2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.5.3平面與平面平行同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十八平面與平面平行(20分鐘35分)1.下列四個(gè)正方體圖形中,A,B,C為正方體所在棱的中點(diǎn),則能得出平面ABC∥平面DEF的是 ()【解析】選B.在B中,如圖,連接MN,PN,因?yàn)锳,B,C為正方體所在棱的中點(diǎn),所以AB∥MN,AC∥PN,因?yàn)镸N∥DE,PN∥EF,所以AB∥DE,AC∥EF,所以AB∥平面DEF,AC∥平面DEF,又AB∩AC=A,所以平面ABC∥平面DEF.2.若三條直線a,b,c滿意a∥b∥c,且a?α,b?β,c?β,則兩個(gè)平面α,β的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能確定【解析】選C.由題意可知,b,c在平面β內(nèi),但不相交,因?yàn)閍∥b∥c,所以a所在平面α與平面β不肯定只平行,有可能相交.3.平面α∥平面β,AB,CD是夾在α和β間的兩條線段,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),則EF與α ()A.平行 B.相交C.垂直 D.不能確定【解析】選A.若AB,CD共面,則EF∥AC,故EF∥α,若AB,CD是異面直線,則連接AD并取AD的中點(diǎn)M,連接EM與FM,則可得出EM∥平面β,且FM∥平面α,又因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?所以EM∥平面α,又EM∩FM=M,EM,FM?平面EFM,故平面EFM∥平面α,所以EF與α平行.4.若夾在兩個(gè)平面間的三條不共面的平行線段相等,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是.

【解析】設(shè)α,β為平面,AA′,BB′,CC′為平行線段且相等.因?yàn)锳A′BB′,所以四邊形AA′B′B為平行四邊形.所以AB∥A′B′,同理BC∥B′C′,所以AB∥β,BC∥β,又因?yàn)锳B∩BC=B,所以平面α∥平面β.答案:平行5.棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),過點(diǎn)E作平面α,使得平面α∥平面AB1C,則平面α在正方體表面上截得的圖形的周長為【解析】如圖,F,G,H,I,J分別為棱AD,AA1,A1B1,B1C1,CC1則HI∥A1C1∥GJ,故G,H,I,J四點(diǎn)共面,同理E,F,G,J四點(diǎn)共面.因?yàn)镋J∥AB1,EF∥AC,EF∩EJ=E,EJ∥平面AB1C,EF∥平面AB所以平面EFGJ∥平面AB1C所以H,I∈平面EFGJ,所以平面EFGHIJ即為平面α,依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得,六邊形每條邊的長度都等于正方體表面對(duì)角線的一半,即每邊長都等于QUOTE=QUOTE,故六邊形的周長為6QUOTE.答案:6QUOTE6.如圖,在三棱柱ABC-A′B′C′中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC′D平行,問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線,并說明理由.【解析】在三棱柱ABC-A′B′C′中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),取B′C′的中點(diǎn)E,連接A′E,A′B,BE,則平面A′EB∥平面AC′D,A′E,A′B,BE即為應(yīng)畫的線.證明如下:因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),E為B′C′的中點(diǎn),所以BD=C′E,又因?yàn)锽C∥B′C′,所以四邊形BDC′E為平行四邊形,所以DC′∥BE.連接DE,則DEBB′,所以DEAA′,所以四邊形AA′ED是平行四邊形,所以AD∥A′E.所以BE∥平面ADC′,A′E∥平面ADC′.又因?yàn)锳′E∩BE=E,A′E?平面A′BE,BE?平面A′BE,AD∩DC′=D,AD?平面AC′D,DC′?平面AC′D,所以平面A′EB∥平面AC′D.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若平面α∥平面β,直線a?α,點(diǎn)M∈β,過點(diǎn)M的全部直線中 ()A.不肯定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在多數(shù)條與a平行的直線D.有且只有一條與a平行的直線【解析】選D.由于α∥β,a?α,M∈β,過M有且只有一條直線與a平行.2.如圖所示,P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,則△A′B′C′與△ABC的面積比為 ()A.2∶5 B.2∶7 C.4∶49 D.9∶25【解析】選C.因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC,平面α∩平面PAB=A′B′,平面ABC∩平面PAB=AB,所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB=PA′∶PA.又PA′∶AA′=2∶5,所以A′B′∶AB=2∶7.同理B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,所以△A′B′C′∽△ABC,所以S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.3.如圖所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分別在α,β內(nèi),線段AA′,BB′,CC′共點(diǎn)于O,O在α,β之間,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA′=3∶2,則△A′B′C′的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選B.由題意可知,AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,所以△ABC∽△A′B′C′,且QUOTE=QUOTE=QUOTE.QUOTE=QUOTE,因?yàn)镾△ABC=QUOTEAB·AC=1,所以S△A′B′C′=QUOTE.4.(2024·廣州高一檢測(cè))如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn),F是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn),且B1F∥平面A1BE,則F在側(cè)面CDDA.a B.QUOTE C.QUOTEa D.QUOTE【解析】選D.設(shè)G,H,I分別為CD,CC1,C1D1邊上的中點(diǎn),連接B1I,B1H,IH,CD1,EG,BG,則A1,B,E,G四點(diǎn)共面,且平面A1BGE∥平面B1HI,又因?yàn)锽1F∥平面A1所以F落在線段HI上,因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1所以HI=QUOTECD1=QUOTEa.即F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是QUOTEa.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是 ()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.隨意一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α【解析】選BD.對(duì)于A,一條直線與兩個(gè)平面都平行,兩個(gè)平面不肯定平行,故A不對(duì);對(duì)于B,由面面平行的定義可知正確;對(duì)于C,兩個(gè)平面中的兩條直線平行,不能保證兩個(gè)平面平行,故C不對(duì);對(duì)于D,兩個(gè)平面中的兩條異面直線分別平行于另一個(gè)平面,可以保證兩個(gè)平面平行.6.平面α與平面β平行的條件可以是 ()A.α內(nèi)有多數(shù)多條直線都與β平行B.直線a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,a∩b=AC.平面α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等D.一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β【解析】選BD.A中這多數(shù)條直線可能是平行直線;B中因?yàn)閍∩b=A,所以確定平面γ,所以α,β都與平面γ平行,故α∥β;D中一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線必相交,依據(jù)平面與平面平行的判定定理可知α∥β.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,M,N分別為棱A1D1,A1B1的中點(diǎn),過點(diǎn)B的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面是形,面積為【解析】如圖所示,截面為等腰梯形BDPQ,故截面的面積為QUOTE×(2QUOTE+4QUOTE)×3QUOTE=18.答案:等腰梯188.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點(diǎn)E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,則AF的長為【解析】因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍮C1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E,所以AF=B1E=1.答案:1四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·石嘴山高一檢測(cè))已知長方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為CC1和BB1的中點(diǎn),QUOTEAA1=AB=BC=2.(1)求三棱錐C1-A1FA的體積.(2)求證:平面AC1F【解析】(1)由題意可知:C1B1⊥平面A1FA,QUOTEAA1=AB=BC=2,F為BB1的中點(diǎn),所以A1A=4,C1B1所以QUOTE=QUOTEA1A·AB=QUOTE×4×2=4,所以QUOTE=QUOTE·C1B1=QUOTE×4×2=QUOTE.(2)如圖,取DD1的中點(diǎn)G,連接C1G,AG,A1因?yàn)辄c(diǎn)F是BB1的中點(diǎn),所以AG∥C1F,且AG=C1F,所以四邊形AGC1F為平行四邊形,則點(diǎn)A,G,C1,F四點(diǎn)共面,GC1又因?yàn)镋,F分別是線段CC1,BB1的中點(diǎn),所以C1F所以GC1∥平面BDE,C1F又GC1∩C1F=C1且GC1?平面BDE,C1F?所以平面AC1F∥10.已知M,N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的棱AB,PC的中點(diǎn),平面CMN與平面PAD交于PE,求證:(1)MN∥平面PAD.(2)MN∥PE.【證明】(1)如圖,取DC的中點(diǎn)Q,連接MQ,NQ.因?yàn)镹Q是△PDC的中位線,所以NQ∥PD.因?yàn)镹Q?平面PAD,PD?平面PAD,所以NQ∥平面PAD.因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形,所以MQ∥AD.因?yàn)镸Q?平面PAD,AD?平面PAD,所以MQ∥平面PAD.因?yàn)镸Q∩NQ=Q,MQ,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.因?yàn)镸N?平面MNQ,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)知平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,所以MN∥PE.1.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,PA=PB=AB=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED與AF相交于點(diǎn)H,則GH=.

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB∥CD,AB=CD,所以∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,因?yàn)镋,F分別是AB,CD的中點(diǎn),所以AE=FD,所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.因?yàn)槠矫鍭GF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G是PD的中點(diǎn),因?yàn)镻A=PB=AB=2,所以PE=2×sin60°=QUOTE.所以GH=QUOTEPE=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是線段B1D1(1)求證:EF∥平面BDD1B1.(2)在棱CD上是否存在一點(diǎn)G,使得平面GEF∥平面BDD1B1?若存在,求出QUOTE