人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)22.9線段、面積與角度問題-二次函數(shù)的綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專題22.9線段、面積與角度問題——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且A（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC交x軸于點(diǎn)F．在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出BC的解析式，設(shè)Pm,?m2+2m+3，則Km,?m+3（3）易得FE垂直平分AC，設(shè)OF=a，則CF=AF=a+1，勾股定理求出F點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分兩種情況討論，進(jìn)行求解即可．【解題過程】（1）解：把A?1,0，C?1?b+c=0c=3，解得：b=2∴y=?x（2）解：∵當(dāng)y=0時(shí)，?x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=?1∴y=?x+3，設(shè)Pm,?m2+2m+3，則PK=?m2+2m+3??m+3=?∴S1=1∴S1∴當(dāng)m=158時(shí)，S1（3）解：∴A?1,0，C0,3，點(diǎn)E為∴E?∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設(shè)OF=a，則CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，設(shè)FE的解析式為：y=kx+b，E?124k+b=0?解得：k=?1∴y=?1聯(lián)立y=?x解得x1=7+∴M7?109取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)M，則：∠MFA=∠EFA=∠OCA，?12,?3設(shè)的解析式為：y=k1則：4k+b=0?解得：k=1∴y=1聯(lián)立y=?x解得x1=5+∴M5+181綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為7+1096,17?10918或?qū)W霸必刷學(xué)霸必刷1．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N求線段PN長的最大值．2．（24-25九年級(jí)上·湖北荊門·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?12x2+32x+2交x軸于A、（1）求四邊形ABDC的面積；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC?PB的值最大，若存在，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A1,0，B?5,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P位于線段BC上方，求△PBC面積的最大值；（3）若圖象G的最大值與最小值的差為4，求m的取值范圍．4．（23-24九年級(jí)上·寧夏石嘴山·期中）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB=∠OCB5．（24-25九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，直線l：y=kx+b與拋物線交于（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線l的解析式；（2）點(diǎn)P是y軸上的一點(diǎn)，求滿足PB+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是直線l下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AQC的面積最大?求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)和△AQC的最大面積．6．（24-25九年級(jí)上·重慶·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+12x+3與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與（1）求△ABC的面積；（2）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且S△ABC=2S7．（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A(?1，0)，B（3，0），與y（1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內(nèi)的拋物線y=ax2+bx+3圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸正半軸上有一點(diǎn)D，且OD=2，當(dāng)△PCD（3）拋物線y=ax2+bx+3的頂點(diǎn)為Q，直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M是線段EF的中點(diǎn)，當(dāng)0<k<28．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為直線x=4，圖象過點(diǎn)A、B、C，B點(diǎn)的坐標(biāo)為6,0（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)Q，求線段MQ的最大值．（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方的拋物線上時(shí)，求△CBM的最大面積．9．（23-24九年級(jí)下·安徽阜陽·期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B3,0，與y軸交于點(diǎn)C，且

（1）求拋物線的解析式；（2）若DE是該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D是頂點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（ⅰ）如圖2，連接BP，若△PCB的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ⅱ）如圖3，連接BC，與DE交于點(diǎn)G，連接PC，PG，PD，求2S

10．（24-25九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，連接AC，AP，AP與y軸交于點(diǎn)N．當(dāng)∠MPA=2∠PAC時(shí)，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一拋物線y=x24，直線y=kx（k≠0）與拋物線相交于點(diǎn)A，直線y=?（1）當(dāng)k=2時(shí)，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)．（2）在（1）的條件下，第一象限一點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)SΔPAB=（3）試探究直線AB是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．12．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?4,5（1）則點(diǎn)A坐標(biāo)為；點(diǎn)B坐標(biāo)為；（2）若二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上x（3）若二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD13．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B6,0（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)），與（1）求b，（2）連接BC，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC，（?。┤鐖D2，AP與BC交于點(diǎn)M，若S△ACM?S（ⅱ）如圖3，過點(diǎn)P作PQ∥AC交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，求S△PAQ14．（23-24九年級(jí)下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，B2,0兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若P是拋物線上的點(diǎn)且在直線l的下方，連接PA，PD，當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大值；（3）若Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ=45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)15．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知拋物線y＝?x2+bx+c過點(diǎn)A?72,（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA+MC的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AB，在AB上方的拋物線上是否存在一動(dòng)點(diǎn)D，使△ABD面積取得最大值，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，并求△ABD的最大面積．16．（2023·山東東營·二模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與y（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積為12時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（23-24九年級(jí)上·全國·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B（A在y軸右側(cè)，B在y軸左側(cè)），C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，已知OC=3（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得PO+PC的值最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ACQ18．（23-24九年級(jí)下·重慶南岸·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=?2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，求S△CPQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P（3）將原拋物線沿射線CA方向平移22個(gè)單位長度，在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)G，使得∠ACG=15°，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)G19．（24-25九年級(jí)上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)與點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)（1）求拋物線的解析式；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使∠CAP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接BP，設(shè)△ACP的面積為S1，△BCP的面積為S2，求20．（24-25九年級(jí)上·重慶·開學(xué)考試）如圖1，已知拋物線y=12x2+x?4的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B（1）拋物線頂點(diǎn)為D，連接AD、AC、CD，求點(diǎn)D到AC的距離；（2）如圖2，在y軸正半軸有一點(diǎn)E滿足OC=2OE，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、AE，過點(diǎn)E作EF∥AP交x軸于點(diǎn)F，M為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)有一點(diǎn)G?72,?58，連接PM、MN、（3）如圖3，連接AC、BC，將拋物線沿著射線BC平移25得到新的拋物線y'，y'上是否存在一點(diǎn)R，使得∠RAC+∠BCO=45°專題22.9線段、面積與角度問題——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且A（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC交x軸于點(diǎn)F．在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出BC的解析式，設(shè)Pm,?m2+2m+3，則Km,?m+3（3）易得FE垂直平分AC，設(shè)OF=a，則CF=AF=a+1，勾股定理求出F點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分兩種情況討論，進(jìn)行求解即可．【解題過程】（1）解：把A?1,0，C?1?b+c=0c=3，解得：b=2∴y=?x（2）解：∵當(dāng)y=0時(shí)，?x2+2x+3=0解得x∴B3,0∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3k≠0把B3,0代入，得：k=?1∴y=?x+3，設(shè)Pm,?m2+2m+3，則PK=?m2+2m+3??m+3=?∴S1=1∴S1∴當(dāng)m=158時(shí)，S1（3）解：∴A?1,0，C0,3，點(diǎn)E為∴E?∵FE⊥AC，∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設(shè)OF=a，則CF=AF=a+1，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=4，∴F4,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA，設(shè)FE的解析式為：y=kx+b，E?124k+b=0?解得：k=?1∴y=?1聯(lián)立y=?x解得x1=7+∴M7?109取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)M，則：∠MFA=∠EFA=∠OCA，?12,?3設(shè)的解析式為：y=k1則：4k+b=0?解得：k=1∴y=1聯(lián)立y=?x解得x1=5+∴M5+181綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為7+1096,17?10918或?qū)W霸必刷學(xué)霸必刷1．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N求線段PN長的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）分別令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,?13m2+43【解題過程】（1）解：在y=?1令x=0，則y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，令y=0，則?1即x2解得：x=?2或x=6，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,0，設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=?2∴線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=?2（2）解：∵點(diǎn)P在拋物線y=?1∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,?1∵PM⊥x軸交BC于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為m,?2∵點(diǎn)P在線段BC上方的拋物線上，∴0<m<6且PN=PM?NM=?1∵?13<0∴當(dāng)m=3時(shí)，PN有最大值，線段PN長的最大值為3．2．（24-25九年級(jí)上·湖北荊門·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?12x2+32x+2交x軸于A、（1）求四邊形ABDC的面積；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC?PB的值最大，若存在，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．（1）分別求得拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)，從而得出OA,OC,OB的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）連接PA，PB，則|PC?PB|=PC?PA≤AC，過當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)|PC?PB|最大，據(jù)此求出直線【解題過程】（1）解：如圖，連接OD，當(dāng)x=2時(shí)，y=?1∴D(2,3)，由?12x∴OA=1,OB=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴OC=2，∴S四邊形ABDC==1（2）解：如圖，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=?1+4連接PB，PA，根據(jù)拋物線對(duì)稱性可得：PA=PB，則PC?PB=故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線，|PC?PB|的值最大，最大值即為AC的長，設(shè)直線CP的解析式為：y=kx+b，∴b=2∴b=2∴y=2x+2，當(dāng)x=32時(shí)，∴P33．（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A1,0，B?5,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P位于線段BC上方，求△PBC面積的最大值；（3）若圖象G的最大值與最小值的差為4，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，二次函數(shù)幾何綜合，二次函數(shù)的最值，以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．（1）利用待定系數(shù)法求解，即可解題；（2）根據(jù)二次函數(shù)得到點(diǎn)C，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5，待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)D，利用坐標(biāo)和三角形面積公式求解，得到（3）根據(jù)圖象G的最大值與最小值的差為4，分情況討論①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C下方時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的最值，以及二次函數(shù)對(duì)稱性求解，即可解題．【解題過程】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1+b+c=0?25?5b+c=0解得b=?4c=5∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：∵拋物線的解析式為y=?x2?4x+5，與y∴C0,5設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5，∴?5k+5=0，解得k=1，∴直線BC的解析式為y=x+5，∵點(diǎn)P位于線段BC上方，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴Pm,?過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)∴Dm,m+5∴S△PBC∵?5∴△PBC面積的最大值為1258（3）解：∵圖象G的最大值與最小值的差為4，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，∵y=?x2?4x+5=??m解得m=?4或0（舍去），∴?4≤m≤?2，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C下方時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)，不滿足題意，∴點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)，∴5??解得m=?2+22或m=?2?2綜上所述，m的取值范圍是?4≤m≤?2或m=?2+224．（23-24九年級(jí)上·寧夏石嘴山·期中）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點(diǎn)E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB=∠OCB【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（1）直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，3)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接CD'交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)EC+ED為最小，即可求解；（3）分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，分別求解．【解題過程】（1）直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，3)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：?9+3b+c=0c=3，解得：b=2故函數(shù)的表達(dá)式為：y=?x令y=0，則x=?1或3，故點(diǎn)A(?1，0)；（2）如圖1中，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接CD'交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)EC+ED為最小，函數(shù)頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，4)，點(diǎn)C'(0，?3)，設(shè)直線C'D的解析式為y=kx+a，將C'、D的坐標(biāo)代入得：k+a=4a=?3，解得k=7直線C'D的表達(dá)式為：y=7x?3，當(dāng)y=0時(shí)，x=3故點(diǎn)E(3則EC+ED的最小值為DC'=1（3）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2中，∵OB=OC=3，則∠OCB=45°=過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，設(shè)PH=BH=m，則PB=PA=2由勾股定理得：AB2=AH解得：m2則PB2則yP②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得yP故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2+225．（24-25九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，直線l：y=kx+b與拋物線交于（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線l的解析式；（2）點(diǎn)P是y軸上的一點(diǎn)，求滿足PB+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是直線l下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AQC的面積最大?求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)和△AQC的最大面積．【思路點(diǎn)撥】（1）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）作點(diǎn)B(3,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'(?3,0)，連接B'C交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)（3）過Q作QM∥y軸交AC于M，用m表示出M和Q的坐標(biāo)，從而可表示出QM的長，表示出△AQC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時(shí)的【解題過程】（1）解：把x=2代入拋物線解析式y(tǒng)=x2?∴C(2,?3)，把A、C坐標(biāo)代入直線l：y=kx+b可得，0=k+b?3=2k+b解得k=?1b=?1∴直線l解析式為y=?x?1；（2）解：作點(diǎn)B(3,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'(?3,0)，連接B'C交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)設(shè)直線B'C的解析式為把B'(?3,0)、C(2,?3)坐標(biāo)代入可得，解得a=?3∴直線B'C解析式為令x=0，則y=?9∴點(diǎn)P坐標(biāo)為0,?9（3）解：過Q作QM∥y軸交AC于設(shè)Q(m,m2?2m?3)∴QM=(?m?1)?(m∴==?3∵?3∴當(dāng)m=12時(shí)，△AQC的面積最大，最大值為此時(shí)Q16．（24-25九年級(jí)上·重慶·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+12x+3與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與（1）求△ABC的面積；（2）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且S△ABC=2S【思路點(diǎn)撥】（1）先求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)D坐標(biāo)，最后利用S△ABC（2）由y=?12x2+12x+3可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=?x+3，設(shè)直線BC與拋物線對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：把y=0代入y=?12x解得x1=?2，∴B3,0把x=0代入y=?12x∴C0,3設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，直線AB與y軸相交于點(diǎn)D，把A?1,2、B3,02=?k+b0=3k+b解得k=?1∴直線AB的解析式為y=?1把x=0代入y=?12x+∴D0,∴CD=3?3∴S△ABC（2）解：由y=?12x設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把B3,0、C0=3m+n3=n解得m=?1n=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，設(shè)直線BC與拋物線對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P坐標(biāo)為12把x=12代入y=?x+3得，∴M1∴PM=5∴S△BCP∵S△ABC∴2S∴2×3即52解得p=32或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,37．（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A(?1，0)，B（3，0），與y（1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內(nèi)的拋物線y=ax2+bx+3圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸正半軸上有一點(diǎn)D，且OD=2，當(dāng)△PCD（3）拋物線y=ax2+bx+3的頂點(diǎn)為Q，直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M是線段EF的中點(diǎn)，當(dāng)0<k<2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.（1）依據(jù)題意，把點(diǎn)A?10,B(3,0)代入y=a（2）依據(jù)題意，先求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,?m2+2m+3)，根據(jù)S△PCD=S（3）依據(jù)題意可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1，4)，又把y=?x2+2x+3與y=kx聯(lián)立方程組，得x2+k?2x?3=0,可得xM=x【解題過程】（1）由題意,把點(diǎn).A?10得a?b+3=09a+3b+3=0∴a=?1∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3.（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3∵x軸正半軸上有一點(diǎn)D，且OD=2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,?m2+2m+3)，則S△PCD解得：m1=3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32,（3）解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3∴OC=3.又∵y=?x2+2x+3=?∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,4把y=?x2+2x+3與y=kx聯(lián)立方程組，得x2+∴x如圖,連接OQ.S四邊形MCQB=S△OCQ+∵3當(dāng)k=12時(shí)，S8．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為直線x=4，圖象過點(diǎn)A、B、C，B點(diǎn)的坐標(biāo)為6,0（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)Q，求線段MQ的最大值．（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方的拋物線上時(shí)，求△CBM的最大面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸，求得b=?8，再將點(diǎn)B6,0代入二次函數(shù)y=x2（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)Ma,a2?8a+12，則Qa,?2a+12（3）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令Ma,a2?8a+12，進(jìn)而得到a的取值范圍，利用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，得到N的坐標(biāo)，從而得到BN的長，由S△CBM=S【解題過程】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c∴?b∴b=?8，將點(diǎn)B6,0代入二次函數(shù)y=x2解得：c=12，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）解：∵二次函數(shù)y=x2?8x+12與y令x=0，則y=12，∴C0,12設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，則m=126k+m=0，解得：k=?2∴直線BC的解析式為y=?2x+12，∵M(jìn)Q⊥x軸，∴設(shè)Ma,a2∴MQ=?2a+12?a∴當(dāng)a=3時(shí)，MQ有最大值，最大值為9；（3）解：∵二次函數(shù)y=x2?8x+12與x軸交于點(diǎn)A令y=0，則x2解得：x1=2，∴A2,0，B如圖，令CM與x軸的交點(diǎn)為N，令Ma,∵點(diǎn)M位于x軸下方的拋物線上，∴2<a<6，設(shè)直線CM的解析式為y=k則m1=12a∴直線BC的解析式為y=a?8令y=0，則a?8x+12=0，解得：x=∴N12∴ON=12∴BN=6?12∵S∴==3×=24a?3=?3=?3a?3∴當(dāng)a=3時(shí)，S△CBM有最大值，最大值為279．（23-24九年級(jí)下·安徽阜陽·期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B3,0，與y軸交于點(diǎn)C，且

（1）求拋物線的解析式；（2）若DE是該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D是頂點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（ⅰ）如圖2，連接BP，若△PCB的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ⅱ）如圖3，連接BC，與DE交于點(diǎn)G，連接PC，PG，PD，求2S【思路點(diǎn)撥】（1）由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1和點(diǎn)B3,0，得點(diǎn)A?1,0．由點(diǎn)B3,0，OB=OC（2）（?。┯牲c(diǎn)B3,0，C0,3，得直線BC的解析式,過點(diǎn)P作PF∥y軸交BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)Pm,?m2+2m+3，則點(diǎn)Fm,?m+3，得關(guān)于m的方程，解出即可；（ⅱ）由拋物線y=?x2+2x+3求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,4．由（ⅰ）知直線BC的解析式為y=?x+3，則點(diǎn)G1,2．設(shè)直線CP交DE于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)Pm,?m【解題過程】（1）解：由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1和點(diǎn)B3,0，得點(diǎn)A由點(diǎn)B3,0，OB=OC，得點(diǎn)C由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，得y=ax+1把點(diǎn)C0,3代入，得3=a解得a=?1，∴拋物線的解析式為y=?x+1（2）解：（?。┯牲c(diǎn)B3,0，C0,3，得直線BC的解析式為如圖1，過點(diǎn)P作PF∥y軸交BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)Pm,?m2∴PF=?m由題意，得S△BCP整理，得m2解得m=1（舍去）或m=2，則?m∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3．

（ⅱ）由拋物線y=?x2+2x+3知，頂點(diǎn)D由（?。┲本€BC的解析式為y=?x+3，則點(diǎn)G1,2如圖2，設(shè)直線CP交DE于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)Pm,?由直線PC經(jīng)過點(diǎn)C0,3設(shè)直線PC的解析式為y=kx+3，把點(diǎn)Pm,?得?m解得m=0（舍去）或m=?k+2，即k=?m+2，∴直線PC的解析式為y=?m+2當(dāng)x=1時(shí)，y=?m+2x+3=5?m，即∴2=2×==?m?2即2S△PCG10．（24-25九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，連接AC，AP，AP與y軸交于點(diǎn)N．當(dāng)∠MPA=2∠PAC時(shí)，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】（1）將A?1,0，B3,0代入（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)N，P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Pm,m2?2m?30<m<3，則PN=?m2（3）由題意得到∠NAC=∠NCA，則AN=CN，設(shè)N(0,n)，由1+n2=(n+3)2，求出N0,?4【解題過程】（1）解：將A?1,0，B3,0代入∴a?b?3=09a+3b?3=0∴a=1b=?2∴y=x（2）解：過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖所示，

令x=0，則y=∴C0,?3∴OC=3，∵P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Pm,∴PN=?m2?2m?3∵B(3,0)，∴OB=3，∴BN=3?m，∴S====?=?3∵?∴當(dāng)m=32時(shí)，S有最大值，（3）解：設(shè)AP交y軸于點(diǎn)N，如圖，

∵ON⊥x軸，PM⊥x軸，∴ON∥∴∠ANO=∠APM，∵∠MPA=2∠PAC，∴∠ANO=2∠PAC，∴∠NAC=∠NCA，∴AN=CN，設(shè)N(0,n)，則AN=CN=n??3∴1+n∴n=?4∴N0,?設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，把N0,?43b=?4∴k=?4∴y=?4令?4解得：x1=?1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為53把x=53代入y=?4∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為5311．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一拋物線y=x24，直線y=kx（k≠0）與拋物線相交于點(diǎn)A，直線y=?（1）當(dāng)k=2時(shí)，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)．（2）在（1）的條件下，第一象限一點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)SΔPAB=（3）試探究直線AB是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)k=2時(shí)，聯(lián)立y=x24和y=2x，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立y=x2（2）先求出直線AB的解析式為y=12x+12．設(shè)P(m,m24)，過P點(diǎn)作PC⊥x軸，交直線AB于E點(diǎn)，則E(（3）由x24=kx得A(4k,4k2)，由x24=?3kx得【解題過程】（1）解：當(dāng)k=2時(shí)，聯(lián)立y=x得x1=0y∴A(8,16)．聯(lián)立y=x得x1=0y∴B(?6,9)．（2）解：如圖，過P點(diǎn)作PC⊥x軸，交直線AB于E點(diǎn)，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，則8k+b=16?6k+b=9，解得k=∴AB：y=1設(shè)P(m,m24∴PE=m∵==7∴m∴m∴m①當(dāng)m2解得m1=1+51②當(dāng)m2解得m3=1+47∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+51或1+（3）解：由x24=kx，得x∴A(4k,4k由x24=?3k∴B?設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，則4km+n=4k解得m=k?3k，∴直線AB的解析式為y=k?∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)0,12．12．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?4,5（1）則點(diǎn)A坐標(biāo)為；點(diǎn)B坐標(biāo)為；（2）若二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上x（3）若二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD【思路點(diǎn)撥】（1）在y=ax2+2ax?3a中，令y=0得0=ax2（2）由二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C?4,5，求出a=54，設(shè)（3）分①當(dāng)a>0時(shí)和②當(dāng)a<0時(shí)兩種情況分析即可；本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方程，二次函數(shù)圖象與線段的交點(diǎn)，二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【解題過程】（1）在y=ax2+2ax?3a中，令y=0得0=ax解得x=?3或x=1，∴A?3,0故答案為：?3,0，（2）∵二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a∴16a+2a×?4?3a=5，解得：∴二次函數(shù)解析式為y=5設(shè)Pm,由（1）得A?3,0∴AB=4，∵點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上x軸下方一動(dòng)點(diǎn)，∴△ABP面積為12∵?5∴當(dāng)m=?1時(shí)，△ABP面積有最大值，為10；（3）∵y=ax∴拋物線y=ax2+2ax?3a的對(duì)稱軸為直線x=?1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?1,?4a①當(dāng)a>0時(shí)，?3a<0，?4a<0，∴拋物線y=ax2+2ax?3a與y軸交點(diǎn)在D如圖：在y=ax2+2ax?3a中，令x=?4∵C?4∴5a=5，即a=1時(shí)拋物線過點(diǎn)C，由圖可知，當(dāng)a≥1時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a②當(dāng)a<0時(shí)，若頂點(diǎn)在線段CD時(shí)，如圖：此時(shí)?4a=5解得a=?5若頂點(diǎn)在直線y=5上方，即?4a>5時(shí)，如圖：∵二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD只有一個(gè)交點(diǎn)，C∴5a<5?3a>5解得a<?5此時(shí)滿足?4a>5，∴a<?5綜上所述，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a的圖象與線段CD只有一個(gè)交點(diǎn)，a的取值范圍是a≥1或a=?13．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B6,0（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)），與（1）求b，（2）連接BC，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC，（?。┤鐖D2，AP與BC交于點(diǎn)M，若S△ACM?S（ⅱ）如圖3，過點(diǎn)P作PQ∥AC交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，求S△PAQ【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，主要涉及了求二次函數(shù)解析式、利用面積的轉(zhuǎn)化求三角形面積、在坐標(biāo)系中求線段的長度，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出線段長度．（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)和OB=OC可以求出c的值，再將點(diǎn)B6,0代入拋物線中即可求出b（2）（?。┰O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,12t2?2t?6，再將S△ACM?S△PBM轉(zhuǎn)化為S△ABC?S△ABP即可求出結(jié)果；（ⅱ）連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，由PQ【解題過程】（1）解：∵B6,0∴OB=OC=6，∵點(diǎn)C位于原點(diǎn)下方，∴C0,?6∴c=?6，把點(diǎn)B6,0代入拋物線y=得0=1解得b=?2，故b，c的值分別為（2）（?。┯桑?）可知拋物線的解析式為y=1當(dāng)y=0時(shí)，12解得x1∴A?2,0∴AB=6??2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,12t則S△ACM整理，得t2解得t1=?22當(dāng)t=22+2時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為22（ⅱ）如圖，連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∵PQ∥∴S∴S設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B6,0和點(diǎn)C0=6k+b?6=b∴直線BC的解析式為y=x?6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,12m∴PE=m?6∴S∵?3∴當(dāng)m=3時(shí)，S△PAQ+S14．（23-24九年級(jí)下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，B2,0兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若P是拋物線上的點(diǎn)且在直線l的下方，連接PA，PD，當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大值；（3）若Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ=45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)點(diǎn)，求得二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)D代入y=ax（2）利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=x+4，過點(diǎn)P作PH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)Pn,n2+2n?8，則點(diǎn)（3）根據(jù)直線AD的解析式為y=x+4，求得點(diǎn)D0,4，則∠OAC=∠ACO=45°，分類討論①若點(diǎn)Q位于直線AD上面；②若點(diǎn)Q位于直線AD【解題過程】（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A?4,0，∴0=16a?4b+c0=4a+2b+c7=9a+3b+c，解得則二次函數(shù)y=x（2）解：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+bk≠0則0=?4k+b7=3k+b，解得k=1∴直線AD的解析式為y=x+4，過點(diǎn)P作PH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，如圖，設(shè)點(diǎn)Pn,n2∴S=?=?則當(dāng)n=?12時(shí)，點(diǎn)P?12（3）解：①若點(diǎn)Q位于直線AD上面，如圖：過點(diǎn)D作DQ⊥y軸交于點(diǎn)Q,∵∠ADQ=45°，∴∠DCQ=∠ADQ=45°，∴CQ=DQ,∵D3,7，∴CQ=DQ=3,∵直線AD的解析式為y=x+4，∴點(diǎn)C0,4，即OC=4∵A?4,0∴OA=4,∴AO=CO，根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)Q0,m，則m=OC+CQ=4+3=7∴Q0,7②若點(diǎn)Q位于直線AD下面，∵∠ADQ=45°，∠OAC=45°，∴點(diǎn)Q位于與y軸平行的直線上，與題意矛盾，不符合題意．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q0,715．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知拋物線y＝?x2+bx+c過點(diǎn)A?72,（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA+MC的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AB，在AB上方的拋物線上是否存在一動(dòng)點(diǎn)D，使△ABD面積取得最大值，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，并求△ABD的最大面積．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得直線A'C的解析式為y=2514x+4，又兩點(diǎn)之間線段最短，得此時(shí)MA+MC取最小值，最小值為線段A（3）過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F．如圖2所示．先求出直線AB的解析式為y=?12x+12．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t,?t2?3t+4，則點(diǎn)【解題過程】（1）解：將點(diǎn)A?72,9?解得b=?3,∴該拋物線的解析式為y=?x（2）解：如圖1，作A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A'?72,?9y=?x2?3x+4中，令x=0∴C0設(shè)直線A'C的解析式為把A'?72,4=n?解得m=25∴直線A'C的解析式為∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時(shí)MA+MC取最小值，最小值為線段A'令y=0，25∴x=?56∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為?56（3）解：過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F．如圖2所示．設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n（m≠0），∵點(diǎn)A?72∴?72∴直線AB的解析式為y=?1∵該拋物線的解析式為y=?x∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t,?t∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為t,0，點(diǎn)F的坐標(biāo)為?7∴S==?=?9∵?9∴當(dāng)t=?54時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為?54,16．（2023·山東東營·二模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與y（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積為12時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=?12x2+bx+c（2）先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)，再求出BC的表達(dá)式為y=?12x+2．過P點(diǎn)做y軸的平行線交BC的延長線與M點(diǎn)，設(shè)P(m,?12m2+3（3）根據(jù)題意當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求解；當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，設(shè)CQ與x軸交于點(diǎn)E，首先根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出CE的解析式，最后聯(lián)立直線CE和拋物線即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解題過程】（1）解：將A(?1,0)，C(0,2)代入y=?1∴c=2?解得b=3∴拋物線的解析式y(tǒng)=?1（2）解：

由y=?1x1=?1，∵A(?1,0)，∴B(4,0)．設(shè)BC的表達(dá)式為：y=kx+b，則b=24k+b=0，解得k=?∴BC:y=?1過P點(diǎn)做y軸的平行線交BC的延長線與M點(diǎn)，設(shè)P(m,?12m則PM=?∵S△BCP∴12得PM=6，∴12解得m1=?2，∴P(?2,?3)．（3）解：存在，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限拋物線上時(shí)，∵∠QCB=∠CBO，∴CQ∥OB，∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵A?1,0，B∴拋物線的對(duì)稱軸為x=?1+4∵C0,2∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,2；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限的拋物線上時(shí)，設(shè)CQ與x軸交于點(diǎn)E．∵∠QCB=∠CBO，∴EC=EB，∴設(shè)EC=EB=x，∵C0,2，B∴OC=2，OE=4?x，∴在Rt△OEC中，O即22解得x=5∴OE=3∴E3∴設(shè)直線CE的解析式為y=k將C0,2，E32∴解得b1∴y=?4∴聯(lián)立直線CE和拋物線得，y=?4∴解得x1=0（舍去0），∴將x2=173代入∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為173綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,2或17317．（23-24九年級(jí)上·全國·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B（A在y軸右側(cè)，B在y軸左側(cè)），C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，已知OC=3（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得PO+PC的值最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若y=ax2+bx+c有最低點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ACQ【思路點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，配方法求二次函數(shù)的最大值，利用點(diǎn)Q和點(diǎn)F的坐標(biāo)求得QF的長，從而得到△ACQ的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可求點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求出點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)M坐標(biāo)，連接MC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，用待定系數(shù)法可求CM解析式，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Qa,a2?2a?3，則點(diǎn)Fa,a?3，求出QF【解題過程】（1）（1）∵OC=3，且OA=OC=3OB．∴OA=3，OB=1，且A在y軸右側(cè)，B在y軸左側(cè)，∴點(diǎn)A3,0，點(diǎn)B?1,0，點(diǎn)C設(shè)拋物線解析式為y=a(x?3)(x+1)，若點(diǎn)C0,?3∴?3=a×(?3)×1∴a=1，∴拋物線解析式為：y=(x?3)(x+1)=x若點(diǎn)C0,3∴3=a×(?3)×1∴a=?1，∴拋物線解析式為：y=?1×(x?3)(x+1)=?x（2）∵點(diǎn)A3,0，點(diǎn)B∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)O0,0關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)為M連接MC，交直線x=1的交點(diǎn)為P點(diǎn)，∵點(diǎn)C0,3∴設(shè)直線MC解析式為y=kx+若C0,3，M2,0解得b則直線MC解析式為：y=?3∴當(dāng)x=1時(shí)，y=∴點(diǎn)P1若點(diǎn)C0,?3同理可得直線EC解析式為：y=3∴當(dāng)x=1時(shí)，y=?∴點(diǎn)P1,?（3）如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AB，交AC于點(diǎn)F，∵若y=ax∴y=x∵點(diǎn)A3,0，點(diǎn)C∴直線AC的解析式y(tǒng)=x?3，設(shè)點(diǎn)Qa,a2∴QF=a?3?(a∴S∴當(dāng)a=32時(shí)，△ACQ面積的最大值為27818．（23-24九年級(jí)下·重慶南岸·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=?2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，求S△CPQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P（3）將原拋物線沿射線CA方向平移22個(gè)單位長度，在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)G，使得∠ACG=15°，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)G【思路點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的平移等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵（1）利用對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出OA=OC=6，得到∠CAO=45°，得到P2t?6,2t，（3）求出平移后的解析式為y=?12x+42=6，得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?4，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)G在直線AC【解題過程】（1）∵對(duì)稱軸為直線x=?2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0，∴A將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax4a+2b+6=0解得a=?∴y=?（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=?∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,6，∴CO=6，∵A∴OA=OC=6，∴∠CAO=45°，∵點(diǎn)P從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∴AP=2t∴P2∵點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，∴CQ=t∴Q∴S△CPQ∴當(dāng)t=322時(shí)，S△CPQ的最大值為9（3）∵原拋物線沿射線CA方向平移22∴拋物線向x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，向y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，∴平移后的解析式為y=?1∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?4當(dāng)點(diǎn)G在直線AC下方時(shí)，如圖1，設(shè)CG與x軸交于點(diǎn)E，∵∠ACE=15°，∠ACO=45°∴∠OCE=30°∴EO=2∴E?2設(shè)直線CE的解析式為y=kx+6∴0=?2∴k=∴直