湖南省長沙市四區(qū)縣2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué) 含解析

2024年3月高三調(diào)研考試科目：數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：1.本試題卷共5頁，共四個(gè)大題，19個(gè)小題.總分150分，考試時(shí)量120分鐘.2.接到試卷后，請檢查是否有缺頁?缺題或字跡不清等問題.如有，清及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名?考號寫在答題卡和該試題卷的封面上，并認(rèn)真核對條形碼的姓名?考號和科目.4.作答時(shí)，請將答案寫在答題卡上.在草稿紙?試題卷上答題無效.姓名__________.準(zhǔn)考證號__________.絕密★啟用前2024年3月高三調(diào)研考試試卷數(shù)學(xué)（長沙縣?望城區(qū)?瀏陽市?寧鄉(xiāng)市聯(lián)合命制）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A.B.C.D.2.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.76B.72C.36D.323.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.5.將甲?乙?丙?丁4個(gè)人全部分配到三個(gè)地區(qū)工作，每個(gè)地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（）A.36種B.24種C.18種D.16種6.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線夾角為，則（）A.B.C.D.7.鈍角中，，則（）A.1B.C.D.08.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為非零復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.B.C.D.若，則的最大值為210.已知函數(shù)，把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，以下說法正確的是（）A.是圖象的一條對稱軸B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.的最大值為11.已知是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)（）A.若，則B.是偶函數(shù)C.在上是增函數(shù)D.的解集是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)如下：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.13.一個(gè)正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為__________.14.已知對任意，且當(dāng)時(shí)，都有：，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.16.（本題滿分15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本題滿分15分）春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計(jì)劃如下：有三個(gè)抽獎項(xiàng)目，它們之間相互不影響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目中獎的概率是，項(xiàng)目和中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加三個(gè)項(xiàng)目，如果三個(gè)項(xiàng)目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券，求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎了，求他參加的是項(xiàng)目的概率.18.（本題滿分17分）如圖，已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為的面積為1.若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線分別與直線交于點(diǎn).（1）求橢圓的方程.（2）證明：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.19.（本題滿分17分）若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為2的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，試比較與的大小，并證明.絕密★啟用前2024年3月高三調(diào)研考試試卷數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號12345678答案BCABACDD1.【解答】：由，所以，所以.故選：B.2.【解答】：.故選C.3.【解答】：由，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿足時(shí)，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“ab”不是“”的必要條件.故選：A.4.【解答】：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，因此雙曲線的離心率.故選：.5.【解答】：由題意，三個(gè)地區(qū)中必有一個(gè)地區(qū)有2人，先在甲?乙?丙?丁4個(gè)人中選2個(gè)人有種組合，將這兩個(gè)人捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其他2個(gè)人一起分配到三個(gè)地區(qū)，共有種，故選：.6.【解答】：如圖，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為1，過點(diǎn)與圓相切的兩條直線夾角為，設(shè)切線為，則圓心到切線的距離，解得或，故切線為或，即一條切線為軸，如圖，所以，且易知一定為第一象限角，解得.故選：7.【解答】：由，在鈍角中，，，即且B為銳角，，若C為鈍角，則，與矛盾，只可能為鈍角，，.故選：選.8.【解答】：根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，則在第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，由，可得，又為直線的傾斜角，，又根據(jù)拋物線的對稱性可知時(shí)，也滿足題意，故.故選：.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.【解答】：對于，設(shè)，當(dāng)均不為0時(shí)，為虛數(shù)，而為實(shí)數(shù)，所以不成立，故錯(cuò)誤；對于，設(shè)，則，所以，而，所以成立，故正確；對于，設(shè)，又，所以，故錯(cuò)誤.對于，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，的幾何意義為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與兩點(diǎn)間的距離，所以，如圖可知，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，最大，取最大值，最大值為2，故正確.故選.10.【解答】：函數(shù)，把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，對于，令，求得，是最大值，故直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故正確.對于，令，求得，可得的單調(diào)減區(qū)間為，故正確.對于C，由于是偶函數(shù)，故它的圖象關(guān)于軸對稱，故錯(cuò)誤.對于，由于，即的最大值為，故正確.故選：.11.【解答】：對選項(xiàng)：取得到，即，取得到，又，解得，正確；對選項(xiàng)B：取得到，即，則為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故，故，即單調(diào)遞增，正確；對選項(xiàng)D：，當(dāng)時(shí)，，則，故；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，則，故；綜上所述：，正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解答】：，故第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，即為9.13.【解答】：由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點(diǎn)，連接是球與側(cè)面的切點(diǎn)，可知在上，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，由，即，解得，所以內(nèi)切球表面積為.故答案為：.14.【解答】：由得：，，.令由①式，所以在上遞減.所以：恒成立，所以恒成立，.故答案：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【解答】（1）證法1：如圖1，取的中點(diǎn)，連接為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，.分別為的中點(diǎn)，，則，從而四邊形為平行四邊形，故.平面平面平面.證法2：如圖2，連接，因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面.證法3：如圖3，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直平分線為軸，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.，平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直平分線為軸，的方向分別為軸的正方向，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.【解答】：（1）時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，解得或（舍去），令，解得，令，解得，故在處取得極小值，極小值為，的極小值為，無極大值.（2）在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間[1，2]上，，令，只需，顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，，的取值范圍是.17.【解答】（1）設(shè)一位顧客獲得元獎券，可能取值為，，，所以每位顧客獲得獎券金額的期望是元.（2）設(shè)“該顧客中獎”為事件，參加項(xiàng)目分別記為事件則，所以，即已知某顧客中獎了，則他參加的是項(xiàng)目的概率是.18.【解答】：（1）依據(jù)題意，解得：橢圓的方程為.（2）解法1：設(shè)直線直線過點(diǎn).聯(lián)立方程組可得：，設(shè)，則：，，，令可得：，下面證明：.即證：，即證：整理可得即證：，即證：，整理可得即證：，即證：，上式成立，原式得證.解法2：設(shè)軸，設(shè)直線過點(diǎn).由方程組可得：當(dāng)時(shí)，，，又三點(diǎn)共線，，，即.點(diǎn)在直線上，，，即三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解法3：設(shè)直線直線過點(diǎn).聯(lián)立方程組可得：，設(shè)，則：又三點(diǎn)共線，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.19.【解答】：