度PE為1.5米，飛行的水平距離OE為4米．問(wèn)題解決：已知石塊的飛行軌跡是拋物線的一部分，以O(shè)為原點(diǎn)，OG所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求石塊飛行軌跡對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在試驗(yàn)時(shí)，石塊越過(guò)了城墻后落地，求城墻的厚度BF的取值范圍；拓展應(yīng)用：（3）如圖，在進(jìn)行第二次試驗(yàn)前，小組同學(xué)準(zhǔn)備在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木桿用于瞄準(zhǔn)，為確保木桿不會(huì)被石塊擊中，則這支木桿的最大長(zhǎng)度是多少？專題22.6投球問(wèn)題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】擲實(shí)心球是某市中考體育考試的選考項(xiàng)目，小強(qiáng)為了解自己實(shí)心球的訓(xùn)練情況，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來(lái)研究實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)情況，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在一次投擲中，實(shí)心球從y軸上的點(diǎn)A0,2處出手，運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線的一部分，實(shí)心球在最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,3.6，落在x軸上的點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）某市男子實(shí)心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表：得分10095908580767066605040302010擲遠(yuǎn)（米）12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2請(qǐng)你求出小強(qiáng)在這次訓(xùn)練中的成績(jī)，并根據(jù)得分標(biāo)準(zhǔn)給小強(qiáng)打分；（3）若拋物線經(jīng)過(guò)Mm,y1，Nm+2,y2兩點(diǎn)，拋物線在M，N之間的部分為圖象H（包括M，N兩點(diǎn)），圖象【思路點(diǎn)撥】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B4,3.6，用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，進(jìn)而把A（2）取函數(shù)值為0，看球落地時(shí)x的值為多少，根據(jù)點(diǎn)C的位置，x取正值即為球拋出去的距離，根據(jù)所給表格可判斷應(yīng)得分?jǐn)?shù)；（3）根據(jù)題意得出y1=?0.1m2+0.8m+2【解題過(guò)程】（1）解：由題意可得，拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,3.6，設(shè)該拋物線的解析式為y=ax?4∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,2∴a0?4∴a=?0.1，∴該拋物線的解析式為：y=?0.1x?4（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，?0.1x?4解得：x1=10，∵點(diǎn)C在x軸的正半軸，∴x∴x1=10∵9.6<10<11.2，∴小強(qiáng)的得分是90分；（3）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Mm,y1∴yy2由題意可知，圖象H上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為15∴有以下四種情況：①如圖，當(dāng)0≤m<2時(shí)，y的值隨x的值的增大而增大，依題意，y2即：?0.1m解得：m=2.5，這與0≤m<2相矛盾，故舍去；②如圖，當(dāng)2≤m<3時(shí)，y最大值即：3.6??0.1解得：m=4+2或m=4?∵m=4+2與2≤m<3∴m=4?2③如圖，當(dāng)3≤m<4時(shí)，y最大值即：3.6??0.1解得：m=2+2或m=2?∵m=2?2與3≤m<4∴m=2+2④如圖，當(dāng)m≥4時(shí)，y的值隨x的值的增大而減小，依題意，y1即：?0.1m解得：m=3.5，這與m≥4相矛盾，故舍去；綜上所述：m=4?2或m=2+學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，將一個(gè)小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出，小球的拋出路線可以用拋物線y=4x?12x2刻畫(huà)，斜坡可以用直線A．小球落地點(diǎn)與點(diǎn)O的水平距離為7B．當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球與點(diǎn)O的水平距離為C．小球與點(diǎn)O的水平距離超過(guò)4mD．小球與斜坡的距離的最大值為49【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，令4x?12x2=12x，解得x1=0，x2=7，即可判斷A；把y=7.5代入y=4x?12x2得【解題過(guò)程】解：令4x?12x2=∴小球落地點(diǎn)與點(diǎn)O的水平距離為7m把y=7.5代入y=4x?12x解得：x1=3，∴當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球與點(diǎn)O的水平距離為3m或∵y=4x?1∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4，∵?1∴當(dāng)x>4時(shí)，y隨x的增大而減小，∴小球與點(diǎn)O的水平距離超過(guò)4m設(shè)拋物線上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,4a?1作AB⊥x軸交直線y=12x于B，∴AB=4a?1∵?1∴當(dāng)a=72時(shí)，AB有最大值，最大值為∴小球與斜坡的距離的最大值為498故選：B．2．（2024·遼寧鞍山·二模）如圖，小明站在原點(diǎn)處，從離地面高度為1m的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點(diǎn)C處，彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=ax?22+2，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，如果在地上擺放一個(gè)底面半徑為0.5m，高為0.5m的圓柱形筐，筐的最左端距離原點(diǎn)為n米，若要彈力球從A．7 B．9 C．10 D．8【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出第一次著地前的拋物線解析式，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，可得到第二次著地前拋物線的解析式，再根據(jù)圓柱形的高為0.5m，可求出當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左端、最右端時(shí)，n的值，進(jìn)而得到n【解題過(guò)程】解：由題可知：彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=ax?22+2，且過(guò)點(diǎn)A∴a=?1∴解析式為：y=?1當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值為2，令y=0，則?1解得：x1∴B2+2∵B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，∴其最大高度為：2×1∵彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，設(shè)處著地后彈起的拋物線解析式為：y=?1將點(diǎn)B2+22，解得：?=22∴該拋物線的解析式為：y=?1∴對(duì)稱軸為：x=22∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為2+22，0，則點(diǎn)C∵圓柱形的高為0.5m當(dāng)y=0.5時(shí)，則?1解得：x=4+32或x=4+∴當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左端時(shí)，n=4+32∵筐的底面半徑為0.5m，直徑為1∴當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最右端時(shí)，n=4+32∴3+32∴選項(xiàng)B，n=8滿足，故選：D．3．（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，嘉嘉用計(jì)算機(jī)編程模擬拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離，當(dāng)彈跳球以某種特定的角度從點(diǎn)P0,1處拋出后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線L，其最高點(diǎn)的坐標(biāo)為4,5．彈跳球落到斜面上的點(diǎn)A處反彈后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線L'，且開(kāi)口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的（1）拋物線L的解析式為；（2）若點(diǎn)A與點(diǎn)P的高度相同，且點(diǎn)A在拋物線L'的對(duì)稱軸的右側(cè)，則拋物線L'的對(duì)稱軸為直線【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線L的解析式為y=ax??12+k1（2）設(shè)拋物線L'的解析式為y=mx??22+k2，由對(duì)稱性可得點(diǎn)A8,1，由拋物線L'，且開(kāi)口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的25【解題過(guò)程】解：設(shè)拋物線L的解析式為y=ax??1由題意得，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是4,5，∴y=a(x?4)∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,1∴1=a解之，得a=?14y=?故答案為：y=?1（2）設(shè)拋物線L'的解析式為若點(diǎn)A與點(diǎn)P的高度相同，則點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線x=4對(duì)稱，∴點(diǎn)A8,1∵拋物線L的解析式為y=?1∴最高點(diǎn)的高度為5，∵拋物線L'，且開(kāi)口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的2則m=?14，∴y=?1將點(diǎn)A8,1代入可得1=?解得：?2∵?2∴?即拋物線L'的對(duì)稱軸為直線x=6故答案為：x=6．4．（23-24九年級(jí)上·浙江湖州·期末）如圖，乒乓球桌桌面是長(zhǎng)AB=2.7m，寬AD=1.5m的矩形，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點(diǎn)，在E，F(xiàn)處設(shè)置高HE=0.15m的攔網(wǎng)．一次運(yùn)動(dòng)員在AD端發(fā)球，在P點(diǎn)擊打乒乓球后經(jīng)過(guò)桌面O點(diǎn)反彈后的運(yùn)行路徑近似二次項(xiàng)系數(shù)a=?427的拋物線的一部分．已知本次發(fā)球反彈點(diǎn)O在到桌面底邊AD的距離為0.1m，到桌面?zhèn)冗匒B的距離為0.1m處．若乒乓球沿著正前方飛行（垂直于BC），此時(shí)球在越過(guò)攔網(wǎng)時(shí)正好比攔網(wǎng)上端GH高0.1m，則乒乓球落在對(duì)面的落點(diǎn)Q到攔網(wǎng)EF的距離為m；若乒乓球運(yùn)行軌跡不變，飛行方向從O點(diǎn)反彈后飛向?qū)Ψ阶烂妫潼c(diǎn)Q在距離BC為0.2m的【思路點(diǎn)撥】①如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得I1.25,0.25，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求出點(diǎn)Q②由題意可得Q2.4,0，由yO=yQ=0得到點(diǎn)O和點(diǎn)Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即Q點(diǎn)距AB也是0.1m本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】解：①如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，AE=1∴xI=1.35?0.1=1.25，設(shè)拋物線的解析式為y=?427x2+bx+c0=0+0+c0.25=?解得b=52∴拋物線的解析式為y=?4把yQ=0代入得，解得x1=0（不合，舍去），∴xQ∴落點(diǎn)Q到攔網(wǎng)EF的距離為135故答案為：1.35；②由題意可得，xQ∴Q2.4,0∵yO∴點(diǎn)O和點(diǎn)Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴Q點(diǎn)距AB也是0.1m設(shè)x軸交BC于點(diǎn)J，連接CQ，∵BC∥x軸，四邊形∴QJ=0.2m，BJ=0.1∴CJ=BC?BJ=1.5?0.1=1.4m∴CQ=Q故答案為：2．5．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運(yùn)動(dòng)路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，籃球在O點(diǎn)正上方1.8m的點(diǎn)P處出手，籃球的高度ym與水平距離xm（1）求c的值；（2）求籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面的最大高度；（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過(guò)頭頂在對(duì)方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為BC=2.8m【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=?18x（2）先得出該拋物線的解析式，再將其化為頂點(diǎn)式，即可解答；（3）求出y=2.8時(shí)x的值，結(jié)合“在下落過(guò)程中接住球”，即可解答．【解題過(guò)程】（1）解：由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,1.8，將P0,1.8代入y=?18（2）解：由（1）知c=1.8，∴y=?1∵a=?1∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值3.8，∴籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面的最大高度為3.8m（3）解：當(dāng)y=2.8時(shí)，2.8=?1解得：x1∵4?22∴x=4+22∴在球下落過(guò)程中小亮離小明的距離至少4+226．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）海豚是生活在海洋里的一種動(dòng)物，它行動(dòng)敏捷，彈跳能力強(qiáng)．海豚表演是武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一．在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，海豚身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)行路線可以近似看成拋物線的一部分．如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)與海豚落水點(diǎn)所在的直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=ax2+2x，海豚在跳起過(guò)程中碰到（不改變海豚的運(yùn)動(dòng)路徑）飼養(yǎng)員放在空中的離O點(diǎn)水平距離為3m（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是163m時(shí)，距起跳點(diǎn)（3）在海豚起跳點(diǎn)與落水點(diǎn)之間漂浮著一個(gè)截面長(zhǎng)CD=6m，高DE=4m的泡沫箱，若海豚能夠順利跳過(guò)泡沫箱（不碰到），求點(diǎn)D橫坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式然后配方得到最大值即可；（2）令y=16（3）令y=4，解出x的值，然后借助圖象解題即可．【解題過(guò)程】（1）由拋物線y=ax2+2x得4.5=9a+2×3a=?∴y=?=?=?∴海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是6m．（2）依題意得：y=?解得x答：海豚距起跳點(diǎn)O的水平距離是8m或4m．（3）若海豚恰好接觸到紙箱邊緣，則點(diǎn)F或點(diǎn)E在拋物線上，令y=4，則?1解得x1當(dāng)點(diǎn)F在拋物線上時(shí)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)n為12?23當(dāng)點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)n為6+23∴n的取值范圍是12?237．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）為適應(yīng)2024年武漢市體育中考改革，學(xué)校購(gòu)入一臺(tái)羽毛球發(fā)球機(jī)，羽毛球飛行路線可以看作是拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)球機(jī)放置在球場(chǎng)中央離球網(wǎng)水平距離3m的點(diǎn)O處，球從點(diǎn)O正上方1.15m的A處發(fā)出，其運(yùn)行的高度ym與運(yùn)行的水平距離xm滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x?4)2+?（1）若?=2.75，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；②如果小明的身高為1.65m（2）如果小明的身高為1.75m，并且能在原地有效擊球，直接寫(xiě)出a【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）①利用待定系數(shù)法求解即可；②令x=6，求出有效擊球點(diǎn)的高度即可求解；（2）由題意得：有效擊球點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35≤y≤2.55，將點(diǎn)(6,2.35)、(6,2.55)分別代入解析式求出a的值，即可得出取值范圍；熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題是關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）解：①當(dāng)?=2.75時(shí)，y=a(x?4)∵它過(guò)(0,1.15)，∴1.15=a(0?4)∴a=?1∴y=?1②他能在原地有效擊球；理由如下：由（1）可知，y=?1令x=6得y=?1解得：y=2.35∵2.35?1.65=0.7m∴0.6∴能在原地有效擊球；（2）由題意得：有效擊球點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35≤y≤2.55，當(dāng)拋物線y=a(x?4)2+?過(guò)點(diǎn)(0,1.15)1.15=a0?42+?當(dāng)拋物線y=a(x?4)2+?過(guò)點(diǎn)(0,1.15)1.15=a0?42+?∴?7∴a的取值范圍：?78．（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)O向右上方沿拋物線L發(fā)出一個(gè)小球P，當(dāng)小球P達(dá)到最大高度3時(shí)，小球P移動(dòng)的水平距離為2．（1）求拋物線L的函數(shù)解析式；（2）求小球P在x軸上的落點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在x軸上的線段AB處，豎直向上擺放著若干個(gè)無(wú)蓋兒的長(zhǎng)方體小球回收箱，已知OA=3，且每個(gè)回收箱的寬、高分別是0.5、0.3，當(dāng)小球P恰好能落入回收箱內(nèi)（不含邊緣）時(shí)，求豎直擺放的回收箱的個(gè)數(shù)．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）由題意知，拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）對(duì)于y=?34x?2（3）由題意先求出，當(dāng)x=3和x=3.5時(shí)，求得對(duì)應(yīng)y的值，再設(shè)豎直擺放的回收箱有m個(gè)，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組，求出m的整數(shù)解即可．【解題過(guò)程】（1）解：∵從原點(diǎn)O向右上方沿拋物線L發(fā)出一個(gè)小球P，當(dāng)小球P達(dá)到最大高度3時(shí)，小球P移動(dòng)的水平距離為2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，∴設(shè)拋物線L對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=ax?2把0,0代入得0=a?0?2解得a=?3∴拋物線L對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=?3（2）解：對(duì)于y=?3令y=0，則0=?3解得x1=0，∴小球P在x軸上的落點(diǎn)坐標(biāo)為4,0；（3）解：∵OA=3，AB=0.5，∴OB=3.5，對(duì)于y=?3當(dāng)x=3時(shí)，y=?3當(dāng)x=3.5時(shí)，y=?3設(shè)豎直擺放的回收箱有m個(gè)，則1116解得5524∵m是正整數(shù)，∴m可以是3或4或5或6或7，答：豎直擺放的回收箱的個(gè)數(shù)為3個(gè)或4個(gè)或5個(gè)或6個(gè)或7個(gè)．9．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)女子排球比賽落幕．中國(guó)女排在決賽中以3:0擊敗日本隊(duì)，成功衛(wèi)冕，斬獲隊(duì)史亞運(yùn)第9冠．愛(ài)思考的小芳在觀看比賽時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實(shí)踐探究．經(jīng)實(shí)地測(cè)量可知，排球場(chǎng)地長(zhǎng)為18m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央且高度為2.24m．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點(diǎn)．記排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度為y（單位：m），距擊球點(diǎn)的水平距離為x（單位：小華第一次發(fā)球時(shí)，測(cè)得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：水平距離x04681112豎直高度y2.002.712.802.712.242.00（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式．（2）通過(guò)計(jì)算，判斷小華這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)，并說(shuō)明理由．（3）小華第二次發(fā)球時(shí)，假設(shè)她只改變擊球點(diǎn)高度，排球運(yùn)動(dòng)軌跡的拋物線形狀不變，在點(diǎn)O處上方擊球，既要過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界（排球壓線屬于沒(méi)出界）時(shí)，問(wèn)小華的擊球點(diǎn)高度?（單位：m）的取值范圍是多少？【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x?6)2+2.8（2）將x=9代入拋物線解析式，求得y值與2.24比較即可；（3）設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為y=?1【解題過(guò)程】（1）解：由表格，可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2.8)；設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x?6)將(0,2)代入，得2=a(0?6)解得a=?1經(jīng)檢驗(yàn)，表格中其他數(shù)據(jù)(x,y)也滿足上述關(guān)系．∴排球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離滿足的函數(shù)表達(dá)式為：y=?1（2）能，理由如下：當(dāng)x=9時(shí)，y=?1∵2.6>2.24，∴小華這次發(fā)球能過(guò)網(wǎng)；（3）設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為：y=?1把x=9，y=2.24代入y=?1解得k=2.44．∴y=?1把x=0代入y=?1解得y=1.64．把x=18，y=0代入y=?1解得k=3.2．∴y=?1把x=0代入y=?1解得y=2.4．∴小華的擊球點(diǎn)高度?的取值范圍是1.64<?≤2.4．10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）乒乓球是我國(guó)國(guó)球，球臺(tái)長(zhǎng)為2.8m，中間處球網(wǎng)的高度為1.5dm．現(xiàn)有一臺(tái)乒乓球發(fā)球器，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，從第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線，乒乓球第一次接觸臺(tái)面在球網(wǎng)左側(cè)，越過(guò)球網(wǎng)（擦網(wǎng)不影響球運(yùn)動(dòng)軌跡）后，第二次接觸臺(tái)面在球網(wǎng)右側(cè)為成功發(fā)球．乒乓球大小忽略不計(jì)．如圖，當(dāng)發(fā)球器放在球臺(tái)左端時(shí)，通過(guò)測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：x(02468101214…y(3.362.521.680.8401.402.403…（1）直接寫(xiě)出球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（寫(xiě)出自變量的取值范圍）（2）求乒乓球第二次接觸臺(tái)面時(shí)與發(fā)球器出口的水平距離；（3）發(fā)球器有一個(gè)滑軌，可以讓發(fā)球口向右平移，若要成功發(fā)球，發(fā)球口最多向右平移多少dm？【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．理解發(fā)球口最多平移的距離是球臺(tái)的一半長(zhǎng)減去剛好擦網(wǎng)時(shí)得到的距離發(fā)球器出口的水平距離是解決本題的難點(diǎn)．（1）易得球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b(k≠0)，把表格中的前兩組數(shù)據(jù)代入可得k和b的值，觀察表格中的數(shù)據(jù)可得一次函數(shù)自變量的取值在0和8之間；（2）觀察表格中的數(shù)據(jù)和所給函數(shù)圖象可得當(dāng)x>8時(shí)，函數(shù)圖象為二次函數(shù)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為一般式，把表格中的從8開(kāi)始的三組數(shù)據(jù)代入可得二次函數(shù)的解析式；取y=0，求得相應(yīng)的x的值，取較大的值即為乒乓球第二次接觸臺(tái)面時(shí)與發(fā)球器出口的水平距離；（3）取y=1.5，代入拋物線解析式，求得對(duì)應(yīng)的x的值；易得球臺(tái)長(zhǎng)28dm，那么球臺(tái)的一半長(zhǎng)14dm，取球臺(tái)的一半長(zhǎng)減去較小的【解題過(guò)程】（1）解：∵球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，∴設(shè)y=kx+b(k≠0)．∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3.36)，(2,2.52)．∴k=?0.42b=3.36∴球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=?0.42x+3.36(0≤x≤8)；（2）解：當(dāng)x>8時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為：y=ax∴64a+8b+c=0100a+10b+c=1.4解得：a=?0.05b=1.6∴y=?0.05x當(dāng)y=0時(shí)，0=?0.05x整理得：x2(x?24)(x?8)=0．解得：x1=24，答：乒乓球第二次接觸臺(tái)面時(shí)與發(fā)球器出口的水平距離為24dm；（3）解：∵2.8m∴球臺(tái)的一半長(zhǎng)14dm當(dāng)y=1.5時(shí)，1.5=?0.05x整理得：x2解得：x1=16+34∴14?16?∵28?24=4，34?2<4∴發(fā)球口最多向右平移34?211．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在嘉嘉的一次投籃中，球出手時(shí)離地面高2米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米．籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米．（1）經(jīng)計(jì)算此球________（填寫(xiě)“能”或“不能”）投中．（2）若出手的角度、力度和高度都不變的情況下，求嘉嘉朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃才能將籃球投入籃圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都發(fā)生改變的情況下，但是拋物線的頂點(diǎn)等其他條件不變，求嘉嘉出手的高度需要增加多少米才能將籃球投入籃圈中？（4）若出手的角度、力度都改變，出手高度不變，籃圈的坐標(biāo)為6,3.44，球場(chǎng)上方有一組高6米的電線，要想在籃球不觸碰電線的情況下，將籃球投入籃圈中，直接寫(xiě)出二次函數(shù)解析式中a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）待定系數(shù)法求得解析式，當(dāng)x=7時(shí)代入解析式，即可求解；（2）設(shè)y=?18(x?4??)（3）設(shè)y=a(x?4)2+4（4）分別求得臨界點(diǎn)時(shí)的解析式，即可求解；設(shè)y=a(x?b)2+6，代入點(diǎn)(0,2)，(6,3.44)，待定系數(shù)法得出a=?925【解題過(guò)程】（1）解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為(4,4)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?4)∵過(guò)點(diǎn)(0,2)，∴2=16a+4，∴a=?18，即當(dāng)x=7時(shí)，y=?9故答案為：不能．（2）解：設(shè)向前平移?米，由題意可得y=?18(x?4??)得3=?18(7?4??)根據(jù)實(shí)際情況3?22，即向前平移3?2（3）解：設(shè)y=a(x?4)因?yàn)橥吨谢@筐，即代入x=7，y=3得3=a7?4解得a=?19，即當(dāng)x=0時(shí)，y=209，209（4）解：設(shè)y=a(x?b)2+6，代入點(diǎn)(0,2)，(6,3.44)解得a=?9設(shè)y=a(x?6)∵過(guò)點(diǎn)(0,2)代入得2=36a+3.44，得a=?125，所以12．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖是身高為1.75m的小明在距籃筐4m處跳起投籃的路線示意圖，籃球運(yùn)行軌跡可近似看作拋物線的一部分，球在小明頭頂上方0.25m的A處出手，在距離籃筐水平距離為1.5m處達(dá)到最大高度3.5m（1）求籃球運(yùn)行軌跡所在拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)小明按照如圖方式投籃出手時(shí)，小剛在小明與籃筐之間跳起防守，已知小剛最高能摸到2.7m（3）當(dāng)小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線形狀與跳起投籃時(shí)相同．若他想投中籃筐，則應(yīng)該向前走多遠(yuǎn)？(投籃時(shí)，球從下方穿過(guò)籃筐無(wú)效)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?m)2+3.5，可得拋物線為y=a(x?2.5)2（2）令y=2.7，求得x1=4.5，（3）依據(jù)題意，設(shè)球出手時(shí)，小明跳離地面的高度為?m，則球出手時(shí)，球的高度為?+1.75+0.25=(?+2)m，代入拋物線，從而可得?，故球出手時(shí)，小明跳離地面的高度是0.25m，再結(jié)合當(dāng)小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線形狀與跳起投籃時(shí)相同，可得小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線為y+0.25=?0.2(x?2.5)2+3.5，再令【解題過(guò)程】（1）解：由題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?m)∵m=4?1.5=2.5，∴拋物線為y=a(x?2.5)由于拋物線過(guò)(4,3.05)，∴a×2.25+3.5=3.05．∴a=?1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：令y=2.7，則2.7=?0.2x?2.5解得x1=4.5，∵此時(shí)小明與籃筐的距離為4m∴x=0.5，∴小明投籃出手時(shí)，小剛與小明的距離在0.5m（3）解：設(shè)球出手時(shí)，小明跳離地面的高度為?m，則球出手時(shí)，球的高度為?+1.75+0.25=(?+2)∵拋物線y=?0.2(x?2.5)2+3.5∴?+2=?0.2x(0?2.5)∴?=0.25．∴球出手時(shí)，小明跳離地面的高度是0.25m∵當(dāng)小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線形狀與跳起投籃時(shí)相同，∴小明不起跳直接投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的拋物線為y+0.25=?0.2(x?2.5)∴y=?0.2(x?2.5)當(dāng)y=3.05時(shí)，?0.2(x?2.5)解得x1=1.5，∴小明與籃筐的距離為3.5m或1.5∴他應(yīng)該向前走4?3.5=0.5m或4?1.5=2.5∴若小明想投中籃筐，則應(yīng)該向前走0.5m13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）籃球是一項(xiàng)廣受喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)．學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，小江同學(xué)打籃球時(shí)發(fā)現(xiàn)，籃球投出時(shí)在空中的運(yùn)動(dòng)可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開(kāi)如下研究：如圖，籃框距離地面3m，某同學(xué)身高2m，站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的O（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球擊在籃框上方0.2m及以內(nèi)范圍的籃板上時(shí)，球會(huì)打板進(jìn)框．若該同學(xué)正對(duì)籃框，改用跳投的方式，出手點(diǎn)O位置升高了0.5m，要能保證進(jìn)球，求【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,1，則設(shè)其表達(dá)式為y=ax?4（2）由（1）可設(shè)拋物線C'的表達(dá)式為y'=?116x??2+k，結(jié)合題意可知拋物線C'的拋球點(diǎn)位t,0.5，k=1+1.5=1.5，t<4，將其代入求得t??=?4，則?=t+4計(jì)算出y'=1，y'=1.2時(shí)，【解題過(guò)程】（1）解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,1，則設(shè)其表達(dá)式為y=ax?4將O0,0代入，可得：16a+1=0∴a=?1∴拋物線C的表達(dá)式為y=?1（2）解：由（1）可設(shè)拋物線C'的表達(dá)式為y∵改用跳投的方式，出手點(diǎn)O位置升高了0.5m則拋物線C'的最高點(diǎn)拋物線C的基礎(chǔ)上升高0.5∴拋物線C'的拋球點(diǎn)位t,0.5，k=1+1.5=1.5，t<4將其代入y'=?1解得：t??=±4，由球的運(yùn)動(dòng)可知，最高點(diǎn)在拋出點(diǎn)的右側(cè)，則?>t，∴t??=?4，則?=t+4，∴y∵當(dāng)球擊在籃框上方0.2m∴當(dāng)x=4時(shí)，4?3≤y'≤4?3+0.2若y'=1，則?1此時(shí)距離藍(lán)框的距離L=4?t=4?22或4+2若y'=1.2，則?1此時(shí)距離藍(lán)框的距離L=4?t=4?2305即：4?22≤L≤4?亦即：1.2≤L≤1.8或6.2≤L≤6.8．14．（2024·貴州黔西·一模）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；（3）將小球的運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線平移得到拋物線y=a(x??)2+k(a≠0)，當(dāng)平移后的拋物線與直線OA僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在線段OA上時(shí)，?【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?4)2+8（2）依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）依據(jù)題意，由平移后的拋物線與直線OA僅有一個(gè)交點(diǎn)，從而平移后拋物線與直線OA相切，進(jìn)而設(shè)將OA向上平移m個(gè)單位與二次函數(shù)y=?12(x?4)2+8相切，進(jìn)而可得m=498，此時(shí)切點(diǎn)為72,638，反過(guò)來(lái)，將拋物線y=?12(x?4)2+8向下平移498個(gè)單位可與OA相切，即y=?12(x?4)2【解題過(guò)程】（1）解：由題意，∵小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8)，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?4)把(0,0)代入得，0=a(0?4)解得：a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）由題意，小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的高度?=?1∴小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度為498（3）由題意，∵平移后的拋物線與直線OA僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴平移后拋物線與直線OA相切．設(shè)將OA向上平移m個(gè)單位與二次函數(shù)y=?1∴y=12x+my=?1∴m=498，此時(shí)切點(diǎn)為∴反過(guò)來(lái)，將拋物線y=?12(x?4)2+8即y=?12(x?4)2+又y=1∴x=0y=0或x=7∴A(7,7∵切點(diǎn)在OA之間移動(dòng)，即切點(diǎn)72,74由∴切點(diǎn)變化到O時(shí)，橫坐標(biāo)減去72，縱坐標(biāo)減去74；切點(diǎn)變化到A時(shí)，橫坐標(biāo)加上72∴頂點(diǎn)(4,15∴根據(jù)以上點(diǎn)的平移規(guī)律得，頂點(diǎn)(4,158)應(yīng)該是由4?72,15∴12故答案為：1215．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，排球運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為18m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央，高度為2.24m，排球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分．小樂(lè)在場(chǎng)地左側(cè)邊界處（距球網(wǎng)7m）練習(xí)發(fā)球，某次發(fā)球，擊球點(diǎn)的高度為2m，當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時(shí)達(dá)到最大高度（1）求此拋物線的解析式（不寫(xiě)自變量的取值范圍）．（2）通過(guò)計(jì)算判斷此球是否能夠過(guò)網(wǎng)．若能過(guò)網(wǎng)，請(qǐng)進(jìn)一步判斷是否會(huì)出界．（3）小樂(lè)繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，要使球既能過(guò)網(wǎng)又不出界，請(qǐng)直接寫(xiě)出發(fā)球點(diǎn)距離球網(wǎng)的距離d的取值范圍．（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)排球飛行的水平距離為5m時(shí)達(dá)到最大高度2.5m，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）計(jì)算當(dāng)x=0時(shí)，y的值，與2.24比較；再根據(jù)右邊界的坐標(biāo)為(9,0)，令y=0，求出x值與9比較即可；（3）小樂(lè)繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，設(shè)擊出的排球軌跡為y=?1【解題過(guò)程】（1）解：∵當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時(shí)達(dá)到最大高度2.5m，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,2.5)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)∵點(diǎn)(?7,2)在拋物線上，∴2=a(?7+2)2+∴y=?1（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?1∴此球能夠過(guò)網(wǎng)；根據(jù)題意得右邊界的坐標(biāo)為(9,0)∴當(dāng)y=0時(shí)，?1解得x1=55∵55∴不會(huì)落在界內(nèi)，會(huì)出界．（3）解：小樂(lè)繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，∴設(shè)擊出的排球軌跡為y=?1當(dāng)該軌跡經(jīng)過(guò)球網(wǎng)的頂端坐標(biāo)(0,2.24)時(shí)，?150?2+∴y=?1此時(shí)當(dāng)y=2時(shí)，解得：x=5?13（舍去）或x=?5?∴d=5+13當(dāng)該軌跡經(jīng)過(guò)右邊界的坐標(biāo)(9,0)時(shí)，?1解得?=?9+55∴y=?1此時(shí)當(dāng)y=2時(shí)，x=4?55或x=14?5∴d=55經(jīng)過(guò)分析，若排球既能過(guò)網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），5516．（2024·河南濮陽(yáng)·二模）濮陽(yáng)雜技是一項(xiàng)非常古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．起源于春秋，興盛于明清，發(fā)展于現(xiàn)代，以功力深厚、技藝精湛著稱于世．如圖（1），“空中飛人”是雜技表演的壓軸節(jié)目，表演驚險(xiǎn)刺激，極具觀賞性，深受觀眾好評(píng)．如圖（2），演員從浪橋的旋轉(zhuǎn)木梯點(diǎn)F處拋出（將身體看成一點(diǎn)，身體擺動(dòng)忽略不計(jì)）飛到吊下的平臺(tái)AB上，其飛行路線可看作是拋物線的一部分．下面有一張平行于地面的保護(hù)網(wǎng)MN，以保護(hù)表演的演員安全．建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，已知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,8，OC=11.5m，CE=2m，EF=322（1）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B，且與y軸交于點(diǎn)H0,6（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)N的坐標(biāo)為8,72，為使演員在演出時(shí)不受傷害，求保護(hù)網(wǎng)MN（3）設(shè)該拋物線的關(guān)系式為y=ax2?8ax+c，拋射點(diǎn)F不變，為保證演員表演時(shí)落在平臺(tái)AB【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（1）過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EJ⊥FK，先求出F10，3.5（2）由MN平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為8，72，得出點(diǎn)M（3）由發(fā)射點(diǎn)F不變，得出拋物線一定經(jīng)過(guò)F10,3.5，然后分再經(jīng)過(guò)A0,8，【解題過(guò)程】（1）過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EJ⊥FK，∵∠FEC=135°,∴∠FEJ=45°∴△FEJ為等腰直角三角形，∴FJ=EJ，∵EF=3∴FJ∴FJ=EJ=1.5m∴OC=11.5m，CE=2∴OK=11.5?1.5=10，F(xiàn)K=2+1.5=3.5，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為10，∵AB=1m，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，∵拋物線y軸交于點(diǎn)H0∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax將點(diǎn)B1，8和點(diǎn)Fa+b+6=8解得：a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）∵M(jìn)N平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為8，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為72當(dāng)y=72時(shí)，代入拋物線解析式得解得：x1=10（舍去），∴MN=8??1=9，即保護(hù)網(wǎng)MN（線段（3）由（1）知：A0,8，B1,8，∵發(fā)射點(diǎn)F不變，∴拋物線一定經(jīng)過(guò)F10,3.5∴當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)A0,8，F(xiàn)代入y=ax2?8ax+c∴a=?9當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)B1,8，F(xiàn)代入y=ax2?8ax+c∴a=?1∵拋物線必經(jīng)過(guò)平臺(tái)AB，∴?917．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）將小球（看作一點(diǎn)）以速度v1ms豎直上拋，上升速度隨時(shí)間推移逐漸減少直至0，此時(shí)小球達(dá)到最大高度，小球相對(duì)于拋出點(diǎn)的高度ym與時(shí)間ts的函數(shù)解析式為y=a（1）求小球上升的高度y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)范圍），并寫(xiě)出小球上升的最大高度；（2）向上拋出小球時(shí)再讓小球在水平方向