人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題13.4軸對稱中的最值問題(壓軸題專項講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題13.4軸對稱中的最值問題思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。典例分析典例分析【典例1】“將軍飲馬問題”：如圖1所示，將軍每天從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決“將軍飲馬問題”的圖形；（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是__________________；（3）應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；②如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是______，此時∠CFE=______．【思路點撥】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解答；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到△PCD，根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等的性質(zhì)和三線合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以點E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接FM交CE于E'，此時AE+EF的值最小，此時AE+EF=FM，所以△AEF周長的最小值是【解題過程】（1）解：作圖如下：（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長最小，連接OM、由軸對稱的性質(zhì)可知，OM=OP=12，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON為等邊三角形，∴MN=12，∴△PCD的周長=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接FM交CE于E'此時AE+EF的值最小，此時AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∴△ACM≌∴FM=FB=b，∴△AEF周長的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于點D，點P，Q分別是CD，AC上的動點，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值是（

）A．6 B．5 C．4.8 D．42．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動點，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．93．（23-24八年級上·安徽·單元測試）如圖，在銳角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，點D在邊AC上，點P、Q分別在線段BD、BC上運(yùn)動，則PQ+PC的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24八年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，BC上方有一動點P滿足S△PBC=12S△ABC，則點

A．60° B．45° C．30° D．不確定5．（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）

A．76° B．84° C．96° D．109°6．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠AOB=18°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則β?α=．7．（24-25八年級上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，已知∠AOB=30°，點P是射線OA上的一個動點，點M是射線OB上的一個定點，PQ為點P到OB邊的距離，則當(dāng)PM+PQ最小時，PMPQ=8．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，射線l⊥線段BC，垂足為B，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，DC=3，BD=2．點E為射線l上的一動點，當(dāng)△AED的周長最小時，S△EDC=9．（23-24八年級上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，點E在等邊三角形ABC的邊BC上，BE=4，射線CD⊥BC，垂足為C，P是射線CD上一動點，F(xiàn)是線段AB上一動點，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF=6，則AB的長為．10．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，點P，Q分別在邊AB，BC上，則AQ+PQ的最小值為．11．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P為邊BC上方的一個動點．△PBC的面積等于△ABC的面積的12，則當(dāng)PB+PC最小時，∠PCB的度數(shù)為12．（23-24八年級上·福建龍巖·期中）如圖，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當(dāng)PM+PN最小時，則∠PMO的度數(shù)為．13．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線且AD=12，F(xiàn)是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為．14．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的動點，則△DEF15．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在面積為458的銳角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC內(nèi)部一點，E，F(xiàn)分別是邊BC,AC上的動點，連接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面積為1，則△DEF16．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，點M，N分別是邊OA，OB上的動點，點M，N不與點（1）若將點P在∠AOB的內(nèi)部移動位置，使OP平分∠AOB，當(dāng)PN∥OA，ON=2時，PN的長等于（2）若∠AOB=60°，OP=a，隨著點M，N位置的變動，當(dāng)△PMN周長最小時，點O到直線MN的距離等于．（用含17．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為a，沿河OB排開（從點P到點Q）；將軍從馬棚M出發(fā)到達(dá)隊頭P，從P至Q檢閱隊伍后再趕到校場N．問：在什么位置列隊（即選擇點P和Q），可以使得將軍走的總路程MP+PQ+QN最短？18．（23-24八年級上·廣西桂林·期中）數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用：白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣模型學(xué)習(xí)：詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把直線同側(cè)兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學(xué)模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使PA+PB的值最小．作法：作A點關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，A'B與直線l模型應(yīng)用：（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm，P為AH上一動點，D為AB①當(dāng)PD+PB的最小值時，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．②則PD+PB的最小值為cm．模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點，連接PO后測得PO=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個三角形花壇PQR，點Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求△PQR周長的最小值．

19．（24-25八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）在△ABC中，∠B=90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=50°時，則∠AED=______°；（2）當(dāng)∠BAC=60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P為直線CF上一動點．當(dāng)PE?PD的值最大時，請?zhí)骄勘硎綪E，PD與20．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖1，△ABC為等腰三角形，AB=AC，D是線段BC的中點，過點D作射線DE和射線DF，分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)，∠AED+∠AFD=180°．（1）∠AED與∠CFD相等嗎？為什么？（2）DE與DF相等嗎？為什么？（3）如圖2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10，試求EF+EC的最小值．（在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）專題13.4軸對稱中的最值問題思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。典例分析典例分析【典例1】“將軍飲馬問題”：如圖1所示，將軍每天從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決“將軍飲馬問題”的圖形；（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是__________________；（3）應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；②如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是______，此時∠CFE=______．【思路點撥】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解答；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到△PCD，根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等的性質(zhì)和三線合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以點E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接FM交CE于E'，此時AE+EF的值最小，此時AE+EF=FM，所以△AEF周長的最小值是【解題過程】（1）解：作圖如下：（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長最小，連接OM、由軸對稱的性質(zhì)可知，OM=OP=12，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON為等邊三角形，∴MN=12，∴△PCD的周長=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點E在射線CE上運(yùn)動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接FM交CE于E'此時AE+EF的值最小，此時AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∴△ACM≌∴FM=FB=b，∴△AEF周長的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于點D，點P，Q分別是CD，AC上的動點，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值是（

）A．6 B．5 C．4.8 D．4【思路點撥】本題考查了軸對稱——最短路線問題、角平分線的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出P點．如圖，作點Q關(guān)于直線CD的對稱點Q'，作AM⊥BC于M.由PA+PQ=PA+PQ'，推出根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，P，Q'共線，且與AM重合時，PA+PQ的值最小，最小值=線段【解題過程】解：如圖中，作點Q關(guān)于直線CD的對稱點Q'，作AM⊥BC于M∵PA+PQ=PA+PQ∴根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，P，Q'共線，且與AM重合時，PA+PQ的值最小，最小值=線段AM∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AC=8，∴AM=AB?AC故選：C．2．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動點，則CE+EF的最小值為（

）A．12 B．15 C．18 D．9【思路點撥】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．如圖：在BA上取一點G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值為CH的長，再求出【解題過程】解：如圖：在BA上取一點G，使BG=BF，連接CG，EG，作CH⊥AB于∵BD平分∠ABC，∴直線BD是∠ABC的對稱軸，∴EG=EF，∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，∴CE+EF的最小值為CH的長，∵AB=15，△ABC的面積為90，∴12AB?CH=1∴CE+EF的最小值為：12．故選：C．3．（23-24八年級上·安徽·單元測試）如圖，在銳角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，點D在邊AC上，點P、Q分別在線段BD、BC上運(yùn)動，則PQ+PC的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】本題考查了軸對稱-最短路徑問題、角平分線的性質(zhì)定理，30°的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短路徑問題，作點Q關(guān)于BD的對稱點M，連接CM，當(dāng)CM⊥AB時．此時PQ+PC取得最小值．【解題過程】解：∵∠ABC=30°,∠ABD=15°，∴BD是∠ABC的平分線，作點Q關(guān)于BD的對稱點M，連接PM、由對稱的性質(zhì)可知，PQ=PM,∠QBP=∠MBP=15°∴PQ+PC=PM+PC≥CM，∵∠QBP=∠MBP=15°,∴∠QBP+∠MBP=30°,∵∠ABC=30°,∴M在AB上由垂線段最短可知：當(dāng)CM⊥AB時．CM取得最小值，∴此時PQ+PC也取得最小值．∵CM⊥AB，∴∠BMC=90°，∵∠ABC=30°∴CM=∴PQ+PC的最小值為：2．故選：B．4．（23-24八年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，BC上方有一動點P滿足S△PBC=12S△ABC，則點

A．60° B．45° C．30° D．不確定【思路點撥】本題主要考查了軸對稱變換?最短距離問題，根據(jù)三角形的面積關(guān)系得出點P在過AD的中點E且平行于BC的直線l上是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)S△PBC=12S△ABC得出點P到BC的距離等于AD的一半，即點P在過AD的中點且平行于BC的直線l上，則此問題轉(zhuǎn)化成在直線l上求作一點P，使得點P到B、C兩點距離之和最小，作出點C關(guān)于直線l的對稱點C'【解題過程】解：∵SΔ∴點P到BC的距離=1∴點P在過AD的中點E且平行于BC的直線l上，作C點關(guān)于直線l的對稱點C'，連接BC'，交直線l

則點P即為到B、C兩點距離之和最小的點，∵AD⊥BC，E為AD的中點，l∥BC，點C和點C'關(guān)于直線l∴CC∴三角形BCC∴∠PBC=45°．故選：B．5．（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）

A．76° B．84° C．96° D．109°【思路點撥】本題考查了最短路線問題．延長AB至A'，使A'B=AB，延長AE至A″，使A″E=AE，則BC垂直平分AA'，DE垂直平分AA″，所以AM=A'M，A″N=AN，△ABC的周長為AM+MN+AN，要使其周長最小，即使A'【解題過程】解：如圖，延長AB至A'，使A

延長AE至A″，使A則BC垂直平分AA'，DE垂直平分∴AM=A'M根據(jù)兩點之間，線段最短，當(dāng)A'，M，N，A″四點在一條直線時，則AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周長最小，∵AM=A'M∴可設(shè)∠MAA'=∠M在△AA'A∵∠AMN=∠MAA'+∠M∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，故選：C．6．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠AOB=18°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則β?α=．【思路點撥】本題考查軸對稱?最短問題、三角形外角的性質(zhì)．作M關(guān)于OB的對稱點M'，N關(guān)于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN【解題過程】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M'，N關(guān)于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ=1∴∠QPN=∠OPM∴180°?α=36°+180°?β，∴β?α=36°，故答案為：36°．7．（24-25八年級上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，已知∠AOB=30°，點P是射線OA上的一個動點，點M是射線OB上的一個定點，PQ為點P到OB邊的距離，則當(dāng)PM+PQ最小時，PMPQ=【思路點撥】作點M關(guān)于OA的對稱點M'，連接OM',PM'，得到PM+PQ=M'P+PQ≥M'Q，進(jìn)而得到當(dāng)【解題過程】解：作點M關(guān)于OA的對稱點M'，連接OM'∴∠M'OM=60°∴△OMM'為等邊三角形，當(dāng)M'，P，Q∴∠OM∵PQ為點P到OB邊的距離，∴PQ⊥OB，∴M'∴∠OM∴PM=PM∵∠AOB=30°，PQ⊥OB，∴PM=PM∴PMPQ故答案為：2．8．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，射線l⊥線段BC，垂足為B，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，DC=3，BD=2．點E為射線l上的一動點，當(dāng)△AED的周長最小時，S△EDC=【思路點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式，作點D關(guān)于l的對稱點D'，連接AD'交l于點E'，連接DE'，CE'，則DE'=D'E'，BD=B【解題過程】解：如圖，作點D關(guān)于l的對稱點D'，連接AD'交l于點E'，連接則DE'=∴DD∴△ADD∴∠AD∴△D∴BD∵△AED的周長=AD+AE+DE，∴當(dāng)A、E'、D'在同一直線上時，△AED的周長最小，∴當(dāng)△AED的周長最小時，S△EDC故答案為：3．9．（23-24八年級上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，點E在等邊三角形ABC的邊BC上，BE=4，射線CD⊥BC，垂足為C，P是射線CD上一動點，F(xiàn)是線段AB上一動點，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF=6，則AB的長為．【思路點撥】本題主要考查軸對稱一最短路徑，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，作點E關(guān)于CD的對稱點E'，連接PE'，當(dāng)點E'，P，F(xiàn)三點共線，【解題過程】解：如圖所示，作點E關(guān)于CD的對稱點E′，連接PE∴PE=PE∴EP+FP=PE當(dāng)點E'，P，F(xiàn)三點共線，E'F⊥AB∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60，∵E∴∠FE∴BE∵BF=6，∴BE∵CE=CE∴12=2CE+BE=2CE+4，解得，CE=4，∴AB=BC=4+4=8，故答案為：8．10．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，點P，Q分別在邊AB，BC上，則AQ+PQ的最小值為．【思路點撥】作點A關(guān)于直線BC的對稱點E，連接EB、AE、PE，作EF⊥AB于點F，由AB=AC=8，∠BAC=150°，求得∠ABC=∠C=15°，EB=AB=8，則∠ABE=30°，所以EF=12EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ【解題過程】解：作點A關(guān)于直線BC的對稱點E，連接EB、AE、PE，作EF⊥AB于點F，∵AB=AC=8，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=1∵BC垂直平分AE，∴EB=AB=8，∴∠EBC=∠ABC=15°，∴∠ABE=2∠ABC=30°，∵∠BFE=90°，∴EF=1∵EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，∴AQ+PQ≥EF，即AQ+PQ≥4，∴AQ+PQ的最小值為4．故答案為：4．11．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P為邊BC上方的一個動點．△PBC的面積等于△ABC的面積的12，則當(dāng)PB+PC最小時，∠PCB的度數(shù)為【思路點撥】由三角形面積關(guān)系得出P在與BC平行，且到BC的距離為12AC的直線l上，l∥BC，作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接B'C交l于P，則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點P到B、C兩點距離之和最小，然后證明△BB′C≌△CAB（SAS），得出∠B′CB＝∠ABC，然后由已知求出∠ABC【解題過程】解：∵△PBC的面積等于△ABC的面積的12，∠ACB∴P在與BC平行，且到BC的距離為12AC的直線l∴l(xiāng)∥BC，作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接B'C交l于P，BB′交l于D，如圖所示：則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點P到B、C兩點距離之和最小，∵BB′⊥l，l∥BC，∴BB′⊥BC，即∠B′BC＝90°，∵BD＝B′D＝12BB′，BD＝12∴BB′＝AC，又∵BC＝BC，∴△BB′C≌△CAB（SAS），∴∠B′CB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，即∠PCB＝70°，故答案為：70°．12．（23-24八年級上·福建龍巖·期中）如圖，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當(dāng)PM+PN最小時，則∠PMO的度數(shù)為．【思路點撥】找到點M關(guān)于OC對稱點M'，過點M'作M'N⊥OB于點N，交OC干點【解題過程】解：如圖，作點M關(guān)于OC對稱點M'∵OC平分∠AOB，∴點M'一定在OA過點M'作M'N'⊥OB于點N'，交∵PM=PM∴此時PM+PN=PM∵點M與點M'關(guān)于OC∴OM=OM∵∠AOB=45°，∴∠PM∴∠PMO=∠PM故答案為45°．13．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線且AD=12，F(xiàn)是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為．【思路點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，作E關(guān)于AD的對稱點M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出CN，根據(jù)對稱性求出CF+EF=CM，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥120【解題過程】解：作E關(guān)于AD的對稱點M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD=12∴S△ABC∴CN=BC×AD∵E關(guān)于AD的對稱點M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥120即CF+EF的最小值是12013故答案為：1201314．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的動點，則△DEF【思路點撥】根據(jù)對稱性質(zhì)，將△DEF周長轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見詳解），作點E關(guān)于AB的對稱點M，作點E關(guān)于AC的對稱點N，連接AM，AE，AN，三角形AMN是等邊三角形，△DEF周長DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面積是6，BC=7【解題過程】解：如圖所示，作點E關(guān)于AB的對稱點M，作點E關(guān)于AC的對稱點N，連接AM，AD，AN，∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分線，AC是EN的垂直平分線，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，∴三角形AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN=AE，∴當(dāng)點M,D,F,N在一條直線上時，△DEF周長DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，根據(jù)點到直線垂線段最短，可知當(dāng)AE⊥BC時，AE最小，即△DEF周長最小，∵△ABC的面積是6，BC=6，即S△ABC∴AD=247，即△DEF周長最小故答案為：24715．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在面積為458的銳角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC內(nèi)部一點，E，F(xiàn)分別是邊BC,AC上的動點，連接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面積為1，則△DEF【思路點撥】作點D關(guān)于BC的對稱點N，關(guān)于AC的對稱點M，連接CD,CM,CN,MN,EN,FM，易證△CMN為等邊三角形，得到MN=CD，根據(jù)△DEF的周長=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，進(jìn)而得到當(dāng)M,E,F,N四點共線時，△DEF的周長最小，為MN的長，即為CD的長，進(jìn)而得到當(dāng)CD最小時，△DEF的周長最小，過點C作CP⊥AB，過點D作DQ⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CP,DQ的長，進(jìn)而得到點D在平行于AB且距離等于DQ的直線HG上，進(jìn)而得到當(dāng)D為HG與CP的交點時，CD的長度最小，進(jìn)行求解即可．【解題過程】解：作點D關(guān)于BC的對稱點N，關(guān)于AC的對稱點M，連接CD,CM,CN,MN,EN,FM，則：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,∠DCE=∠NCE,∠DCF=∠MCF，∴∠DCE+∠NCE+∠DCF+∠MCF=2∠ACB=60°，∴△CMN為等邊三角形，∴MN=CN=CD，∴△DEF的周長=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，∴當(dāng)M,E,F,N四點共線時，△DEF的周長最小，為MN的長，即為CD的長，∴當(dāng)CD最小時，△DEF的周長最小，過點C作CP⊥AB，過點D作DQ⊥AB，∴S△ABC=1∴CP=92，∴點D在平行于AB且距離等于45的直線HG∴當(dāng)D為HG與CP的交點時，CD的長度最小，此時CD=9∴△DEF周長的最小值為3710故答案為：371016．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，點M，N分別是邊OA，OB上的動點，點M，N不與點（1）若將點P在∠AOB的內(nèi)部移動位置，使OP平分∠AOB，當(dāng)PN∥OA，ON=2時，PN的長等于（2）若∠AOB=60°，OP=a，隨著點M，N位置的變動，當(dāng)△PMN周長最小時，點O到直線MN的距離等于．（用含【思路點撥】本題考查了軸對稱最短線路問題、平行線性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點，作輔助線找到M，N的位置是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：OP平分∠AOB，當(dāng)PN∥OA，，得到（2）如圖：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D，連結(jié)CD，交OA，OB于M，N兩點，作OE⊥CD于E．此時當(dāng)△PMN周長最小時，【解題過程】解：（1）如圖：∵OP平分∠AOB，∴∠BOP=∠AOP，∵PN∥∴∠AOP=∠NPO，∴∠BOP=∠NPO，∴ON=PN=2．故答案為：2．（2）如圖：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D，連結(jié)CD，交OA，OB于M，N兩點，作∴NC=NP，∴△PMN周長=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD，假設(shè)隨著點M，N位置的變動，M'，N'不在∴△PMN周長的最小值=CD．∵作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，∴OB垂直平分PC，∴OC=OP，同理：OP=OD，∵∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∵OC=OD=a,∴∠OCD=∠ODC=30°，∵OE⊥CD，∴OE=1∴點O到直線MN的距離等于12故答案為：1217．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為a，沿河OB排開（從點P到點Q）；將軍從馬棚M出發(fā)到達(dá)隊頭P，從P至Q檢閱隊伍后再趕到校場N．問：在什么位置列隊（即選擇點P和Q），可以使得將軍走的總路程MP+PQ+QN最短？【思路點撥】MP+PQ+QN的值最小，其中PQ是定值a，問題轉(zhuǎn)化為MP+QN最小，先作ME∥OB，使得ME=a，再作對稱點，連接對稱點和N即可求解．【解題過程】解：如圖，作ME∥OB，使得ME=a，作點E關(guān)于OB的對稱點F，連接FN交OB于點Q，在OQ上截取QP=a，連接MP，線路M→P→Q→N時，MP+PQ+QN的值最小，．18．（23-24八年級上·廣西桂林·期中）數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用：白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣模型學(xué)習(xí)：詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把直線同側(cè)兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學(xué)模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使PA+PB的值最小．作法：作A點關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，A'B與直線l模型應(yīng)用：（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm，P為AH上一動點，D為AB①當(dāng)PD+PB的最小值時，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．②則PD+PB的最小值為cm．模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點，連接PO后測得PO=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個三角形花壇PQR，點Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求△PQR周長的最小值．

【思路點撥】此題是幾何變換綜合題，考查軸對稱的性質(zhì)和最短路徑問題，（1）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)點B，C關(guān)于AH對稱，進(jìn)而連接CD交AH于點P即可；②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)BP=CP，進(jìn)而解答即可；（2）分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點M，N，連接OM，ON，MN，MN交OA，OB于點Q，R，連接PR，PQ，此時ΔPQR周長的最小值等于MN解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出線段相等解答．【解題過程】（1）①如圖所示點P為所求的點：

②∵B，C關(guān)于AH對稱，∴BP=PC，∴PD+PB=CD，∴PD+PB的最小值=CD=AH=8cm故答案為：8；（2）如圖所示，分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點M，N，連接OM，ON，MN，MN交OA，OB于點Q，R，連接PR，PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．

由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×30°=60°，則△MON為等邊三角形，即NM=ON=OP=10cm即ΔPQR周長的最小值等于1019．（24-25八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）在△ABC中，∠B=90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=50°時，則∠AED=______°；（2）當(dāng)∠BAC=60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P為直線CF上一動點．當(dāng)PE?PD的值最大時，請?zhí)骄勘硎綪E，PD與【思路點撥】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①證明EA=ED，∠AED=60°即可推出△AED為等邊三角形；②作點D關(guān)于直線CF的對稱點D'，