高考數(shù)學（理）解答題規(guī)范練

解答題規(guī)范練

(-)70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共7小題，共70分。第22題?23題為選考題。

解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟。

17.在AABC中，已知a,h,c分別是角A,B,C的對邊,

兀

/?cosC+ccosB=4,3=4。

請在下列三個條件①(。+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,

②b=4啦，③V§csin3=bcosC中任意選擇一個，添加到題目的條

件中，求△ABC的面積。

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。

/+/—c2

解因為從osC+ccosB=4,所以由余弦定理得力一前一

?2+(?2—b2

+C2ac=4,付q=4。

若選擇條件①,即(a+Z?+c)(sirb4+sinfi—sinC)=3asinB。

在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b—c)=3ab,所以

(a-\-b)2—c2=3ab,整理得a2-\~b2—c2=ab,

1TT

所以由余弦定理得cosC=5，又C￡(0,7i),故。=彳。

乙J

又8=今，所以4=兀一^一彳571

12°

>_?____匕產6/sing4sm4r-_

由sinA—sinr仔》一siM-5兀-4(73—1),

sin12

11兀

故△A3C的面積S=^ahsmC=^X4X4(^/3—1)Xsin^=4(3—

小)。

若選擇條件②，即力=4/。

「冗vu、，i-abp.,asiaB4‘叫,-j

因為B=~7,所以由-；~T=~~倚SinA=7=~~~/T-=^o

4'sinAsm3'b4勺22

yr57r

因為A￡（0,7c）,所以4=5或？1=不。

5兀

由于/?〉〃，所以皮＞A,因此71=不不符合題意，舍去，故A

兀

不

.兀兀7兀

川0=兀一不一4=五，

11r-t

故△ABC的面積S=2^sinC=2X4X4-\/2Xsinj^=4(^/3+

1）。

若選擇條件③，即,csinB=bcosC。

在△ABC中，由正弦定理可得,sinCsin8=sin8cosC,易知

sin8W0,

、巧7T

所以tanC=￥。因為?！辏?,兀），所以。=不

一一?！?，兀兀7兀

又3=不所以A=兀_4_^=正，

4--

「abpasinBSin4r-

-：

由~T~~o,傳b=-：~~7~=%-=4(、3-1),

sinAsinBsinA.7兀vv7

sin日

II兀

故△ABC的面積S='^abs\nC=2X4X4(^/3—1)Xsin^=4(^3

-1）。

18.如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形A3E尸為梯形，且

BE//AF,ZBEF=90°,Z5AF=30°,平面ABCD和平面ABEF

垂直，BF=2,AF=4o

(1)求證：BF±AC；

(2)若直線AC與平面ABEF所成的角為30°,求鈍二面角

D-CF-E的余弦值。

BF

解⑴證明：在中，由正弦定理得口還

AF

sinZABF9

,AFsin^BAF4sin30°

所以sinZABF=BF=2=1'所以NA8F=

90°,BF±ABO

又平面ABC。_L平面ABE尸，平面ABCDG平面

3EU平面A8EF,

所以B尸_L平面4BCD。

又ACU平面A3CD,所以3尸_LAC。

(2)由于四邊形ABC。是矩形，所以CB_LA8。

又平面ABCD_L平面ABE尸，平面ABCDG平面ABE/=A3,

C8U平面ABC。，

所以CB_L平面ABEQ

故直線AC與平面ABEF所成的角為/CAB,即NCAB=30°。

由(1)知△A3E為直角三角形，BF-LAB,

所以AB=7AF2—BN=26,

所以CB=ABtan30°=2。

易知△ABFs/\FEB,所以BE=1,EF=\f3o

易知直線CB,BA,3/兩兩垂直，故以3為原點，BA,BF,

所在直線分別為％,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。

（小I1

則。（2仍，0,2）,C（0,0,2）,尸（0,2,0）,用一看，0〉

所以沆=（—2小，0,0）,加=（一25，2,-2）,CE=

「早2，—21小=（02-2）o

設平面。Cb的法向量為y},z）

?元=0,

則1.

[n\-^F=0,

[―2^3X1=0,

即|/—得％]=0,

「2審%]+2yi—2zi=0,

令yi=l,得zi=l,

所以平面。。尸的一個法向量為w=（0,1,1）。

設平面CFE的法向量為〃2=（%2,絲，Z2）,

則卜年=0,即「坐X2+52-2Z2=O,

["2?聲=0,12y2—2z2=0,

令”=1,得％2=一小，22=1,

所以平面CF石的一個法向量為〃2=（一5，l,l）o

的?/\?町2回

所以cos〈江肛〉一川網(wǎng)一也X小一5,

故鈍二面角D-CF-E的余弦值為一^^。

19.已知尸”尸2為橢圓C=13金>0）的左、右焦點,

點P（2,3）為其上一點，且|PQ|+|PBI=8。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線/：丁=自一4交橢圓C于A,B兩點，且原點。在

以線段A3為直徑的圓的外部，試求實數(shù)%的取值范圍。

。=4,

解（1）由題意可知解得

b=2y/3,

所以橢圓0的標準方程為各片=1。

+=]

（2）設A3,yi）,B（X2,"），由j1612'得

"=立-4,

（4斤+3）%2—32日+16=0,

由/>0,得（一32%）2—4（4公+3）X16>0,得其或k一

32k16

則+%2=42+3,即％2=4公+3'

又原點。在以線段A8為直徑的圓的外部，所以??加>0,

則①1?=（爐+1）%]%2—4攵（%|+應）+16=（公+1）必!：3—

,32k,16（4—3產）

4%乂4爐+3+16=4爐+3

得一卷：衣卷

綜上所述，實數(shù)上的取值范圍為[—乎，

20.2019年女排世界杯是由國際排聯(lián)(FWB)舉辦的第13屆

世界杯賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行,

共有12支參賽隊伍。最終，中國女排以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的

成績成功衛(wèi)冕本屆世界杯冠軍。中國女排的影響力早已超越體育

本身的意義，不僅是時代的集體記憶，更是激勵國人接續(xù)奮斗、

自強不息的精神符號。如表是本次世界杯最終比賽結果的相關數(shù)

具有線性相關關系，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關于％的線性回歸方

程(系數(shù)精確到0.01),并由此估計本次比賽中勝場數(shù)是4的塞爾

維亞隊的積分(結果保留整數(shù))；

(2)中國已經(jīng)獲得2020年東京奧運會女排比賽的參賽資格。

東京奧運會女排比賽一共有12支隊伍，比賽分為2個小組，每個

小組進行單循環(huán)比賽。積分規(guī)則是以3：0或者3：1取勝的球隊

積3分、負隊積0分，以3：2取勝的球隊積2分、負隊積1分。

根據(jù)以往比賽的戰(zhàn)績情況分析，中國隊與同組的某2支強隊比賽

的比分以及相應概率如表所示：

比分3：03：13：22：31：30：3

概率0.10.20.30.20.10.1

試求小組賽中，中國隊與這2支球隊比賽總積分的期望。

n__

2r必一〃工y

i=1

參考公式：線性回歸方程;=樂+2中，力=------------

n

—nx2

i=l

=,一分A工，其中工=:1》〃,，亍1=〃/。

i=li=1

解（1）由題表中數(shù)據(jù)可得：

排名123456

勝場數(shù)％11108766

積分y322823211918

_11+10+8+7+6+6

所以x—6—8,

-32+28+23+21+19+18

y—6—23.5,

6

2>/^/=352+280+184+147+114+108=1185,

i=\

121+100+64+49+36+36=406,

6一_

》匹―6%y

Z=1

所以金=------------

—6x2

i=\

1185-6X8X23.5

=2.591,

406-6X82

八-/\'

所以a=y~bx七23.5—2.591X8弋2.77,

故線性回歸方程為金=2.59%+2.77。

當％=4時，^=2.59X4+2.77=13.13^13,

故塞爾維亞隊的積分大約是13分。

(2)由題意得，中國隊與這2支球隊中的每支球隊比賽時，積

3分的概率為0.1+0.2=0.3,積2分的概率為0.3,積1分的概率

為0.2,積0分的概率為0.1+0.1=0.2。

設中國隊與這2支球隊比賽的總積分為乙則。的可能取值

為6,5,4,3,2,1,0。

則P(^=6)=C2X0.32=0.09,

P(^=5)=ClX0.3X0.3=0.18,

P(<f=4)=CX0.3X0.2+C；X0.32=0.21,

P(4=3)=GX0.3X0.2+C；X0.3X0.2=0.24,

2

P(<f=2)=ClX0.3X0.2+ClX0.2=0.16,

P(W=1)=C；X0.2X0.2=0.08,

0)=仁X0.2X0.2=0.04。

因此4的分布列如下所示：

6543210

P0.090.180.210.240.160.080.04

則￡(^)=6X0.09+5X0.18+4X0.21+3X0.24+2X0.16+

1X0.08+0X0.04=3.4。

21.函數(shù)y(%)=ln(%+/)+T，其中3〃為實數(shù)。

(1)若1=。，討論函數(shù)X%)的單調性；

(2)若/=0時，不等式式%)>1在%￡(0,1］上恒成立，求實數(shù)。

的取值范圍；

(3)若g(%)=e、+T，當/W2時，證明：g(%)次%)。

解(1)由題意知/=0,4%)的定義域為(0,+°°),/(X)=—^

1x-a

x-x，

當“WO時，因為人>0,所以％—4>0,所以/(%)>0,所以/(%)

在(0,+8)上單調遞增。

當4>0時，若%>凡則了(%)>0,於)單調遞增；

若0<x<a,則/(x)<0,fix)單調遞減。

綜上可知，當“W0時，穴%)在(0,+8)上單調遞增；當a>0

時，犬%)在(a,+8)上單調遞增，在(0,a)上單調遞減。

(2)r=0時，犬%)21="+111^>1=2》一lnx+1=?！芬?lri￥+

JCX

x,故a2一％ln_x+%對任意％￡(0,口恒成立，

等價于“2(—%kir+%)max,xG(0,l],

令〃(x)=-%lnx+%,%￡(0,l],

則〃(%)=—ktr—%?；+1=—IILY'O,XG(0,1],

所以〃(%)在(0,1]上單調遞增，

所以〃(%)max=/D=l,

所以

故實數(shù)a的取值范圍為[1,+8)。

(3)證明：當，W2時，要證明g(%)M%),即證明g(%)—/U)>0,

只需證e'—ln(%+/)>0,

即證eA—ln(x+r)e'—ln(x+2)>0,所以只要證明e'—ln(%+

2)>0o

令5(%)=3—111(%+2),則廣a)=e]-在(-2,十8)上單

調遞增。

又尸(一1)<0,F(0)>0,

所以方程尸(%)=0在(-2,+8)上有唯一實根，設為％0,則

%()￡(—1,0)。

當了￡(—2,向)時，F(xiàn)(x)<0,9(%)單調遞減，

當了￡(即，+8)時，尸(%)>0,尸(幻單調遞增，

從而當％=%()時，尸(%)取得最小值。

由F<%())=0,得e=京號,即％()=—ln(x()+2),

-Vo]

所以F(x)—eA—ln(x+2)2e-ln(xg+2)=+%o=

%o+2

(%o+l)2

>0o

x()+2

故當時，g(x)次c)。

請在第22題?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做

第一題計分。

22.(選修4一4：坐標系與參數(shù)方程)

在平面直角坐標系％0y中，以坐標原點為極點，x軸的正半

軸為極軸建立極坐標系。曲線C]:尤?+/一%=0,C2：f+y2-2y

=0o

(1)以過原點的直線的傾斜角0為參數(shù)，寫出曲線G的參數(shù)

方程；

(2)直線/過原點，且與曲線G，。2分別交于A，3兩點(A,

8不是原點)。求|AB|的最大值。

解(l)f+y2—%=(),即(%—；)2+,2=；,則曲線G是以

G[I,oj為圓心，E為半徑，且過原點的圓，如圖，設P(x,y)為

過原點的直線與曲線G的交點，連接PG,由圓的對稱性，不妨

設NPC%=4(0W/<7T),

%=/+$cos6,

則5

尸;si明

由以過原點的直線的傾斜角夕為參數(shù)，得owe。,而夕=2。,

所以曲線G的參數(shù)方程為

%=/+］cos26,

<1(。為參數(shù)，且owe<7T)。

y=/sin29

(2)根據(jù)已知，得曲線G,。2的極坐標方程分別為0=cosa,

p2—2sin?(pi>0,p2>0),

=

故|A8|=i±p2||2sina±cosa|

=4^|sin(a±9)|W小，其中tan^=^o

當|sin(a±9)|=l時，等號成立。

綜上，|AB|的最大值為小。

23.(選修4—5：不等式選講)

已知對任意實數(shù)x,都有|%+2|+|x—4］一根20恒成立。

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

41/7

(2)若m的最大值為n,當正數(shù)a,b滿足上必+^^時'

a-r5h3。+2。6

求4a+78的最小值。

解(1)因為對任意實數(shù)%,都有|%+2|+|%—4］一恒成立,

且|%+2|+|%—4|2|%+2—%+4|=6,

所以mW6。

故實數(shù)機的取值范圍為(-8,6]o

41

(2)由⑴知〃=6,則在豆+豆包=1°

[4,1)

4a+7h=(4a+7與=3+5b+3。+

I4?11,a+5b,4(3a+2b)、，一，

；豆+工不"當且僅當

23\a^-r5b3a十2列=5+33。+"2。+a+5b29,a=

高3赭時15取等號,

所以4〃+7。的最小值為90

（二）70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共7小題，共70分。第22題?23題為選考題。

解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟。

17.如圖所示，在平面直角坐標系％07中，扇形。A3的半徑

?71

為2,圓心角為至，點〃是弧A3上異于A,3的點。

⑴若點C（1,O）,且CM=啦，求點M的橫坐標；

（2）求△MAB面積的最大值。

解（1）連接0M（圖略），依題意可得，在△OCM中，OC=1,

CM=y/2,0M=2,

22+妙一（近了3

所以cosZCOM=2X2X14’

33

所以點Af的橫坐標為2X^=5。

2TT?

(2)設NAOM=。，6>elO,yl,則NBOM=3仇

_1?<27r_y|i1

=

SZ\MAB=SZ\OAM+S^OBM—S^OAB2^2X2sinO+sin—0j—/2

X

X2X2X看=25sin一黃,

因為q0,y],所以嗚喏,y

所以當。=即寸，△M4B的面積取得最大值，最大值為小。

18.如圖，在三棱柱A3CA向G中，A]3=A4i=AC=AC=2,

AB=BC,^ABLBC,。為AC的中點。

(1)證明：40,平面ABC；

(2)求直線AB與平面G08所成角的正弦值。

解(1)證明：因為AAi=AC=2,。為AC的中點,

所以AO_LAC。又AC=A3=2,

所以4。=小，05=1,

所以4。2+。32=4力，所以A0_LQB,

又ACn08=0,ACU平面ABC,OBU平面ABC,

所以AO_L平面ABC。

(2)以。為坐標原點，分別以QB,OC,04的方向為％,y,z

軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則0(0,0,0),A(0,

-1,0),B(1,0,0),G(0,2,?

所以A5=(l,l,0),0G=(0,2,回OB=(1,0,0),

設平面C\OB的法向量為〃=(%,y,z),

―>

〃OG=0,2y+小z=0,

由〈得‘

―>%=0,

令y=小,則z=—2,

所以八=（0,小，-2）,

設直線AB與平面C\OB所成的角為夕,

一A/42

則sin^=|cos(AB,n)|=四，

所以直線與平面CQB所成角的正弦值為曙。

19.平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：1(。>力>0)

右焦點的直線％+y—5=0交M于A,B兩點，且橢圓M的離心

（1）求橢圓M的方程；

⑵C,。為M上的兩點，若四邊形AC8O的對角線CD_LAB,

求四邊形ACBO面積的最大值。

解⑴易知橢圓M的右焦點為（小，0）,則c=4L

離心率6=。=哼=乎，則，=#,

IztC/L

222

故b=a—c=?)o

22

所以橢圓M的方程為菅+9=1o

o3

卜+廠小=0,

哪+、’

’4^3

%-3'

解得正

U=-3

因此依同=￥。

由題意可設直線CD的方程為丁=%+〃(一￥<〃<“§]，C&3,

刈)，。(％4,%)。

\y=x-\-n,

由<幺y2得3%2+4內+2川一6=0,

匕+3=1，

曰一2fi±\/2(9—冷

丁點.%3,4—3°

因為直線CD的斜率為1,

所以\CD\=\[2\X4—X3\=|A/9—z?o

由已知，四邊形AC3。的面積

S=1|CD\-\AB\="49-〃之o

Zyv

當〃=0時，S取得最大值，最大值為邛。

所以四邊形ACBD面積的最大值為‘步。

21m—X3—mx2+x

20.已知函數(shù)犬%)=

(1)求證：無論相取何值，曲線於)在(1,犬1))處的切線均與工

軸平行或重合；

(2)若函數(shù)大%)在(0,+8)上有兩個不同的零點，求實數(shù)機的

取值范圍。

21n￥—%3—mx'-\-x21nx

解(1W)=x+~—m,式1)=一根,

/⑴=2—1—1=0,

所以曲線/(%)在(1,,穴1))處的切線方程為y+m=0,

當根=0時，切線方程為y=0,切線與％軸重合；

當根W0時，切線與X軸平行。

所以無論m取何值，曲線,/(%)在(1,/(I))處的切線均與x軸平

行或重合。

(2)函數(shù)五%)在(0,+8)上有兩個不同的零點等價于方程大工)

=0在(0,+8)上有兩個不同的實根，

即機=吧一％在(0,+8)上有兩個不同的實根。

JCX

設函數(shù)g(%)=3盧一%+：(%>0),

,2%—4%lnx12—41nx—X1—x

則,(%)=一7--1-7=------p------°

-A/人<人

令函數(shù)r(x)=2—41nx—x3—x(x>0),

則當x>0時，v'(x)=—3x2—1<0恒成立，

X

所以v(x)—2~41a￥—x3—x(%>0)為減函數(shù)。

又。(1)=2—0—1一1=0,

所以當x>\時，0(%)<0,當0<%<1時，0(%)>0,

所以當了>1時，g'(%)vO,當0<%<1時，g'(%)>0,

故g(%)在(1,+8)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)，即g(%)max

=g(l)=0。

又當％—0時，g(%)——8,當％—+8時，—8,

所以數(shù)形結合可知當函數(shù)g(x)的圖象與直線y=m有兩個不

同的交點時，m<0。

故若函數(shù)大%)在(0,+8)上有兩個不同的零點，實數(shù)機的取

值范圍為(-8,0)o

21.某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1

月期間購買二手房的情況，首先隨機抽取其中200名購房者，并

對其購房面積皿單位：米20WmW130)進行了一次調查統(tǒng)計，

制成了如圖①所示的頻率分布直方圖，接著調查了該市2018年1

月至2019年1月期間當月在售二手房均價M單位：萬元/米,

制成了如圖②所示的散點圖(圖中月份代碼1?13分別對應2018

年1月至2019年1月)。

(1)試估計該市市民的平均購房面積而；

(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的

市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100

米2的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(3)根據(jù)散點圖選擇砧和兩個模型進行擬

合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為$=0.9369+0.028

5m和$=0.9554+0.03061nx,并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

A,A,

^=0.9369+0.028y=0.9554+0.030

5y/x61iir

0.0005910.000164

1=1

2

E(y(-y)0.006050

i=i

請利用相關指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合

效果更好的模型預測2019年6月份的在售二手房均價（精確到

0.001）o

參考數(shù)據(jù):ln2-0.69,ln3-120,足17/2.83,-94,

巾F.41,小=1.73,歷七4.12,V19^4.36O

Z8-4y

當月在華二手房均價

1.04-??一

1.02-.■?.

1.00-.??

0.98-??

0.96-?

0.9我

o12345678910111213月份代碼x

②

解(1)m=65X0.05+75X0.1+85X0.2+95X0.25+

105X0.2+115X0.15+125X0.05=96(米2)。

(2)每一位市民購房面積不低于100米2的概率為0.20+0.15

+0.05=0.4,

所以X?8(3,0.4),

所以P(X=k)=Cy0邛?0.63一依=0,1,2,3),

X的分布列為

X0123

P0.2160.4320.2880.064

石(X)=3X0.4=1.2。

(3)i殳模型￡=0.9369+0.0285市才口￡=0.9554+0.03061nx的

相關指數(shù)分別為鹿，鹿，

2=00005910.000164

人」"l10.00605'&-10.00605'

所以一V鹿,

所以模型金=0.9554+0.03061ii￥的擬合效果更好，

2019年6月份對應的％=18,

所以$=0.9554+0.03061n18=0.9554+0.0306X(ln2+

2

21n3)"1.044(萬元/米)o

請在第22題?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做

第一題計分。

22.(選修4一4：坐標系與參數(shù)方程)

在平面直角坐標系xOy中，直線I的參數(shù)方程為

%=S+/cosa,

..。為參數(shù)，。為/的傾斜角)，以原點。為極點,

%軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線后的極坐標方程為一

717r.

4sin。，直線。=q，。=夕-gS￡R)與曲線上分別交于不

同于極點。的三點A,B,Co

(1)若,邙＜與，求證:\OB\-\-\OC\=\OA\',

(2)當夕=可口寸，直線/過3,C兩點，求為與a的值。

解(1)證明：依題意，|Q4|=|4si咽，\0B\=4sin^+d,\0C\

4.o兀m%兀n2兀

=4sin['—wj,因為

所以|08|+|0C|=4sin4+a+4sin4一與=4sin夕=|O4|。

SirTT

(2)當夕=不時，直線。=夕+；與曲線E的交點B的極坐標為

JT(冗冗'

直線。=夕一§與曲線E的交點C的極坐標為14sin1,2j=

,舒，

從而，B,C兩點的直角坐標分別為B(巾，1),C(0,4),

所以直線I的方程為y=一小龍+4,

也,12兀

所以yo=l,a=~^~o

23.(選修4—5：不等式選講)

已知函數(shù)於)=|%—〃|+僅+1|。

(1)若〃=2,求不等式次%)>%+2的解集；

(2)如果關于％的不等式段)<2的解集不是空集，求實數(shù)。的

取值范圍。

-2%+l(x<-1),

解⑴當a=2時，於)=<3(—14<2),

、2%—1(%>2),

x<—1,—1W%<2,

不等式4])>%+2等價于，或或

—2%+1>%+23>%+2

*%22,

2x—l>x+2,

解得X<1或%>3,故原不等式的解集為或%>3｝。

(2)因為y(x)=|x—。|+|%+1|邦(%—ci)—(%+1)|=|Q+1|,

當且僅當(%-a)(%+l)WO時取等號。

所以若關于％的不等式於)<2的解集不是空集，只需|Q+1|<2,

解得一即實數(shù)a的取值范圍是(一3,1)。

(=)70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共7小題，共70分。第22題?23題為選考題。

解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟。

17.已知S〃是等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和，且為+53=20,7S2

T+及

=8的。是數(shù)列｛乩｝的前〃項和，且吃一=a一1。

(1)求數(shù)列｛&｝和｛乩｝的通項公式；

⑵設cn=an+bn,求數(shù)列｛c〃｝的前n項和。

解(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為"，

根據(jù)&+S3=20,752=8的，

得4。1+42=20,20=3d,

所以。1=3,d=2,

因此數(shù)列｛a｝的通項公式為的=2〃+1。

Tn-\~n.

由-2―=bn—1,彳寸T“=2bn—2—n,

當n=l時，Z?i=2Z?]—2—1,Z?i=3o

當〃22時，7^-i=2Z??-i—2—(71—1),且〃一。一1=

所以bn=2bn—2—n—[2bn-i—2—(〃-1)],

b+1

=

bn2bn-i-\-1,1=2("?-】+1),7工7=2,

on-1?1

所以數(shù)列｛乩+1｝是以仇+1=3+1=4為首項，2為公比的等

比數(shù)列，

于是兒+1=4X2"T=2"I,

所以數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖閆??=2/i+1-lo

(2)由(1)得，金=。"+?！?2〃+1+2""—1=2?+2H+Io

數(shù)列｛金｝的前n項和為

ci+cz+c3H---1-金

=2+22+4+23+6+24+-+2n+2z,+1

=(2+4+6H---l-2/2)+(22+23+24H---F2/,+1)

_n(2+2ri)22(1—2")

=2+1-2

=2"+?+/+〃-4o

18.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形,

AB=2BC,EF=ED=FC=BC。

(1)求證：石/〃平面ABC。；

(2)當平面A3CD_L平面。CFE時，求異面直線AE與C尸所

成角的余弦值。

解(1)證明：因為四邊形ABCQ是矩形，所以AB〃CO。

因為CDU平面DCFE,ABC平面DCFE,

所以A3〃平面DCFE。

又ABU平面尸石，平面ABFEC平面DCFE=EF,所以AB

//EF,

又ABU平面ABCD,EF^^JABCD,

所以EF〃平面ABCD。

(2)解法一：1殳8C=1,則EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC

=2

因為平面A8CO_L平面DCFE,平面ABCOA平面DCFE=

CD,AD-LCD,

所以AO_L平面DCFEO

因為OEU平面DCFE,

22

所以AO_LDE,AE=\]AD+DE=\f2o

由（1）知，EF//CDO

如圖，取CD的中點M,連接EM,AM,則Eb=CM,四邊

形石/CM是平行四邊形，

陽以EM//FC,且EM=FC=1,

則就是異面直線AE與C廠所成的角或其補角。

在aAME中，AE=y/2,EM=1,

AM=NAD?+DM?=巾,

由余弦定理，得

信+石序—一序2+1—2/

cosZAEM=2AEEM=2啦=4，

\/2

因此異面直線AE與C/7所成角的余弦值為之~。

解法二：過點E作石O_LCO于點0,

因為平面ABCD_L平面。

所以EO_L平面A8CO。

過點0作0H//AD,交AB于點H,

因為四邊形ABCQ是矩形，所以OH_LCO。

以0為坐標原點，OH,OC,0E所在直線分別為％,y,z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。

設8c=1,則EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC=2,

由（1）知，EF//CD.

在梯形CDE/中，EF=ED=FC=\,DC=2,

1A/3

f所以?。人0=72'，JE"0=y,

于是E0,0,g

5,o,CO,,。，/o,1,

/I

i

則AE=—1,,c尸=[o,一],

設異面直線AE與c/所成的角為e,

\AE\\CF\啦

因此異面直線AE與C尸所成角的余弦值為苧。

22

19.已知拋物線G：）2=2p%（p＞0）的焦點是橢圓Q：§+}=

13＞方＞0）的右焦點，且兩條曲線的一個交點為現(xiàn)lo,必）,局，若

E到G的準線的距離為a到。2的兩焦點的距離之和為4o

（1）求橢圓。2的方程；

（2）過橢圓C2的右頂點的兩條直線/”/2分別與拋物線G相

交于點A,C,點、B,D,且/」/2,M是AC的中點，N是的

中點，證明：直線MN恒過定點。

解（1）由橢圓的定義知，2a=4,a=2,過后作Eg垂直G

的準線于點Ei,則|EEi|=%o+g=*

設橢圓的左、右焦點分別為Q,&,連接EQ,石尸2（圖略）,

557

則[石尸2尸],l"il=4_g=w，

⑸c⑺24

在RtZliE'E1]77]中，3~=3~~y^得詔=§。

過石作石乙，%軸于點石2,

在Rt△%F2中，同2=/+|“『，得|民/2|=號

又易知|石2BI=〃一所以p=2。

故c=g=l,b2=a2—c2=3,

22

所以橢圓G的方程為1+三=1。

（2）證明：設直線/1：%=切+2&H0）,

直線力：%=左2丁+2（左2/。），

-y7=4%,、

由彳..o得），一4鬲廠8=0,

.%=桃十2,

設A（%i,yD,C（%2,>2）,則>1+》2=4扇，

所以加=2舟，則%加=2+2后，得M（2+2丘2左）。

同理得M2+2后，2k2）。

因為/]_L所以k[k?=-1o

當2+2后=2+22時,ky=~k2,

結合上的=-1,得后=后=1,

此時直線MN的方程為％=4。

當2+23W2+2愛,即鬲+420時，

______2-2-2-]________]

kMN=（2+22合一（2+22：）=向+1'

所以直線MN的方程為y—2k\=.?.(x—2后一2),

七十人1

,=全國一2(1一k]k2)]=六(%—4)，

所以直線MN過點(4,0)。

綜上，直線MN恒過定點。

20.已知函數(shù)g(%)=j?—(2—a)%?。

(1)若a=l,證明：對任意％]￡口，e],存在％2金口，e],使

得1/Ui)=g(%2);

(2)若八恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解⑴證明：當”=1,xG[l,e]時，

/(%)=1+lnx>0,

所以函數(shù)火%)在[1,e]上單調遞增，

所以犬1)0(%)勺3)，即0W“v)We,

所以火幻的值域為[0,e]0

gz(x)=3f_2%=%(3%-2)>0,

所以函數(shù)g(%)在[1,e]上單調遞增，

所以g(l)Wg(%)Wg(e),即0Wg(%)We3—e2,

32

所以g(x)的值域為[0,e—e]o

因為e3—e2=e(e2—e)>e,

所以[0,e]c[0,e3-e2],

所以對任意％i￡[l,e],存在％2￡口，e],使得於D=g(%2)。

(2)解法一：由八%)Wg(x)得adnxW%3—Q—a)%2,

因為x>0,所以alrvc^x2—(2—a)x,

整理得a(ln_r—%)W%2—2%。

令G(%)=lo￥—%,%￡(0,+0°),

11—]

則G\x)=--1=—

在(0,1)上，G'(%)>0,在(1,+8)上，G'(%)<0,

所以G(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減,

%2—2%

所以G(%)max=ai)=—1<0,故

Inx-x

x—2x

令〃(%)=啟G，%￡(°，+8),則"(%)

(I\

(2x—2)(lri￥-%)—~~1(X2—2x)

___________________,_____________

(lnx-x)2

_(x-l)(21nx-x-2)

(lux—x)2°

令人(%)=21iu—%—2,%￡(0,+°°),

o2—x

貝l]%'(%)=__1=----,

3%X

在(0,2)上,/(%)>0,在(2,+8)上,M%)v0,

所以女(%)在(0,2)上單調遞增，在Q,+8)上單調遞減，

所以％(%)max=攵(2)=21n2—4=2(ln2-2)<0,

所以在(0,1)上，"(%)>0,在(1,+8)上，

所以力(%)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

1—2

所以〃(X)max=〃(1)=0_]=1,所以〃21,

即實數(shù)〃的取值范圍為[1,+8)。

解法二：由_/(%)Wg(%)得(ZxlrLv^x3—(2—a)%?,

彳殳h(x)=以lux—V+(2—a)x,

則〃(%)W0,

根據(jù)/z(l)=-1+2—a=l—aWO,得all。

下面證明當“21時，〃(%)&0。

■i己m(x)=lrt￥—x+1,

j]—x

所以根(%)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)，

所以機(%)max=M(D=0,

所以根(%)W0,即InxW%—1o

于是—1)—%,+(2-d)x-=—x3+2x2—ax=—%[(x-

l)2+a-l]^0,

故實數(shù)。的取值范圍為[1,+8)。

21.有一種類型的題目，此類題有5個選項A,B,C,D,

E,其中有3個正確選項，滿分5分。賦分標準為“選對1個得2

分，選對2個得4分，選對3個得5分，每選錯1個扣3分，最

低得分為0分”。在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題

目，已知此題的正確答案為ACD。假定考生作答的答案中的選項

個數(shù)不超過3個。

(1)若甲同學只能判斷選項A,D是正確的，現(xiàn)在他有兩種選

擇：一種是將AD作為答案，另一種是在B,C,E這3個選項中

任選1個與AD組成一個含有3個選項的答案。則甲同學的最佳

選擇是哪一種？請說明理由；

(2)若乙同學無法判斷所有選項，他決定在5個選項中任選3

個作為答案。

①設乙同學此題得分為X分，求X的分布列；

②已知有10名和乙同學情況相同的考生，且這10名考生的

答案互不相同，他們此題的平均得分為，分。現(xiàn)從這10名考生中

任選3名考生，計算得到這3名考生此題得分的平均分為b分，

試求a的值及b<a的概率。

解(1)甲同學的最佳選擇是選擇AD。

理由如下：

設甲同學此題得分為^分。

①若甲同學僅選擇AD,則(f=4,4的數(shù)學期望E?=4。

②若甲同學選擇3個選項，則他可能的答案為ABD,ACD,

ADE,共3種。其中選擇ABD,ADE,得分均為1分，其概率為

21

選擇ACD,得分為5分，其概率為手

217

所以的數(shù)學期望E(^)=lX-+5X-=-o

7

由于4>j故甲同學的最佳選擇是選擇AD。

(2)①乙同學可能的答案為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,

ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種。其中選擇ABE,BCE,

3

BDE,得分均為0分，*既率為正；選擇ABC,ABD,ACE,ADE,

Aa

BCD,CDE,得分均為1分，概率為m=子選擇ACD,得分為

5分，概率為正。

331

故X可取0,1,5,且尸(X=0)=而，P(X=D=§P(X=5)=正。

所以X的分布列為

X015

331

P