人教版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊4.3圖形規(guī)律問題(壓軸題專項講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題4.3圖形規(guī)律問題典例分析典例分析【典例1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的點和三角形組成．第1個圖案中有3個點和1個三角形，第2個圖案中有6個點和3個三角形，第3個圖案中有9個點和6個三角形，??????依此規(guī)律，第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為．【思路點撥】本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第n個圖案點和三角形的個數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖案得到第n個圖案點的個數(shù)為3n個；三角形有nn+12個，再求出第10個圖案點的個數(shù)為30個；三角形有【解題過程】解：由所給圖案可得：第1個圖案點的個數(shù)為3×2?3=3個；三角形有1個；第2個圖案點的個數(shù)為3×3?3=6個；三角形有1+2=3個；第3個圖案點的個數(shù)為3×4?3=9個；三角形有1+2+3=6個；……所以第n個圖案點的個數(shù)為3n+1?3=3n個；三角形有所以第10個圖案點的個數(shù)為3×10=30個；三角形有10×112所以第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為30+55=85個．故答案為：85學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級上·陜西渭南·期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有黑色棋子7顆，第②個圖案中有黑色棋子10顆，第③個圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第個圖案中有黑色棋子（

）A．301顆 B．304顆 C．307顆 D．310顆2．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個小黑點，圖2中有7個小黑點．圖3中有12個小黑點，圖4中有19個小黑點，?，按此規(guī)律圖9中的小黑點個數(shù)為（

）A．64 B．67 C．84 D．873．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個圖中“○”的個數(shù)，則第10個圖中“○”的個數(shù)是（

）．

A．90 B．95 C．100 D．1054．（23-24九年級下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①個圖案用了5個石子，其中第②個圖案用了11個石子，其中第③個圖案用了18個石子，其中第④個圖案用了26個石子，???，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中石子的個數(shù)為（

）A．45 B．56 C．58 D．605．（2024九年級下·重慶·專題練習(xí)）下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖共有四個●，第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規(guī)律排列下去，則第10個圖形中●的個數(shù)為（）A．50 B．53 C．64 D．766．（23-24七年級上·湖北襄陽·期末）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)律排列下去，則第20個圖案用的木棍根數(shù)是（）

A．104 B．109 C．123 D．1297．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是（

）A．2022 B．3035 C．3029 D．30368．（23-24七年級上·福建寧德·期中）觀察圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個正方形的左上角標(biāo)的數(shù)是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20239．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為a2，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為a3，…，依次類推，則1A．2122 B．144 C．41992410．（23-24七年級上·福建漳州·階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上；（1）每次只能移動1個碟片．（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面．如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動到另一根桿子為移動一次，記將1號桿子上的n個碟片移動到2號桿子上最少需要an次，則a6=A．31次 B．33次 C．62次 D．63次11．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是．12．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如圖，一張長方形的桌子可坐6人，按照圖中方式繼續(xù)擺放桌子和椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長方形桌子張13．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個數(shù)為8，周長為18．

（1）推測第4個圖形中，正方形的個數(shù)為，周長為；（2）推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為，周長為；（都用含n的代數(shù)式表示）．14．（24-25七年級上·全國·期中）如圖，從原點A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；?按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個半圓的面積為．（結(jié)果保留π）15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，圓桌周圍有20個箱子，按順時針方向編號1～20，小明先在①若前一個箱子丟紅球，則下一個箱子就丟綠球．②若前一個箱子丟綠球，則下一個箱子就丟白球．③若前一個箱子丟白球，則下一個箱子就丟紅球．他沿著圓周走了2024圈，求4號箱內(nèi)有顆紅球．16．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）排球比賽時，甲方6名隊員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1號位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時是第二輪發(fā)球，此時甲方全體隊員按順時針方向轉(zhuǎn)一個位置（轉(zhuǎn)一圈），即1號位的隊員到6號位置，6號位到5號位，…，此時2號位隊員到1號位置發(fā)球，以此類推，如果甲方選手小花開場時站在6號位置，記a1=6；甲方第二輪發(fā)球時，小花站在a2號位置，…，這場比賽甲方發(fā)了21輪球，則a17．（23-24七年級上·安徽·單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù)．（1）圖2中點的個數(shù)是；（2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第個圖形；（3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．18．（23-24七年級上·北京通州·期末）現(xiàn)有一個長方形ABCD的寬為1，長為aa>1的紙片，先剪去一個正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a19．（24-25七年級上·全國·單元測試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題：（1）圖中的點被線段隔開分成四層，第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有5個點，第四層有______個點；（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個點？（3）某一層有77個點，你知道這是第幾層嗎？（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測，前十二層的和是多少？20．（23-24七年級上·福建三明·期中）（1）觀察下面的點陣圖與等式的關(guān)系，并填空：第1個點陣：

1+3+1=1第2個點陣：

1+3+5+3+1=______＋______第3個點陣：

1+3+5+7+5+3+1=______＋______（2）觀察猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式．（3）根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．21．（24-25七年級上·全國·單元測試）將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進(jìn)行下去．（1）如果剪n次共能得到個等邊三角形．（2）若原等邊三角形的邊長為1，設(shè)an表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長，如a①試用含n的式子表示an=②計算a1+a22．（23-24六年級上·山東威?！て谀┤鐖D，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推．（1）陰影部分的面積是______；（2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=1甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S乙同學(xué)的方法：S=12S=1+1②－①即可．根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認(rèn)為S=______；（3）12（4）計算：12（5）請借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出14專題4.3圖形規(guī)律問題典例分析典例分析【典例1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的點和三角形組成．第1個圖案中有3個點和1個三角形，第2個圖案中有6個點和3個三角形，第3個圖案中有9個點和6個三角形，??????依此規(guī)律，第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為．【思路點撥】本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第n個圖案點和三角形的個數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖案得到第n個圖案點的個數(shù)為3n個；三角形有nn+12個，再求出第10個圖案點的個數(shù)為30個；三角形有【解題過程】解：由所給圖案可得：第1個圖案點的個數(shù)為3×2?3=3個；三角形有1個；第2個圖案點的個數(shù)為3×3?3=6個；三角形有1+2=3個；第3個圖案點的個數(shù)為3×4?3=9個；三角形有1+2+3=6個；……所以第n個圖案點的個數(shù)為3n+1?3=3n個；三角形有所以第10個圖案點的個數(shù)為3×10=30個；三角形有10×112所以第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為30+55=85個．故答案為：85學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級上·陜西渭南·期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有黑色棋子7顆，第②個圖案中有黑色棋子10顆，第③個圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第個圖案中有黑色棋子（

）A．301顆 B．304顆 C．307顆 D．310顆【思路點撥】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出規(guī)律“第n個圖形中黑色棋子的個數(shù)為3n+1【解題過程】解：第一個圖形中有2×3+1=7顆黑色棋子；第二個圖形中有3×3+1=10顆黑色棋子；第三個圖形中有4×3+1=13顆黑色棋子；?，則第n個圖形中黑色棋子的個數(shù)為3n+1∴第100個圖形中黑色棋子的個數(shù)為3×101+1=304個，故選：B．2．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個小黑點，圖2中有7個小黑點．圖3中有12個小黑點，圖4中有19個小黑點，?，按此規(guī)律圖9中的小黑點個數(shù)為（

）A．64 B．67 C．84 D．87【思路點撥】本題考查了圖形的變化類問題，仔細(xì)觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到圖形變化的規(guī)律．【解題過程】解：觀察圖形可知，第一個圖有3+1第二個圖有3+2第三個圖有3+3第四個圖有3+4故依此類推，第n個圖有3+n∴第九個圖有3+9故選：C．3．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個圖中“○”的個數(shù)，則第10個圖中“○”的個數(shù)是（

）．

A．90 B．95 C．100 D．105【思路點撥】本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)前幾個圖形中“○”的個數(shù)得到變化規(guī)律，進(jìn)而可求解．【解題過程】解：第1個圖形中“○”的個數(shù)為5=5+1×0，第2個圖形中“○”的個數(shù)為7=5+2×1，第3個圖形中“○”的個數(shù)為11=5+3×2第4個圖形中“○”的個數(shù)為17=5+4×3，……，依次類推，第n個圖形中“○”的個數(shù)為5+nn?1∴第10個圖形中“○”的個數(shù)為5+10×9=95，故選：B．4．（23-24九年級下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①個圖案用了5個石子，其中第②個圖案用了11個石子，其中第③個圖案用了18個石子，其中第④個圖案用了26個石子，???，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中石子的個數(shù)為（

）A．45 B．56 C．58 D．60【思路點撥】本題考查了圖形的變化類．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)前四個圖形的變化尋找規(guī)律．根據(jù)圖形的變化分別寫出前四個圖形中石子的個數(shù)，即可解答第7個圖形中的石子數(shù)．【解題過程】解：觀察圖形的變化，可知，第1個圖案要用的石子數(shù)為；S1第2個圖案要用的石子數(shù)為；S2第3個圖案要用的石子數(shù)為；S3第4個圖案要用的石子數(shù)為；S4…；第7個（n為正整數(shù)）圖案要用的石子數(shù)為，7×1+7故選：B．5．（2024九年級下·重慶·專題練習(xí)）下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖共有四個●，第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規(guī)律排列下去，則第10個圖形中●的個數(shù)為（）A．50 B．53 C．64 D．76【思路點撥】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．根據(jù)已知圖形得出圖n中點的個數(shù)為(n+1)2【解題過程】解：因為圖①中點的個數(shù)為4=2圖②中點的個數(shù)為8=3圖③中點的個數(shù)為13=4圖④中點的個數(shù)為19=5...圖n中點的個數(shù)為(n+1)2所以圖10中點的個數(shù)為112故選：D．6．（23-24七年級上·湖北襄陽·期末）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)律排列下去，則第20個圖案用的木棍根數(shù)是（）

A．104 B．109 C．123 D．129【思路點撥】根據(jù)前幾個圖形，發(fā)現(xiàn)每一個圖形的木棍數(shù)都等于4加上圖形位置序數(shù)的5的倍數(shù)，據(jù)此規(guī)律求解即可．本題主要考查了圖形的數(shù)字規(guī)律．根據(jù)圖形，數(shù)出木棍數(shù)，數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【解題過程】解：由圖可知：第1個圖案用木棍，4+5=9（根），第2個圖案用木棍，4+5×2=14（根），第3個圖案用木棍4+5×3=19（根），第4個圖案用木棍，4+5×4=24（根），∴第n個圖案用的木棍根數(shù)是，4+5n；當(dāng)n=20時，4+5×20=104．故選：C．7．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是（

）A．2022 B．3035 C．3029 D．3036【思路點撥】本題考查了圖形的規(guī)律變化類，根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量即可求解，通過圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知：第1個圖形中黑色正方形的數(shù)量為2，第2個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3，第3個圖形中黑色正方形的數(shù)量為5，第4個圖形中黑色正方形的數(shù)量為6，?，∴當(dāng)n為奇數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為n+n+1當(dāng)n為偶數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為n+n∴第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+2023+1故選：B．8．（23-24七年級上·福建寧德·期中）觀察圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個正方形的左上角標(biāo)的數(shù)是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路點撥】觀察圖形可知每個正方形上標(biāo)4個數(shù)，則有506×4=2024，即第506個正方形左下角的數(shù)是2024，從而可求第506個正方形左上角的數(shù)．【解題過程】解：由題意可知每個正方形上標(biāo)4個數(shù)，且所有圖形標(biāo)注的數(shù)字都是從右下角開始，沿逆時針依次標(biāo)注四個連續(xù)的且依次增大的正整數(shù)，且第一個圖形右下角是從1開始標(biāo)注，∴第506個正方形標(biāo)注的最大數(shù)字是：506×4=2024，即第506個正方形的左下角的數(shù)是2024，∴第506個正方形左上角的數(shù)是2024?1=2023．故選：D．9．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為a2，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為a3，…，依次類推，則1A．2122 B．144 C．419924【思路點撥】本題主要考查圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是得出an=nn+2【解題過程】解：aa2a3?，an∴=====325故選:D．10．（23-24七年級上·福建漳州·階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上；（1）每次只能移動1個碟片．（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面．如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動到另一根桿子為移動一次，記將1號桿子上的n個碟片移動到2號桿子上最少需要an次，則a6=A．31次 B．33次 C．62次 D．63次【思路點撥】本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題．根據(jù)移動方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數(shù)目減1的移動次數(shù)都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數(shù)從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可．【解題過程】解：n=1時，ann=2時，小盤→3柱，大盤→2柱，小盤從3柱→2柱，完成，即a2n=3時，小盤→2柱，中盤→3柱，小盤從2柱→3柱，大盤→2柱，再用n=2的方法轉(zhuǎn)移，即a3……以此類推，an∴a6故選：D．11．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是．【思路點撥】此題考查圖形的變化規(guī)律，觀察與比較每個圖案相同點與不同點，得出后一個圖案總是在與之相鄰的前一個圖案基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加小三角形數(shù)，即在前一個圖案的基礎(chǔ)上增加比圖案序號數(shù)多3個的小三角形數(shù)，從而解決該題，解決本題的關(guān)鍵是找出圖形之間的運算規(guī)律．【詳解】解：當(dāng)n=1時，第1個圖案的小三角形的個數(shù)是=2（個）)．當(dāng)n=2時，第2個圖案的小三角形的個數(shù)是=3+2=5（個）．當(dāng)n=3時，第3個圖案的小三角形的個數(shù)是=3×2+2=8（個）．當(dāng)n=4時，第4個圖案的小三角形的個數(shù)是=3×3+2=11（個）．以此類推，第n個圖案的小三角形的個數(shù)是=3(n?1)+2=3n?1；∴第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是3×12?1=35（個），故答案為：35．12．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如圖，一張長方形的桌子可坐6人，按照圖中方式繼續(xù)擺放桌子和椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長方形桌子張【思路點撥】本題考查了圖形規(guī)律問題，根據(jù)圖形得出2張桌子，3張桌子拼在一起可坐的人數(shù)，然后得出每多一張桌子可多坐4人的規(guī)律，進(jìn)而得出n張桌子拼在一起可坐4n+2人，再列方程解答即可．【解題過程】解：由圖可知，1張長方形桌子可坐6人，6=4×1+1，2張桌子拼在一起可坐10人，10=4×2+2，3張桌子拼在一起可坐14人，14=4×3+2，…以此類推，每多一張桌子可多坐4人，所以，n張桌子拼在一起可坐4n+2人；若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，可得：4n+2=38解得：n=9故答案為：913．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個數(shù)為8，周長為18．

（1）推測第4個圖形中，正方形的個數(shù)為，周長為；（2）推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為，周長為；（都用含n的代數(shù)式表示）．【思路點撥】（1）依次數(shù)出n=1，2，3，4時正方形的個數(shù)，算出圖形的周長；（2）根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第n個圖形中，正方形的個數(shù)為及周長；本題考查了根據(jù)圖示尋找規(guī)律，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：（1）因為n=1時，正方形有8個，即8=5×1+3，周長是18，即18=10×1+8，n=2時，正方形有13個，即13=5×2+3，周長是28，即28=10×2+8，n=3時，正方形有18個，即18=5×3+3，周長是38，即38=10×3+8，n=4時，正方形有23個，即23=5×4+3，周長是48，即48=10×4+8，故答案為：①23；②48；（2）解：由（1）總結(jié)可得，第n個圖形時，正方形有5n+3個，周長是10n+8，故答案為：③5n+3，④10n+8．14．（24-25七年級上·全國·期中）如圖，從原點A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；?按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個半圓的面積為．（結(jié)果保留π）【思路點撥】本題以圖形作為背景考查數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個半圓的直徑為2n?1先根據(jù)規(guī)律得出第n個半圓的直徑為2n?1，再除以2得到半徑，進(jìn)而可求出第7【解題過程】解：根據(jù)已知可得出第n個半圓的直徑為2n?1∴第7個半圓的直徑為：27?1第7個半圓的面積為：12故答案為：512π15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，圓桌周圍有20個箱子，按順時針方向編號1～20，小明先在①若前一個箱子丟紅球，則下一個箱子就丟綠球．②若前一個箱子丟綠球，則下一個箱子就丟白球．③若前一個箱子丟白球，則下一個箱子就丟紅球．他沿著圓周走了2024圈，求4號箱內(nèi)有顆紅球．【思路點撥】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意先找到各個紅球都在那個箱內(nèi)，然后找到哪一圈會在4號箱內(nèi)丟紅球，從而得到規(guī)律即可求解，根據(jù)題意找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【解題過程】解：根據(jù)題意可知，第1圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號箱內(nèi)，第2圈紅球在2、5、8、11、14、17、20號箱內(nèi)，第3圈紅球在3、6、9、12、15、18號箱內(nèi)，第4圈紅球在1、4、7、10、13、16、19號箱內(nèi)，?，∴第1、4、7、10?2023圈會在4號箱內(nèi)丟一顆紅球，∵2023?1÷3=674∴紅球顆數(shù)為674顆，故答案為：674．16．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）排球比賽時，甲方6名隊員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1號位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時是第二輪發(fā)球，此時甲方全體隊員按順時針方向轉(zhuǎn)一個位置（轉(zhuǎn)一圈），即1號位的隊員到6號位置，6號位到5號位，…，此時2號位隊員到1號位置發(fā)球，以此類推，如果甲方選手小花開場時站在6號位置，記a1=6；甲方第二輪發(fā)球時，小花站在a2號位置，…，這場比賽甲方發(fā)了21輪球，則a【思路點撥】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意列舉發(fā)現(xiàn)發(fā)球輪數(shù)與所占位置的規(guī)律是解題關(guān)鍵．分別列舉出發(fā)球與所占位置的規(guī)律，進(jìn)而得出兩者之間的數(shù)字規(guī)律進(jìn)而得出答案．【解題過程】解：小花上場時，站在6號位置，第1輪發(fā)球時，站在⑥號位置，則a1第2輪發(fā)球時，站在⑤號位置，則a2第3輪發(fā)球時，站在④號位置，則a3第4輪發(fā)球時，站在③號位置，則a4第5輪發(fā)球時，站在②號位置，則a5第6輪發(fā)球時，站在①號位置，則a6第7輪發(fā)球時，站在⑥號位置，則a7第8輪發(fā)球時，站在⑤號位置，則a8…由此可得，每6輪重復(fù)出現(xiàn)相應(yīng)的位置上，∵21÷6=3……3，6+5+4+3+2+1=21，∴∴=6+5+4+3+2+1+6+…+6+5+4=21×3+6+5+4=63+15=78．故答案為：7817．（23-24七年級上·安徽·單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù)．（1）圖2中點的個數(shù)是；（2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第個圖形；（3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．【思路點撥】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．（1）圖2中點的個數(shù)為：1+3+5=9;（2）由第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4=22，第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9=32，第3個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16=42，得出第（3）利用（2）中的規(guī)律得出答案即可．【解題過程】（1）解：圖2中點的個數(shù)是：1+3+5=9，故答案為：9；（2）解：第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4=第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9=第3個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16=4…∴第n個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+?+2n+1∴36=∴是第5個圖形，故答案為：5；（3）解：第n個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5++故答案為：n+1218．（23-24七年級上·北京通州·期末）現(xiàn)有一個長方形ABCD的寬為1，長為aa>1的紙片，先剪去一個正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a【思路點撥】a有四個值：當(dāng)a=4時，三個最大的正方形邊長都為1，余下的正方形邊長為1；當(dāng)a=52時，第一個和第二個正方形邊長都為1，第三個正方形邊長為12，余下的正方形邊長為12；當(dāng)a=53時，第一個正方形邊長為1，第二個正方形邊長為23，第三個正方形邊長為13，余下的正方形邊長為【解題過程】解：①如圖，a=1+1+1+1=4；②如圖，a=1+1+12③如圖，a=1+13④如圖，a=1+1319．（24-25七年級上·全國·單元測試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題：（1）圖中的點被線段隔開分成四層，第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有5個點，第四層有______個點；（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個點？（3）某一層有77個點，你知道這是第幾層嗎？（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測，前十二層的和是多少？【思路點撥】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）由圖形即可得出答案；（2）由題意得出規(guī)律：第n層有2n?1個點，由此計算即可得解；（3）由（2）可得，第n層有2n?1個點，令2n?1=77，計算即可得解；（4）分別計算出第一層與第二層的和，前三層的和、前四層的和，得出規(guī)律前n層的和是n2【解題過程】（1）解：由圖可得：第四層有7個點；（2）解：∵第一層有1=2×1?1個點，第二層有3=2×2?1個點，第三層有5=2×3?1個點，第四層有7=2×4?1個點，…，∴第n層有2n?1個點，∴第五層有2×5?1=9個點；（3）解：由（2）可得，第n層有2n?1個點，令2n?1=77，解得：n=39，∴某一層有77個點，這是第39層；（4）解：第一層與第二層的和是：1+3=4=2前三層的和是：1+3+5=9=3前四層的和是：1+3+5+7=16=4…，故前n層的和是：n2∴前十二層的和是：12220．（23-24七年級上·福建三明·期中）（1）觀察下面的點陣圖與等式的關(guān)系，并填空：第1個點陣：

1+3+1=1第2個點陣：

1+3+5+3+1=______＋______第3個點陣：

1+3+5+7+5+3+1=______＋______（2）觀察猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式．（3）根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．【思路點撥】（1）根據(jù)點陣圖即可求解；（2）根據(jù)（1）中的3個等式得出規(guī)律，進(jìn)而寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式；（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律，進(jìn)行計算即可．【解題過程】解：（1）由圖可得：1+3+5+3+1=22+故答案為：22，32，32（2）∵第1個點陣：

1+3+1=1第2個點陣：

1+3+5+3+1=2第3個點陣：1+3+5+7+5+3+1=3…∴第n個點陣相對應(yīng)的等式為：1+3+5+…+2n?1（3）由（2）可得：1