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解答題規(guī)范練
(-)70分解答題規(guī)范練
解答題:本題共7小題,共70分。第22題?23題為選考題。
解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟。
17.在AABC中,已知a,h,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,
兀
/?cosC+ccosB=4,3=4。
請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件①(。+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,
②b=4啦,③V§csin3=bcosC中任意選擇一個(gè),添加到題目的條
件中,求△ABC的面積。
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分。
/+/—c2
解因?yàn)閺膐sC+ccosB=4,所以由余弦定理得力一前一
?2+(?2—b2
+C2ac=4,付q=4。
若選擇條件①,即(a+Z?+c)(sirb4+sinfi—sinC)=3asinB。
在△ABC中,由正弦定理得(a+b+c)(a+b—c)=3ab,所以
(a-\-b)2—c2=3ab,整理得a2-\~b2—c2=ab,
1TT
所以由余弦定理得cosC=5,又C£(0,7i),故。=彳。
乙J
又8=今,所以4=兀一^一彳571
12°
>_?____匕產(chǎn)6/sing4sm4r-_
由sinA—sinr仔》一siM-5兀-4(73—1),
sin12
11兀
故△A3C的面積S=^ahsmC=^X4X4(^/3—1)Xsin^=4(3—
小)。
若選擇條件②,即力=4/。
「冗vu、,i-abp.,asiaB4‘叫,-j
因?yàn)锽=~7,所以由-;~T=~~倚SinA=7=~~~/T-=^o
4'sinAsm3'b4勺22
yr57r
因?yàn)锳£(0,7c),所以4=5或?1=不。
5兀
由于/?〉〃,所以皮>A,因此71=不不符合題意,舍去,故A
兀
不
.兀兀7兀
川0=兀一不一4=五,
11r-t
故△ABC的面積S=2^sinC=2X4X4-\/2Xsinj^=4(^/3+
1)。
若選擇條件③,即,csinB=bcosC。
在△ABC中,由正弦定理可得,sinCsin8=sin8cosC,易知
sin8W0,
、巧7T
所以tanC=¥。因?yàn)?。£?,兀),所以。=不
一一?!?,兀兀7兀
又3=不所以A=兀_4_^=正,
4--
「abpasinBSin4r-
-:
由~T~~o,傳b=-:~~7~=%-=4(、3-1),
sinAsinBsinA.7兀vv7
sin日
II兀
故△ABC的面積S='^abs\nC=2X4X4(^/3—1)Xsin^=4(^3
-1)。
18.如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形A3E尸為梯形,且
BE//AF,ZBEF=90°,Z5AF=30°,平面ABCD和平面ABEF
垂直,BF=2,AF=4o
(1)求證:BF±AC;
(2)若直線AC與平面ABEF所成的角為30°,求鈍二面角
D-CF-E的余弦值。
BF
解⑴證明:在中,由正弦定理得口還
AF
sinZABF9
,AFsin^BAF4sin30°
所以sinZABF=BF=2=1'所以NA8F=
90°,BF±ABO
又平面ABC。_L平面ABE尸,平面ABCDG平面
3EU平面A8EF,
所以B尸_L平面4BCD。
又ACU平面A3CD,所以3尸_LAC。
(2)由于四邊形ABC。是矩形,所以CB_LA8。
又平面ABCD_L平面ABE尸,平面ABCDG平面ABE/=A3,
C8U平面ABC。,
所以CB_L平面ABEQ
故直線AC與平面ABEF所成的角為/CAB,即NCAB=30°。
由(1)知△A3E為直角三角形,BF-LAB,
所以AB=7AF2—BN=26,
所以CB=ABtan30°=2。
易知△ABFs/\FEB,所以BE=1,EF=\f3o
易知直線CB,BA,3/兩兩垂直,故以3為原點(diǎn),BA,BF,
所在直線分別為%,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
(小I1
則。(2仍,0,2),C(0,0,2),尸(0,2,0),用一看,0〉
所以沆=(—2小,0,0),加=(一25,2,-2),CE=
「早2,—21小=(02-2)o
設(shè)平面。Cb的法向量為y},z)
?元=0,
則1.
[n\-^F=0,
[―2^3X1=0,
即|/—得%]=0,
「2審%]+2yi—2zi=0,
令yi=l,得zi=l,
所以平面。。尸的一個(gè)法向量為w=(0,1,1)。
設(shè)平面CFE的法向量為〃2=(%2,絲,Z2),
則卜年=0,即「坐X2+52-2Z2=O,
["2?聲=0,12y2—2z2=0,
令”=1,得%2=一小,22=1,
所以平面CF石的一個(gè)法向量為〃2=(一5,l,l)o
的?/\?町2回
所以cos〈江肛〉一川網(wǎng)一也X小一5,
故鈍二面角D-CF-E的余弦值為一^^。
19.已知尸”尸2為橢圓C=13金>0)的左、右焦點(diǎn),
點(diǎn)P(2,3)為其上一點(diǎn),且|PQ|+|PBI=8。
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線/:丁=自一4交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且原點(diǎn)。在
以線段A3為直徑的圓的外部,試求實(shí)數(shù)%的取值范圍。
。=4,
解(1)由題意可知解得
b=2y/3,
所以橢圓0的標(biāo)準(zhǔn)方程為各片=1。
+=]
(2)設(shè)A3,yi),B(X2,"),由j1612'得
"=立-4,
(4斤+3)%2—32日+16=0,
由/>0,得(一32%)2—4(4公+3)X16>0,得其或k一
32k16
則+%2=42+3,即%2=4公+3'
又原點(diǎn)。在以線段A8為直徑的圓的外部,所以??加>0,
則①1?=(爐+1)%]%2—4攵(%|+應(yīng))+16=(公+1)必!:3—
,32k,16(4—3產(chǎn))
4%乂4爐+3+16=4爐+3
得一卷:衣卷
綜上所述,實(shí)數(shù)上的取值范圍為[—乎,
20.2019年女排世界杯是由國(guó)際排聯(lián)(FWB)舉辦的第13屆
世界杯賽事,比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行,
共有12支參賽隊(duì)伍。最終,中國(guó)女排以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的
成績(jī)成功衛(wèi)冕本屆世界杯冠軍。中國(guó)女排的影響力早已超越體育
本身的意義,不僅是時(shí)代的集體記憶,更是激勵(lì)國(guó)人接續(xù)奮斗、
自強(qiáng)不息的精神符號(hào)。如表是本次世界杯最終比賽結(jié)果的相關(guān)數(shù)
具有線性相關(guān)關(guān)系,試根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于%的線性回歸方
程(系數(shù)精確到0.01),并由此估計(jì)本次比賽中勝場(chǎng)數(shù)是4的塞爾
維亞隊(duì)的積分(結(jié)果保留整數(shù));
(2)中國(guó)已經(jīng)獲得2020年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)女排比賽的參賽資格。
東京奧運(yùn)會(huì)女排比賽一共有12支隊(duì)伍,比賽分為2個(gè)小組,每個(gè)
小組進(jìn)行單循環(huán)比賽。積分規(guī)則是以3:0或者3:1取勝的球隊(duì)
積3分、負(fù)隊(duì)積0分,以3:2取勝的球隊(duì)積2分、負(fù)隊(duì)積1分。
根據(jù)以往比賽的戰(zhàn)績(jī)情況分析,中國(guó)隊(duì)與同組的某2支強(qiáng)隊(duì)比賽
的比分以及相應(yīng)概率如表所示:
比分3:03:13:22:31:30:3
概率0.10.20.30.20.10.1
試求小組賽中,中國(guó)隊(duì)與這2支球隊(duì)比賽總積分的期望。
n__
2r必一〃工y
i=1
參考公式:線性回歸方程;=樂(lè)+2中,力=------------
n
—nx2
i=l
=,一分A工,其中工=:1》〃,,亍1=〃/。
i=li=1
解(1)由題表中數(shù)據(jù)可得:
排名123456
勝場(chǎng)數(shù)%11108766
積分y322823211918
_11+10+8+7+6+6
所以x—6—8,
-32+28+23+21+19+18
y—6—23.5,
6
2>/^/=352+280+184+147+114+108=1185,
i=\
121+100+64+49+36+36=406,
6一_
》匹―6%y
Z=1
所以金=------------
—6x2
i=\
1185-6X8X23.5
=2.591,
406-6X82
八-/\'
所以a=y~bx七23.5—2.591X8弋2.77,
故線性回歸方程為金=2.59%+2.77。
當(dāng)%=4時(shí),^=2.59X4+2.77=13.13^13,
故塞爾維亞隊(duì)的積分大約是13分。
(2)由題意得,中國(guó)隊(duì)與這2支球隊(duì)中的每支球隊(duì)比賽時(shí),積
3分的概率為0.1+0.2=0.3,積2分的概率為0.3,積1分的概率
為0.2,積0分的概率為0.1+0.1=0.2。
設(shè)中國(guó)隊(duì)與這2支球隊(duì)比賽的總積分為乙則。的可能取值
為6,5,4,3,2,1,0。
則P(^=6)=C2X0.32=0.09,
P(^=5)=ClX0.3X0.3=0.18,
P(<f=4)=CX0.3X0.2+C;X0.32=0.21,
P(4=3)=GX0.3X0.2+C;X0.3X0.2=0.24,
2
P(<f=2)=ClX0.3X0.2+ClX0.2=0.16,
P(W=1)=C;X0.2X0.2=0.08,
0)=仁X0.2X0.2=0.04。
因此4的分布列如下所示:
6543210
P0.090.180.210.240.160.080.04
則£(^)=6X0.09+5X0.18+4X0.21+3X0.24+2X0.16+
1X0.08+0X0.04=3.4。
21.函數(shù)y(%)=ln(%+/)+T,其中3〃為實(shí)數(shù)。
(1)若1=。,討論函數(shù)X%)的單調(diào)性;
(2)若/=0時(shí),不等式式%)>1在%£(0,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)。
的取值范圍;
(3)若g(%)=e、+T,當(dāng)/W2時(shí),證明:g(%)次%)。
解(1)由題意知/=0,4%)的定義域?yàn)?0,+°°),/(X)=—^
1x-a
x-x,
當(dāng)“WO時(shí),因?yàn)槿?gt;0,所以%—4>0,所以/(%)>0,所以/(%)
在(0,+8)上單調(diào)遞增。
當(dāng)4>0時(shí),若%>凡則了(%)>0,於)單調(diào)遞增;
若0<x<a,則/(x)<0,fix)單調(diào)遞減。
綜上可知,當(dāng)“W0時(shí),穴%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0
時(shí),犬%)在(a,+8)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減。
(2)r=0時(shí),犬%)21="+111^>1=2》一lnx+1=。》一%lri¥+
JCX
x,故a2一%ln_x+%對(duì)任意%£(0,口恒成立,
等價(jià)于“2(—%kir+%)max,xG(0,l],
令〃(x)=-%lnx+%,%£(0,l],
則〃(%)=—ktr—%?;+1=—IILY'O,XG(0,1],
所以〃(%)在(0,1]上單調(diào)遞增,
所以〃(%)max=/D=l,
所以
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+8)。
(3)證明:當(dāng),W2時(shí),要證明g(%)M%),即證明g(%)—/U)>0,
只需證e'—ln(%+/)>0,
即證eA—ln(x+r)e'—ln(x+2)>0,所以只要證明e'—ln(%+
2)>0o
令5(%)=3—111(%+2),則廣a)=e]-在(-2,十8)上單
調(diào)遞增。
又尸(一1)<0,F(0)>0,
所以方程尸(%)=0在(-2,+8)上有唯一實(shí)根,設(shè)為%0,則
%()£(—1,0)。
當(dāng)了£(—2,向)時(shí),F(xiàn)(x)<0,9(%)單調(diào)遞減,
當(dāng)了£(即,+8)時(shí),尸(%)>0,尸(幻單調(diào)遞增,
從而當(dāng)%=%()時(shí),尸(%)取得最小值。
由F<%())=0,得e=京號(hào),即%()=—ln(x()+2),
-Vo]
所以F(x)—eA—ln(x+2)2e-ln(xg+2)=+%o=
%o+2
(%o+l)2
>0o
x()+2
故當(dāng)時(shí),g(x)次c)。
請(qǐng)?jiān)诘?2題?23題中任選一題作答,如果多做,則按所做
第一題計(jì)分。
22.(選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
在平面直角坐標(biāo)系%0y中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半
軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C]:尤?+/一%=0,C2:f+y2-2y
=0o
(1)以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角0為參數(shù),寫(xiě)出曲線G的參數(shù)
方程;
(2)直線/過(guò)原點(diǎn),且與曲線G,。2分別交于A,3兩點(diǎn)(A,
8不是原點(diǎn))。求|AB|的最大值。
解(l)f+y2—%=(),即(%—;)2+,2=;,則曲線G是以
G[I,oj為圓心,E為半徑,且過(guò)原點(diǎn)的圓,如圖,設(shè)P(x,y)為
過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線G的交點(diǎn),連接PG,由圓的對(duì)稱性,不妨
設(shè)NPC%=4(0W/<7T),
%=/+$cos6,
則5
尸;si明
由以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角夕為參數(shù),得owe。,而夕=2。,
所以曲線G的參數(shù)方程為
%=/+]cos26,
<1(。為參數(shù),且owe<7T)。
y=/sin29
(2)根據(jù)已知,得曲線G,。2的極坐標(biāo)方程分別為0=cosa,
p2—2sin?(pi>0,p2>0),
=
故|A8|=i±p2||2sina±cosa|
=4^|sin(a±9)|W小,其中tan^=^o
當(dāng)|sin(a±9)|=l時(shí),等號(hào)成立。
綜上,|AB|的最大值為小。
23.(選修4—5:不等式選講)
已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有|%+2|+|x—4]一根20恒成立。
(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;
41/7
(2)若m的最大值為n,當(dāng)正數(shù)a,b滿足上必+^^時(shí)'
a-r5h3。+2。6
求4a+78的最小值。
解(1)因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)%,都有|%+2|+|%—4]一恒成立,
且|%+2|+|%—4|2|%+2—%+4|=6,
所以mW6。
故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,6]o
41
(2)由⑴知〃=6,則在豆+豆包=1°
[4,1)
4a+7h=(4a+7與=3+5b+3。+
I4?11,a+5b,4(3a+2b)、,一,
;豆+工不"當(dāng)且僅當(dāng)
23\a^-r5b3a十2列=5+33。+"2。+a+5b29,a=
高3赭時(shí)15取等號(hào),
所以4〃+7。的最小值為90
(二)70分解答題規(guī)范練
解答題:本題共7小題,共70分。第22題?23題為選考題。
解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟。
17.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系%07中,扇形。A3的半徑
?71
為2,圓心角為至,點(diǎn)〃是弧A3上異于A,3的點(diǎn)。
⑴若點(diǎn)C(1,O),且CM=啦,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);
(2)求△MAB面積的最大值。
解(1)連接0M(圖略),依題意可得,在△OCM中,OC=1,
CM=y/2,0M=2,
22+妙一(近了3
所以cosZCOM=2X2X14’
33
所以點(diǎn)Af的橫坐標(biāo)為2X^=5。
2TT?
(2)設(shè)NAOM=。,6>elO,yl,則NBOM=3仇
_1?<27r_y|i1
=
SZ\MAB=SZ\OAM+S^OBM—S^OAB2^2X2sinO+sin—0j—/2
X
X2X2X看=25sin一黃,
因?yàn)閝0,y],所以嗚喏,y
所以當(dāng)。=即寸,△M4B的面積取得最大值,最大值為小。
18.如圖,在三棱柱A3CA向G中,A]3=A4i=AC=AC=2,
AB=BC,^ABLBC,。為AC的中點(diǎn)。
(1)證明:40,平面ABC;
(2)求直線AB與平面G08所成角的正弦值。
解(1)證明:因?yàn)锳Ai=AC=2,。為AC的中點(diǎn),
所以AO_LAC。又AC=A3=2,
所以4。=小,05=1,
所以4。2+。32=4力,所以A0_LQB,
又ACn08=0,ACU平面ABC,OBU平面ABC,
所以AO_L平面ABC。
(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QB,OC,04的方向?yàn)椋?y,z
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則0(0,0,0),A(0,
-1,0),B(1,0,0),G(0,2,?
所以A5=(l,l,0),0G=(0,2,回OB=(1,0,0),
設(shè)平面C\OB的法向量為〃=(%,y,z),
―>
〃OG=0,2y+小z=0,
由〈得‘
―>%=0,
令y=小,則z=—2,
所以八=(0,小,-2),
設(shè)直線AB與平面C\OB所成的角為夕,
一A/42
則sin^=|cos(AB,n)|=四,
所以直線與平面CQB所成角的正弦值為曙。
19.平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓M:1(。>力>0)
右焦點(diǎn)的直線%+y—5=0交M于A,B兩點(diǎn),且橢圓M的離心
(1)求橢圓M的方程;
⑵C,。為M上的兩點(diǎn),若四邊形AC8O的對(duì)角線CD_LAB,
求四邊形ACBO面積的最大值。
解⑴易知橢圓M的右焦點(diǎn)為(小,0),則c=4L
離心率6=。=哼=乎,則,=#,
IztC/L
222
故b=a—c=?)o
22
所以橢圓M的方程為菅+9=1o
o3
卜+廠小=0,
哪+、’
’4^3
%-3'
解得正
U=-3
因此依同=¥。
由題意可設(shè)直線CD的方程為丁=%+〃(一¥<〃<“§],C&3,
刈),。(%4,%)。
\y=x-\-n,
由<幺y2得3%2+4內(nèi)+2川一6=0,
匕+3=1,
曰一2fi±\/2(9—冷
丁點(diǎn).%3,4—3°
因?yàn)橹本€CD的斜率為1,
所以\CD\=\[2\X4—X3\=|A/9—z?o
由已知,四邊形AC3。的面積
S=1|CD\-\AB\="49-〃之o
Zyv
當(dāng)〃=0時(shí),S取得最大值,最大值為邛。
所以四邊形ACBD面積的最大值為‘步。
21m—X3—mx2+x
20.已知函數(shù)犬%)=
(1)求證:無(wú)論相取何值,曲線於)在(1,犬1))處的切線均與工
軸平行或重合;
(2)若函數(shù)大%)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)機(jī)的
取值范圍。
21n¥—%3—mx'-\-x21nx
解(1W)=x+~—m,式1)=一根,
/⑴=2—1—1=0,
所以曲線/(%)在(1,,穴1))處的切線方程為y+m=0,
當(dāng)根=0時(shí),切線方程為y=0,切線與%軸重合;
當(dāng)根W0時(shí),切線與X軸平行。
所以無(wú)論m取何值,曲線,/(%)在(1,/(I))處的切線均與x軸平
行或重合。
(2)函數(shù)五%)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程大工)
=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)根,
即機(jī)=吧一%在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)根。
JCX
設(shè)函數(shù)g(%)=3盧一%+:(%>0),
,2%—4%lnx12—41nx—X1—x
則,(%)=一7--1-7=------p------°
-A/人<人
令函數(shù)r(x)=2—41nx—x3—x(x>0),
則當(dāng)x>0時(shí),v'(x)=—3x2—1<0恒成立,
X
所以v(x)—2~41a¥—x3—x(%>0)為減函數(shù)。
又。(1)=2—0—1一1=0,
所以當(dāng)x>\時(shí),0(%)<0,當(dāng)0<%<1時(shí),0(%)>0,
所以當(dāng)了>1時(shí),g'(%)vO,當(dāng)0<%<1時(shí),g'(%)>0,
故g(%)在(1,+8)上為減函數(shù),在(0,1)上為增函數(shù),即g(%)max
=g(l)=0。
又當(dāng)%—0時(shí),g(%)——8,當(dāng)%—+8時(shí),—8,
所以數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)函數(shù)g(x)的圖象與直線y=m有兩個(gè)不
同的交點(diǎn)時(shí),m<0。
故若函數(shù)大%)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),實(shí)數(shù)機(jī)的取
值范圍為(-8,0)o
21.某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1
月期間購(gòu)買二手房的情況,首先隨機(jī)抽取其中200名購(gòu)房者,并
對(duì)其購(gòu)房面積皿單位:米20WmW130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),
制成了如圖①所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市2018年1
月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)M單位:萬(wàn)元/米,
制成了如圖②所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1?13分別對(duì)應(yīng)2018
年1月至2019年1月)。
(1)試估計(jì)該市市民的平均購(gòu)房面積而;
(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購(gòu)買二手房的
市民中任取3人,用頻率估計(jì)概率,記這3人購(gòu)房面積不低于100
米2的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇砧和兩個(gè)模型進(jìn)行擬
合,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程,分別為$=0.9369+0.028
5m和$=0.9554+0.03061nx,并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:
A,A,
^=0.9369+0.028y=0.9554+0.030
5y/x61iir
0.0005910.000164
1=1
2
E(y(-y)0.006050
i=i
請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好,并用擬合
效果更好的模型預(yù)測(cè)2019年6月份的在售二手房均價(jià)(精確到
0.001)o
參考數(shù)據(jù):ln2-0.69,ln3-120,足17/2.83,-94,
巾F.41,小=1.73,歷七4.12,V19^4.36O
Z8-4y
當(dāng)月在華二手房均價(jià)
1.04-??一
1.02-.■?.
1.00-.??
0.98-??
0.96-?
0.9我
o12345678910111213月份代碼x
②
解(1)m=65X0.05+75X0.1+85X0.2+95X0.25+
105X0.2+115X0.15+125X0.05=96(米2)。
(2)每一位市民購(gòu)房面積不低于100米2的概率為0.20+0.15
+0.05=0.4,
所以X?8(3,0.4),
所以P(X=k)=Cy0邛?0.63一依=0,1,2,3),
X的分布列為
X0123
P0.2160.4320.2880.064
石(X)=3X0.4=1.2。
(3)i殳模型£=0.9369+0.0285市才口£=0.9554+0.03061nx的
相關(guān)指數(shù)分別為鹿,鹿,
2=00005910.000164
人」"l10.00605'&-10.00605'
所以一V鹿,
所以模型金=0.9554+0.03061ii¥的擬合效果更好,
2019年6月份對(duì)應(yīng)的%=18,
所以$=0.9554+0.03061n18=0.9554+0.0306X(ln2+
2
21n3)"1.044(萬(wàn)元/米)o
請(qǐng)?jiān)诘?2題?23題中任選一題作答,如果多做,則按所做
第一題計(jì)分。
22.(選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線I的參數(shù)方程為
%=S+/cosa,
..。為參數(shù),。為/的傾斜角),以原點(diǎn)。為極點(diǎn),
%軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線后的極坐標(biāo)方程為一
717r.
4sin。,直線。=q,。=夕-gS£R)與曲線上分別交于不
同于極點(diǎn)。的三點(diǎn)A,B,Co
(1)若,邙<與,求證:\OB\-\-\OC\=\OA\',
(2)當(dāng)夕=可口寸,直線/過(guò)3,C兩點(diǎn),求為與a的值。
解(1)證明:依題意,|Q4|=|4si咽,\0B\=4sin^+d,\0C\
4.o兀m%兀n2兀
=4sin['—wj,因?yàn)?/p>
所以|08|+|0C|=4sin4+a+4sin4一與=4sin夕=|O4|。
SirTT
(2)當(dāng)夕=不時(shí),直線。=夕+;與曲線E的交點(diǎn)B的極坐標(biāo)為
JT(冗冗'
直線。=夕一§與曲線E的交點(diǎn)C的極坐標(biāo)為14sin1,2j=
,舒,
從而,B,C兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為B(巾,1),C(0,4),
所以直線I的方程為y=一小龍+4,
也,12兀
所以yo=l,a=~^~o
23.(選修4—5:不等式選講)
已知函數(shù)於)=|%—〃|+僅+1|。
(1)若〃=2,求不等式次%)>%+2的解集;
(2)如果關(guān)于%的不等式段)<2的解集不是空集,求實(shí)數(shù)。的
取值范圍。
-2%+l(x<-1),
解⑴當(dāng)a=2時(shí),於)=<3(—14<2),
、2%—1(%>2),
x<—1,—1W%<2,
不等式4])>%+2等價(jià)于,或或
—2%+1>%+23>%+2
*%22,
2x—l>x+2,
解得X<1或%>3,故原不等式的解集為或%>3}。
(2)因?yàn)閥(x)=|x—。|+|%+1|邦(%—ci)—(%+1)|=|Q+1|,
當(dāng)且僅當(dāng)(%-a)(%+l)WO時(shí)取等號(hào)。
所以若關(guān)于%的不等式於)<2的解集不是空集,只需|Q+1|<2,
解得一即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一3,1)。
(=)70分解答題規(guī)范練
解答題:本題共7小題,共70分。第22題?23題為選考題。
解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟。
17.已知S〃是等差數(shù)列{詼}的前〃項(xiàng)和,且為+53=20,7S2
T+及
=8的。是數(shù)列{乩}的前〃項(xiàng)和,且吃一=a一1。
(1)求數(shù)列{&}和{乩}的通項(xiàng)公式;
⑵設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{c〃}的前n項(xiàng)和。
解(1)設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為",
根據(jù)&+S3=20,752=8的,
得4。1+42=20,20=3d,
所以。1=3,d=2,
因此數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為的=2〃+1。
Tn-\~n.
由-2―=bn—1,彳寸T“=2bn—2—n,
當(dāng)n=l時(shí),Z?i=2Z?]—2—1,Z?i=3o
當(dāng)〃22時(shí),7^-i=2Z??-i—2—(71—1),且〃一。一1=
所以bn=2bn—2—n—[2bn-i—2—(〃-1)],
b+1
=
bn2bn-i-\-1,1=2("?-】+1),7工7=2,
on-1?1
所以數(shù)列{乩+1}是以仇+1=3+1=4為首項(xiàng),2為公比的等
比數(shù)列,
于是兒+1=4X2"T=2"I,
所以數(shù)列{。〃}的通項(xiàng)公式為Z??=2/i+1-lo
(2)由(1)得,金=。"+。“=2〃+1+2""—1=2?+2H+Io
數(shù)列{金}的前n項(xiàng)和為
ci+cz+c3H---1-金
=2+22+4+23+6+24+-+2n+2z,+1
=(2+4+6H---l-2/2)+(22+23+24H---F2/,+1)
_n(2+2ri)22(1—2")
=2+1-2
=2"+?+/+〃-4o
18.如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,
AB=2BC,EF=ED=FC=BC。
(1)求證:石/〃平面ABC。;
(2)當(dāng)平面A3CD_L平面。CFE時(shí),求異面直線AE與C尸所
成角的余弦值。
解(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCQ是矩形,所以AB〃CO。
因?yàn)镃DU平面DCFE,ABC平面DCFE,
所以A3〃平面DCFE。
又ABU平面尸石,平面ABFEC平面DCFE=EF,所以AB
//EF,
又ABU平面ABCD,EF^^JABCD,
所以EF〃平面ABCD。
(2)解法一:1殳8C=1,則EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC
=2
因?yàn)槠矫鍭8CO_L平面DCFE,平面ABCOA平面DCFE=
CD,AD-LCD,
所以AO_L平面DCFEO
因?yàn)镺EU平面DCFE,
22
所以AO_LDE,AE=\]AD+DE=\f2o
由(1)知,EF//CDO
如圖,取CD的中點(diǎn)M,連接EM,AM,則Eb=CM,四邊
形石/CM是平行四邊形,
陽(yáng)以EM//FC,且EM=FC=1,
則就是異面直線AE與C廠所成的角或其補(bǔ)角。
在aAME中,AE=y/2,EM=1,
AM=NAD?+DM?=巾,
由余弦定理,得
信+石序—一序2+1—2/
cosZAEM=2AEEM=2啦=4,
\/2
因此異面直線AE與C/7所成角的余弦值為之~。
解法二:過(guò)點(diǎn)E作石O_LCO于點(diǎn)0,
因?yàn)槠矫鍭BCD_L平面。
所以EO_L平面A8CO。
過(guò)點(diǎn)0作0H//AD,交AB于點(diǎn)H,
因?yàn)樗倪呅蜛BCQ是矩形,所以O(shè)H_LCO。
以0為坐標(biāo)原點(diǎn),OH,OC,0E所在直線分別為%,y,z
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)8c=1,則EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC=2,
由(1)知,EF//CD.
在梯形CDE/中,EF=ED=FC=\,DC=2,
1A/3
f所以?。人0=72',JE"0=y,
于是E0,0,g
5,o,CO,,。,/o,1,
/I
i
則AE=—1,,c尸=[o,一],
設(shè)異面直線AE與c/所成的角為e,
\AE\\CF\啦
因此異面直線AE與C尸所成角的余弦值為苧。
22
19.已知拋物線G:)2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓Q:§+}=
13>方>0)的右焦點(diǎn),且兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為現(xiàn)lo,必),局,若
E到G的準(zhǔn)線的距離為a到。2的兩焦點(diǎn)的距離之和為4o
(1)求橢圓。2的方程;
(2)過(guò)橢圓C2的右頂點(diǎn)的兩條直線/”/2分別與拋物線G相
交于點(diǎn)A,C,點(diǎn)、B,D,且/」/2,M是AC的中點(diǎn),N是的
中點(diǎn),證明:直線MN恒過(guò)定點(diǎn)。
解(1)由橢圓的定義知,2a=4,a=2,過(guò)后作Eg垂直G
的準(zhǔn)線于點(diǎn)Ei,則|EEi|=%o+g=*
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為Q,&,連接EQ,石尸2(圖略),
557
則[石尸2尸],l"il=4_g=w,
⑸c⑺24
在RtZliE'E1]77]中,3~=3~~y^得詔=§。
過(guò)石作石乙,%軸于點(diǎn)石2,
在Rt△%F2中,同2=/+|“『,得|民/2|=號(hào)
又易知|石2BI=〃一所以p=2。
故c=g=l,b2=a2—c2=3,
22
所以橢圓G的方程為1+三=1。
(2)證明:設(shè)直線/1:%=切+2&H0),
直線力:%=左2丁+2(左2/。),
-y7=4%,、
由彳..o得),一4鬲廠8=0,
.%=桃十2,
設(shè)A(%i,yD,C(%2,>2),則>1+》2=4扇,
所以加=2舟,則%加=2+2后,得M(2+2丘2左)。
同理得M2+2后,2k2)。
因?yàn)?]_L所以k[k?=-1o
當(dāng)2+2后=2+22時(shí),ky=~k2,
結(jié)合上的=-1,得后=后=1,
此時(shí)直線MN的方程為%=4。
當(dāng)2+23W2+2愛(ài),即鬲+420時(shí),
______2-2-2-]________]
kMN=(2+22合一(2+22:)=向+1'
所以直線MN的方程為y—2k\=.?.(x—2后一2),
七十人1
,=全國(guó)一2(1一k]k2)]=六(%—4),
所以直線MN過(guò)點(diǎn)(4,0)。
綜上,直線MN恒過(guò)定點(diǎn)。
20.已知函數(shù)g(%)=j?—(2—a)%?。
(1)若a=l,證明:對(duì)任意%]£口,e],存在%2金口,e],使
得1/Ui)=g(%2);
(2)若八恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解⑴證明:當(dāng)”=1,xG[l,e]時(shí),
/(%)=1+lnx>0,
所以函數(shù)火%)在[1,e]上單調(diào)遞增,
所以犬1)0(%)勺3),即0W“v)We,
所以火幻的值域?yàn)閇0,e]0
gz(x)=3f_2%=%(3%-2)>0,
所以函數(shù)g(%)在[1,e]上單調(diào)遞增,
所以g(l)Wg(%)Wg(e),即0Wg(%)We3—e2,
32
所以g(x)的值域?yàn)閇0,e—e]o
因?yàn)閑3—e2=e(e2—e)>e,
所以[0,e]c[0,e3-e2],
所以對(duì)任意%i£[l,e],存在%2£口,e],使得於D=g(%2)。
(2)解法一:由八%)Wg(x)得adnxW%3—Q—a)%2,
因?yàn)閤>0,所以alrvc^x2—(2—a)x,
整理得a(ln_r—%)W%2—2%。
令G(%)=lo¥—%,%£(0,+0°),
11—]
則G\x)=--1=—
在(0,1)上,G'(%)>0,在(1,+8)上,G'(%)<0,
所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
%2—2%
所以G(%)max=ai)=—1<0,故
Inx-x
x—2x
令〃(%)=啟G,%£(°,+8),則"(%)
(I\
(2x—2)(lri¥-%)—~~1(X2—2x)
___________________,_____________
(lnx-x)2
_(x-l)(21nx-x-2)
(lux—x)2°
令人(%)=21iu—%—2,%£(0,+°°),
o2—x
貝l]%'(%)=__1=----,
3%X
在(0,2)上,/(%)>0,在(2,+8)上,M%)v0,
所以女(%)在(0,2)上單調(diào)遞增,在Q,+8)上單調(diào)遞減,
所以%(%)max=攵(2)=21n2—4=2(ln2-2)<0,
所以在(0,1)上,"(%)>0,在(1,+8)上,
所以力(%)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,
1—2
所以〃(X)max=〃(1)=0_]=1,所以〃21,
即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[1,+8)。
解法二:由_/(%)Wg(%)得(ZxlrLv^x3—(2—a)%?,
彳殳h(x)=以lux—V+(2—a)x,
則〃(%)W0,
根據(jù)/z(l)=-1+2—a=l—aWO,得all。
下面證明當(dāng)“21時(shí),〃(%)&0。
■i己m(x)=lrt¥—x+1,
j]—x
所以根(%)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+8)上是減函數(shù),
所以機(jī)(%)max=M(D=0,
所以根(%)W0,即InxW%—1o
于是—1)—%,+(2-d)x-=—x3+2x2—ax=—%[(x-
l)2+a-l]^0,
故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,+8)。
21.有一種類型的題目,此類題有5個(gè)選項(xiàng)A,B,C,D,
E,其中有3個(gè)正確選項(xiàng),滿分5分。賦分標(biāo)準(zhǔn)為“選對(duì)1個(gè)得2
分,選對(duì)2個(gè)得4分,選對(duì)3個(gè)得5分,每選錯(cuò)1個(gè)扣3分,最
低得分為0分”。在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題
目,已知此題的正確答案為ACD。假定考生作答的答案中的選項(xiàng)
個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè)。
(1)若甲同學(xué)只能判斷選項(xiàng)A,D是正確的,現(xiàn)在他有兩種選
擇:一種是將AD作為答案,另一種是在B,C,E這3個(gè)選項(xiàng)中
任選1個(gè)與AD組成一個(gè)含有3個(gè)選項(xiàng)的答案。則甲同學(xué)的最佳
選擇是哪一種?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若乙同學(xué)無(wú)法判斷所有選項(xiàng),他決定在5個(gè)選項(xiàng)中任選3
個(gè)作為答案。
①設(shè)乙同學(xué)此題得分為X分,求X的分布列;
②已知有10名和乙同學(xué)情況相同的考生,且這10名考生的
答案互不相同,他們此題的平均得分為,分?,F(xiàn)從這10名考生中
任選3名考生,計(jì)算得到這3名考生此題得分的平均分為b分,
試求a的值及b<a的概率。
解(1)甲同學(xué)的最佳選擇是選擇AD。
理由如下:
設(shè)甲同學(xué)此題得分為^分。
①若甲同學(xué)僅選擇AD,則(f=4,4的數(shù)學(xué)期望E?=4。
②若甲同學(xué)選擇3個(gè)選項(xiàng),則他可能的答案為ABD,ACD,
ADE,共3種。其中選擇ABD,ADE,得分均為1分,其概率為
21
選擇ACD,得分為5分,其概率為手
217
所以的數(shù)學(xué)期望E(^)=lX-+5X-=-o
7
由于4>j故甲同學(xué)的最佳選擇是選擇AD。
(2)①乙同學(xué)可能的答案為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,
ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種。其中選擇ABE,BCE,
3
BDE,得分均為0分,*既率為正;選擇ABC,ABD,ACE,ADE,
Aa
BCD,CDE,得分均為1分,概率為m=子選擇ACD,得分為
5分,概率為正。
331
故X可取0,1,5,且尸(X=0)=而,P(X=D=§P(X=5)=正。
所以X的分布列為
X015
331
P
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