2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第16講：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)總結(jié)(精講)(學(xué)生版+解析)

第16講：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：求切線問題 1題型二：公切線問題 4題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù) 8題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題） 11題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式 15題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論） 18題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 24題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 30題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題 35題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題 39題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題 42第二部分：新定義題 49第一部分：典型例題講解題型一：求切線問題1．（2024·陜西西安·二模）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線為曲線過點(diǎn)的切線.則直線的方程為.4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線互相垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程.5．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.題型二：公切線問題1．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若直線既和曲線相切，又和曲線相切，則稱為曲線和的公切線.曲線和曲線：的公切線方程為（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．4．（23-24高二上·重慶·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線，曲線，求證：與相切，并求其公切線的方程.題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·遼寧·期末）已知過點(diǎn)作的曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西寶雞·二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）1．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．e B．1 C． D．3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則不等式的解集為A． B． C． D．2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論）1．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.2．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；(3)討論的單調(diào)性．3．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，，證明不等式；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域（）；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)討論的極值.2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)求的極大值與極小值之和的取值范圍.3．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．5．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)令，求的單調(diào)區(qū)間；(3)已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，且極小值為.(1)求的值；(2)求在上的值域.2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求在區(qū)間上的最大值.4．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值.5．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)增區(qū)間；(2)試求在上的最大值.題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.4．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題1．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在處取得極值為.(1)求：值;(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．(1)求的解析式；(2)求在處的切線方程；(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．3．（23-24高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.4．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：.第二部分：新定義題1．（23-24高三上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，其中F、D為非零實(shí)數(shù)，則稱為函數(shù)的“篤志點(diǎn)”.①已知函數(shù)，且函數(shù)有且只有3個(gè)“篤志點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②定義在R上的函數(shù)滿足：存在唯一實(shí)數(shù)m，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得恒成立或恒成立.對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，討論函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)的奇偶性，并說明理由2．（2023·上海嘉定·一模）對(duì)于函數(shù)，把稱為函數(shù)的一階導(dǎo)，令，則將稱為函數(shù)的二階導(dǎo)，以此類推得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用表示.(1)已知函數(shù)，寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)列：在取作為數(shù)列的首項(xiàng)，并將作為數(shù)列的第項(xiàng).我們稱該數(shù)列為的“n階導(dǎo)數(shù)列”①若函數(shù)（），數(shù)列是的“n階導(dǎo)數(shù)列”，取Tn為的前n項(xiàng)積，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.（寫出一個(gè)即可）3．（2023·上海金山·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說明理由；(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．第16講：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：求切線問題 1題型二：公切線問題 4題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù) 8題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題） 11題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式 15題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論） 18題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 24題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 30題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題 35題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題 39題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題 42第二部分：新定義題 49第一部分：典型例題講解題型一：求切線問題1．（2024·陜西西安·二模）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】把切點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求出，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出k，再把代入求．【詳解】∵點(diǎn)在曲線上，，解得，由題意得，，∴在點(diǎn)處的切線斜率，把代入，得，故選：D．2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．【答案】【分析】求出，可求得的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線的方程【詳解】由，則，且，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，故答案為：3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線為曲線過點(diǎn)的切線.則直線的方程為.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出，再回代得切線方程．【詳解】∵，∴.

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的斜率為，∴過點(diǎn)的切線方程為，即，又點(diǎn)在切線上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切線方程為或.故答案為：或.4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線互相垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線垂直斜率間的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）設(shè)出切點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】（1），由題意可得，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，故，整理得，即，故或，當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，即，故此切線的方程為或.5．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，點(diǎn)在曲線，則，所以，，所以，，則，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得或，當(dāng)時(shí)，所求切線方程為；當(dāng)時(shí)，所求切線方程為.綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線方程為或.題型二：公切線問題1．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若直線既和曲線相切，又和曲線相切，則稱為曲線和的公切線.曲線和曲線：的公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知公切線的斜率為和，則，分類討論當(dāng)曲線與的切點(diǎn)相同與不相同的情況，求出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】由，得，由得，設(shè)曲線的公切線與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以.當(dāng)曲線與的切點(diǎn)相同時(shí)，，解得，所以切點(diǎn)為，此時(shí)公切線的方程為；當(dāng)曲線與曲線的切點(diǎn)不同時(shí)，，得，所以，即，解得，此時(shí)與矛盾，故不存在兩切點(diǎn)不同的情況，綜上可得：切點(diǎn)的坐標(biāo)為，公切線的方程為.故選：A.2．（多選）（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.3．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)題意得到，記，分類討論a與1的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析求解.【詳解】設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即；設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即；由題意知，因?yàn)?，可知，由可得，將其代入可得：，令，則在上有零點(diǎn)，令，則，令，解得；令，解得；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，故在上恒有零點(diǎn)，從而恒成立；當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線的切線問題主要分兩大類：一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)和斜率即可；另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率以及切線方程，根據(jù)所過的點(diǎn)求切點(diǎn)，得出切線方程.4．（23-24高二上·重慶·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出曲線與公切線的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出t的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.【詳解】由題意得，，設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與的圖象存在公切線，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，故，綜合得實(shí)數(shù)t的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答時(shí)要設(shè)出曲線與公切線的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，關(guān)鍵在于由此結(jié)合該關(guān)系求得參數(shù)t的表達(dá)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線，曲線，求證：與相切，并求其公切線的方程.【答案】證明見解析，公切線方程為【分析】聯(lián)立兩曲線方程可得，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)證明出，且在公共點(diǎn)處切線斜率相等，可證得結(jié)論成立，再利用點(diǎn)斜式可得出公切線的方程.【詳解】解：聯(lián)立，可得，令，其中，，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，即函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程僅有唯一根，故方程組僅有一組解，由已知可得，，則，，所以，所以與相切于點(diǎn)，所以其公切線方程為，即（如圖）.

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線方程，代入，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，在點(diǎn)處的切線方程為：；切線過點(diǎn)，，過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，又，.故選：C.2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，過點(diǎn)，代入化簡得，將問題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡得，∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.令，求導(dǎo)得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.3．（23-24高二下·遼寧·期末）已知過點(diǎn)作的曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再構(gòu)造函數(shù)把有兩條切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)解決問題即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，所以，整理得，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減,且．，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,故．故選：D.4．（2023·陜西寶雞·二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)，得到，設(shè)，求得，得出函數(shù)單調(diào)性和極值，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由函數(shù)，可得，則所以在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理得，設(shè)，所以，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使得過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）1．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】若函數(shù)，則，由題意可知，，恒成立，即，恒成立，設(shè)，，恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，即，所以.故選：D2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．e B．1 C． D．【答案】D【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．故選：D.3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故選：C4．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，所以，故選：D．5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不等根計(jì)算即可.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，，要使函?shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得且，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.6．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，則有，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，令求出極值點(diǎn)，使極值點(diǎn)在內(nèi)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，即，，令，得或（舍去），因?yàn)樵诙x域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：A7．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點(diǎn)，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增.由，得，得.故選：C2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將和轉(zhuǎn)化為都以為底的對(duì)數(shù)即可比較和，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷和大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，所以，設(shè)，所以，令，則，因?yàn)樵谛∮?，在大于，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，，所以，所以.故選：D.3．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合作差法比較即可.【詳解】因?yàn)?，，，令，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，，又，所以，所以，?故選：D.4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，判定其單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可令，所以在上單調(diào)遞減，則原不等式等價(jià)于，由，解之得.故選：B5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性則比較出，利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較出，則最終得到三者大小.【詳解】先變形，令，下面比較當(dāng)時(shí)，與的大小.①令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.②，所以，，所以，則，所以.綜上，，故選：D.6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而得到，化簡后得到答案.【詳解】令，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即.故選：B題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論）1．（2024高二·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)0(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值即可.（2）含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；故；（2）定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得.于是在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.2．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；(3)討論的單調(diào)性．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性的步驟即可求解；（2）將所求問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用一元二次不等式在區(qū)間恒成立的解決方法即可求解；（3）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性的步驟，注意分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令則，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，開口向下；綜上，要使得在上恒成立，只需，解得，所以的取值范圍為.（3）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令則，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，，證明不等式；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)1(2)證明見詳解(3)答案見詳解【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值；（2）構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析證明；（3）求導(dǎo)，分類討論最高項(xiàng)系數(shù)以及兩根大小，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，則，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)，.（3）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，（i）若，可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；③當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上所述：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.4．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域（）；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意得，再求導(dǎo)后分別求出單調(diào)性，從而可求解.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后分情況討論的情況，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出相關(guān)單調(diào)性，從而可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，令，得或(舍去)，當(dāng)時(shí)，，，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，所以當(dāng)，，，又因?yàn)?，因?yàn)椋藭r(shí)，，故在上的值域?yàn)?（2），，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.【答案】當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】通過求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行正負(fù)判斷，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題得，令得，①若，即當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增；②若，即當(dāng)或時(shí)，可得的兩根分別為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單增；當(dāng)或時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)討論的極值.【答案】(1)；(2)極大值為，無極小值.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性求出極值即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)求的極大值與極小值之和的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，根據(jù)條件，得到有兩個(gè)不同的正根，再利用二次函數(shù)根的分布，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）得到，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），且定義域?yàn)?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，且，所以有兩個(gè)不同的正根，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）由（1）可知，，不妨設(shè)，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的極大值與極小值之和的取值范圍是.3．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，又，所以，由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意知，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得出結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，無極大值；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數(shù)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.5．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)令，求的單調(diào)區(qū)間；(3)已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系即可求解；（2）分和兩種情況，然后求解不等式和即可得到的單調(diào)區(qū)間；（3）對(duì)不同區(qū)間的進(jìn)行分類討論，并判斷在附近的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）若，則，從而，故，從而曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線為直線.又，故所求切線方程為.（2）由，知.當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；從而的解集是，的解集是.這表明在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）首先我們有.當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.這意味著當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在和上均單調(diào)遞減，從而不是的極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，而，故在上單調(diào)遞增.這表明當(dāng)時(shí)，有，從而在上單調(diào)遞增，故不可能是的極大值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增.這表明當(dāng)時(shí)，有，從而在上單調(diào)遞增，故不可能是的極大值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞減.注意到此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，這說明是的極大值點(diǎn)，滿足條件.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第三問中，關(guān)鍵點(diǎn)在于附近的單調(diào)性，從而在的情況下，需要仔細(xì)比較和的大小關(guān)系，也就是和的大小關(guān)系，這是分類討論的一大出發(fā)點(diǎn).題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，且極小值為.(1)求的值；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系結(jié)合已知條件列方程組求解即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求值域即可.【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值，且極小值為，所以，解得，此時(shí)，滿足在處取得極小值，故.（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，又因?yàn)?，所以在上的最小值為，故在上的值域?yàn)?2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，則，則，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)可得，驗(yàn)證即可求解，（2）求導(dǎo)，分類討論，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最值.【詳解】（1）．因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得.所以，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，因此．（2），令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題可知．（i）若，則在上單調(diào)遞減，．（ii）若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則，所以；若，則，所以．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．4．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；（2）分類討論的取值范圍，結(jié)合（1）中結(jié)論得到的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，即（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，所以，解得；綜上所述，.5．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)增區(qū)間；(2)試求在上的最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、、三種情況討論，分別得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到無論為何值，當(dāng)時(shí)，最大值都為或，再計(jì)算，分和兩種情況討論，即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?，令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，令，解得，①?dāng)即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞減，則；③當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，綜上，無論為何值，當(dāng)時(shí)，最大值都為或，又，，又，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，.綜上可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得答案；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，分類討論a的取值范圍，結(jié)合解不等式，即可求得答案【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，而，又，即，故在有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)，而在上最小值為，此時(shí)無零點(diǎn)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則此時(shí)，由題意得解得，與矛盾，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則此時(shí)，由題意得，解得，故，綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的極小值為，無極大值；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；（2）首先不等式化簡為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.【詳解】（1），令，得，，和的關(guān)系，如下表所示，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設(shè)，，，其中，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使，即，即，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由，可得，所以，所以.3．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）求得，求得函數(shù)的單調(diào)性和，結(jié)合恒成立，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；時(shí)，；所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由函數(shù)，可得，令，解得；令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，又因?yàn)?，所以的取值范圍?4．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）求得，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；（2）討論參數(shù)與和的大小關(guān)系，在不同情況下，求函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)區(qū)間；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的最大值，根據(jù)（2）中所求單調(diào)性，求得，再構(gòu)造函數(shù)解關(guān)于的不等式即可.【詳解】（1），，又，，故的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），又，，則時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（3）若對(duì)任意，都有，則在上的最大值；由（2）可知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故；令，則，故在單調(diào)遞增，又，則；故當(dāng)時(shí)，，也即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問處理的關(guān)鍵是，將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)第二問中所求函數(shù)單調(diào)性求得，再構(gòu)造函數(shù)解不等式即可.題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題1．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可證明.（2）分離參數(shù)，借助（1）中不等式關(guān)系進(jìn)行放縮，求其最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.（2）由題意可得不等式有解.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故的取值范圍為2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號(hào)；（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當(dāng)時(shí)，，，的減區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間是．（3）當(dāng)時(shí)，，，的增區(qū)間是，，的減區(qū)間是．綜上，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)4【分析】（1）直接利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求極值即可；（2）分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）由，令；令，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且為，無極大值；（2）由能成立，問題轉(zhuǎn)化為，令，由；由，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，則，故m的最小值為4．題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，在中，，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，單調(diào)遞增，∵，，當(dāng)，方程有三個(gè)不同的實(shí)根，∴即，故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)求導(dǎo)，兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，在研究函數(shù)的圖象時(shí)很容易忽略這個(gè)條件.2．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在處取得極值為.(1)求：值;(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出的值，再檢驗(yàn)即可；（2）依題意可得與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可得到不等式組，即可求得答案.【詳解】（1），由題意可得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)可得滿足在取得極值，所以.所以，.（2）由，可得，由，解得或，，解得，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以的極小值為，的極大值為.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故.3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．(1)求的解析式；(2)求在處的切線方程；(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出，由題意可的，由此即可求出答案；（2）分別求出，的值，再利用點(diǎn)斜式寫出直線；（3）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值則，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關(guān)系如下表：+00+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增則，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即或，解得：或，所以.4．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故.（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點(diǎn)，故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.5．（2024·陜西西安·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)對(duì)、及分類討論即可得；（2）原問題可等價(jià)于即在上無解，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究即可得.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，由，得或，且.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若時(shí)，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn)，即關(guān)于的方程，即在區(qū)間上僅只有一個(gè)解，是方程的解，且時(shí)，問題等價(jià)于即在上無解，即曲線或與直線無公共點(diǎn)，，由得，當(dāng)或時(shí)，變化時(shí)，，的變化情況如下表：遞減，負(fù)值無意義遞減，正值極小值遞增，正值且當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.故的取值范圍為.6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）由，可得為的一個(gè)根，所以有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時(shí)且，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，令得或當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），所以為的一個(gè)根，故有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，則，①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以若要滿足題意，只需且，因?yàn)?，所以，又，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為題型十二：利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)問題，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，由此得到的取值范圍.（2）將不等式取自然對(duì)數(shù)化簡整理，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析，即可求正數(shù)的取值范圍【詳解】（1）由題，定義域?yàn)椋畡t，由題可得有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，于是有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與圖象在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，由，由，所以在遞增，在遞減，又，有極大值為，當(dāng)時(shí)，，所以可得函數(shù)的草圖（如圖所示）．

所以，要使函數(shù)與圖象在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)．即實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由（1）可知：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．則．由于，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，令，則在恒成立．所以在恒成立令，則．①當(dāng)即時(shí)，，在遞增，所以恒成立，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，因此，在不能恒成立，不滿足題意．綜上所述，，即的取值范圍是．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當(dāng)時(shí)，，，的減區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間是．（3）當(dāng)時(shí)，，，的增區(qū)間是，，的減區(qū)間是．綜上，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．3．（23-24高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由此可得韋達(dá)定理的結(jié)論，將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.4．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；(2)；詳見證明過程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用（1）中的結(jié)論求出的范圍，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可證明，令，，得到，得到，可知，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可．【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，（2）結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，取得極小值，又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，綜上所述，；下面證明結(jié)論成立：不妨設(shè)，設(shè)，，可得，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，，，∴當(dāng)時(shí)，，又∵，，∴，又∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)，，則，兩式相比得，即，∴，又∵，令，則，令，則