概率論與數(shù)理統(tǒng)計各周作業(yè)解答

概率論與數(shù)理統(tǒng)計各周作業(yè)解

習(xí)題一

2設(shè)A&C是三個事件，用A,8,C的運算關(guān)系表示下列事件：

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生；

(2)A,8,C都發(fā)生，而C不發(fā)生；

(3)A,8,C中至少有一個發(fā)生；

(4)A,B,C都發(fā)生；

(5)A,8,C都不發(fā)生；

(6)A,8,C中不多于一個發(fā)生；

(7)ABC中不多于兩個發(fā)生；

(8)A,B,C中至少有兩個發(fā)生.

解：(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生表為：ABC

04,8,C都發(fā)生，而C不發(fā)生表為：ABC

DA8,C中至少有1個發(fā)生表為：ABC

0A,8,C都發(fā)生表為：ABC

6A,8,C都不發(fā)生表為：~ABC

6A,B,。中不多于一個發(fā)生表為：ABCABCABCABC

或BCACAB

0A,8,C中不多于兩個發(fā)生表為：A8c或ABC

$A,8,C中至少有兩個發(fā)生表為：A8ACBC

3⑴設(shè)A8,C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=P(BC)=O,

P(AC)=1,求A,8,C至少有一個發(fā)生的概率；

8

⑵已知p(A)=,P(B)=1,P(C)=1,P(AB)=,P(AC)=,

2351015

P(BC)=1P(ABC)=1,求48,AB,ABC,ABC,ABC,ABC,的概

20530

率;

1/45

⑶已知P(A)=L,⑴若A8互不相容，求(ii)若P(AB)=』，求

28

P(而)，

解：⑴P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P[ABC)

因為ABCSAB,O<P(ABC)<P(A)=O,

所以P(ABC)=0,

所以A,8,C至少一個發(fā)生的概率為

111?1c5

P(ABC)=++-0o-0-+0=

44488

⑵P(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)

11111

=+-=

231015

114

P(AB)=P(AB)=1-P(A8)=1--=—,

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BC)-尸(4C)+P(ABC)

111111117

=4-4~———+—,

2351015203020

173

P(ABC)=P(ABC)=1一尸(ABC)=1-=,

2020

437

P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=-=

152060

或P(ABC)=P(C-AB)=P(C)-P(C(AB))

=P(C)-P(ACBC)=P(C)-P(AC)-P(BC)-^-P(ABC)

1111_7

=————+-------1

515203060

_______417Z

P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(ABC)="+一一一=一，

1556020

⑶尸(的)=P(A)-P(AB),

⑴若AB互不相容，貝P(AB)=1-0=^

22

2/45

(ii)若尸(AB)=1.,則P(AB)=J-1=L

8288

9.從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的

概率是多少?

解：設(shè)A="至少有兩只配成一雙"，則所求概率為:

C4.241Q

尸(4)=1—p(/i)=i-r5_±_=2±

C421

10

11.將3個球隨機的放入四個杯子中，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3

的概率.

解：設(shè)4二“杯子中球的最大個數(shù)為k”，則所求概率分別為

k

A33

P(A)=-4-=,

1438

C2cle19

P(A)=-3-4-3-=,

24316

Ci1

P(A)=-4-=

34316

14.(1)已知尸(A)=o.3,尸(B)=0.4,P(/W)=0.5,求B).

⑵已知產(chǎn)(4)=:尸(目勺=1,尸(48)二」，求尸(4B)

432

解：(1)產(chǎn)(4)=1一尸(7)=1—0.3=0.7,

P(8)=1-P(8)=1-0.4=0.6

P(B(AB))=P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=07-0.5=0.2

尸(A8)=尸(A)+P(B)—尸(4B)=0.7+0.6—0.5=0.8

8月虹包=0”

P(BA

)P(AB)0.84

(2)已知尸(A)=L,P(B|/A)=1,P(/?(B)=1

432

3/45

P(AB)=P(A)P(8|A)=，xl=J_,

4312

~c、尸(AB)11_1

P(B)=----；—=+'?

P(A\B)1226

1111

尸(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)=

(注：紅色題目是08級的作業(yè)，下同)

E擲兩顆骰子，已知兩顆骰子的點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率

(分別用條件概率的定義計算和條件概率的含義計算).

解:記人二“有一顆為1點”,B="點數(shù)之和為7”,

(1)用條件概率的定義計算,所求概率為：

2

尸(而/佝=62J

P(B)03

62

(2)用條件概率的含義計算,所求概率為：

尸(雨=2=1

63

6據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：

P｛孩子得病｝=0.6,P｛母親得病|孩子得?。?0.5,

P｛父親得病I母親及孩子得病｝=0.5,

求母親及孩子得病但父親不得病的概率.

解：記A="孩子得病”，B="母親得病”，C="父親得病”，則所求概率

為

P(ABC)=P(A)P(B\A)尸(dBC)

=P(A)P(B\A)[]-P(C\BC)]

=0.6x0.5x(1-0.4)=0.18.

23.將兩信息分別編碼為A和B后傳送出去，接收站接收時，A被誤收為B

的概率為0.02,B被誤收為A的概率為0.01,信息A與信息B傳送的頻繁程度

4/45

之比為2:1,若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息也是A的概率是多少?

解:記人="收到信息A"，B="發(fā)送信息A”，則

P(?A|B)=1-P(^|B)=1-0.02=0.98,

尸(8)=2,P(-B)=\

尸(平)=0.01,

33

依貝葉斯公式，所求概率為

P(B)尸(力8)「96

P(B\A)=

P(B)P(A\B)+P(B)P(A\B)197

24.有兩箱同種類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品，第二箱裝30

只，其中18只一等品,今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中無放回地取零件兩次,

每次取一件,求⑴第一次取到的零件是一等品的概率；⑵第一次取到的零件是

一等品的條件下,第二次取到的零件也是一等品的概率？

解：設(shè)A=”第k次取到一等品”，

k

8="從第k箱中取零件"，A=1,2,

k

(1)依全概率公式，第一次取到的零件是

一等品的概率是

111

尸(一)=尸(8)尸(4忸)+尸(8)P(A\B)=.°+.—=0.4

1111212250230

(2)依全概率公式，

P(AA)=P(B)P(AA\B)+P(B)P(AA\B)

1211212122

110x9118x17276

=4-=

250x49230x291421

所求概率為

P(AA)

P(A\A)=—I一?0.48557

21P(A)

1

35三人獨立的去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5,1/3,

1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率。

解：用4,8,C分別表示各人能譯出的事件，即尸(A)=1,P(B)=1,P(C)=1

534

5/45

則所求概率為

P(ABC)=1-P(^BC)=1-P(A)P(B)~P(C)

=1-[1-P(^)][1-P(B)][1-P(C)]

1113

=1-[1-][1-][1-]=.

5345

3設(shè)第一只盒子中裝有3只藍(lán)球,2只綠球2只白球；設(shè)第二只盒子中裝

有2只藍(lán)球,3只綠球4只白球，獨立地分別在兩只盒子中各取一球，

(1)求至少有一只藍(lán)球的概率；

(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率；

(3)已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率.

解：設(shè)A=“在第k盒取到一只藍(lán)球”，

k

B=“在第k盒取到一只白球"，k=1,2,

k

(1)至少有一只藍(lán)球的概率為

32325

P(AA)=P(A)+P(A)-P(A)P(A)=+-x=

12121279799

(2)有一只藍(lán)球一只白球的概率為

P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

12211221

342216

=x+X=

799763

(3)至少有一只藍(lán)球條件下，有一只藍(lán)球一只白球的概率為

P(ABAB\AA)=~

i22112p(AA)35

12

補充1.已知4與B相互獨"，P(A)=0.6,P(8)=0.4,求P(A8)及

P(A-B)-

解P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.6+0.4—0.6x0.4=0.76

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=0.6—0.6x0.4=0.36

習(xí)題二

6/45

4.進(jìn)行重復(fù)獨立試驗，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為g=1-p,

(0<p<1),

①將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布

律；

②將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)，.次成功為止，以丫表示所需的試驗次數(shù)，求y的分布律;

③一籃球運動員的投籃命中率為45%,以x表示他首次投中時累計投籃的次

數(shù)，求x的分布律，并計算x取偶數(shù)的概率。

解：(1)x的分布律為

P{X=k)=qk-ipZ=1,2,.

(2)y的分布律為

P\Y=k}=Cr-^qk-rprr,1,.

(3)x的分布律為

P{X=/:}=0.55*-1x0.45A=1,2,.

X取偶數(shù)的概率為

,v0.55x0.4511

P{X=偶/ra±數(shù)k}=乙0.5521x0.45=八二

1-0.55231

Jt=1

6.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備被

使用的概率為0.1,問在同一時刻

0)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？

0至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？

解設(shè)在同一時刻有X個設(shè)備被使用，則X?8(5,0.1).

(0恰有2個設(shè)備被使用的概率是

P{X=2}=C2-(0.1)2.(0.9)3=0.0729

5

0至少有3個設(shè)備被使用的概率是

P{X>3}=ZC*(0.1)*-(0.9)5-*?0.00856

k=3

12.一電話總機每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求⑴某一

7/45

分鐘恰有8次呼喚的概率；(2)某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率.

解：某一分鐘呼喚次數(shù)X?尸(4),

(1)某一分鐘恰有8次呼喚的概率為

48

P{X=8}=eY=0.0298

8!

0某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率為

34k

P{X>3}=1-P{X<3}=1-Z8-4=0.5665

k!

k=0

17(2)求第2(1)題中的隨機變量的分布函數(shù)。

解：第2(1)題中隨機變量x的分布律為

X345

p0.10.30.6

隨機變量X的分布函數(shù)為

0,x<3,

°-13Mx<4,

尸(x)=〈

0.44<x<5,

1,x>5,

18.在區(qū)間［o,a］上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標(biāo),設(shè)這個質(zhì)

點落在［0,a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求x的

分布函數(shù).

解:當(dāng)x<0時，P{X4x}=0.

當(dāng)x<a時，P［X<x}=kx,

1X

P{X<a}=ka=tk=,/.P{X<x}=

aa

當(dāng)xza時，P{X<x}=1.

故X的分布函數(shù)為

8/45

0,x<0,

x

F(x)=<—,0Wxva,

Ia

x>a.

20.設(shè)隨機變量x的分布函數(shù)為

[0,x<1,

F(x)=*Inx,1<x<e,

1x>e,

試求(1)p[X<2},P{0<x<3},P{2<X<\；⑵x的密度函數(shù).

2

解：⑴P{X<2}=F(2)=ln2;

P{0<x<3)=F(3)-F(0)=1;

5555

P[2<X<]=F()-F(2)=In-In2=In

2224

(2)x的密度函數(shù)。

[1

/(X)=尸(x)=<x'1-V<6

〔0,其它，

21(1).設(shè)隨機變量x的概率密度為

[2(1-l/x2),14x42,

/(內(nèi))=]

I0，其它，

求X的分布函數(shù)F(x)?

解：X的分布函數(shù)為

X<1,0,X<1,

1口2

尸(x)=Jf(t)dt=02(1-1/*)〃，1<x<2,=〈2x+-4,1<x<2,

x

2[11x>2,1a

I1x>2,

23.某種型號的器件的壽命X(以小時計)具有如下的概率密度

(1000

I-----,x>1000

/(x)=〈x2

0其他

9/45

現(xiàn)有一大批此種器件，任取5只，問其中至少有2件壽命大于1500小時的概率.

解：RX>1500}=卜f(x)dx=r1QQQ-dxJ

15001500X23

設(shè)任取5只，有y件壽命大于1500小時，則L8(5/)，所求概率為

P{Y>2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}

333243

25.設(shè)K?在(°,5)內(nèi)服從均勻分布，求x的方程4x2+4kx+K+2=0有實根的

概率.

解：K在(0,5)內(nèi)服從均勻分布，其密度函數(shù)

血2,0<x<5

f(X)=

其他

4x2+4kx+K+2=0有實根，

/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)20

即K4-1或K22,

故4x2+4kx+K+2=0有實根的概率

P[K<-1或K22}=卜f(x)dx+卜f(x)dx=J50.2dx=0.6

另解：K在(0,5)內(nèi)服從均勻分布，其分布函數(shù)

[0,x<0

F(x)=<0.2x,0<x<5

[1x>5

4x2+4kx+K+2=0有實根，

/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)Z0

即K4-1或K22,

故4x2+4kx+K+2=0有實根的概率

"{/<4-1或/<±2}=尸(-1)+[1-尸(2)]=0+[1-0.4]=0.6

33.設(shè)隨機變量的分布律為

10/

X-2-1013

P1/51/61/51/1511/30

試求y=X2的分布律.

解：作草表如下

X-2-1013

y=x241019

p.1/51/61/51/1511/30

Y=X2的分布律為

-6149

P1/57/301/511/30

/

35.設(shè)X~N(O,1)，⑴求y=ex的概率密度；(2)求y=2X2+l的概率密度

⑶求y=|x的概率密度

解X~N(O,1)，X的概率密度

[-2

1-00

(1)y=ex嚴(yán)格單調(diào)增加，有反,函數(shù)〃(y)=Iny,hr(y)=1一

y

所以丁ex的概率密度為

[f[h(y)]h'(y)ly>n[1

'=i—e2,0,

,/(y)=〈o,向y>

yI0,y<

[0,y<0,

⑵y=2X2+i的分布函數(shù)

F(y)=P{Y<y}=P{2X?4-14)，}，

當(dāng)時，F(xiàn)(y)=0J(y)=F'(y)=o,

yYy

當(dāng)y>1時,

Fyf邛

1

f(y)M'(y)=2力

yyV22J2y-2

11/

]

J2y-2

所以y=2X2+l的密度函數(shù)為

y>i

，ywi

⑶y=|x|的分布函數(shù)FY(y)=P[Y<y}=pix|<y},

當(dāng)好0時,FY(y)=0,fY(y)=F'Y(y)=0-,

當(dāng)y>0時，F(xiàn)(y)=P{-y<X<y}=2<P(y)~1

Y

2y2

f(y)=尸3=2"(y)=2f(y)=-j=e~2

Yy」2乃

所以Y=|X|的密度函數(shù)為

2-'2c

—e2,y>0

f()，)=〈71

Y

o,y<o

37.設(shè)x的密度函數(shù)為

[2x

?----0<X<7T,

/(X)小2f

[0，其他

求丫=sinX的概率密度.

解7=sinX的分布函數(shù)F丫(y)=尸{YMy}=尸{sinXMy}，

當(dāng)―0時,F(y]=O,f(y)=F'(y)=O,

YYy

當(dāng)y21時，F(xiàn)(y)=l,/(y)=FJy)=O,

當(dāng)0<y<1時

F(y)=P{0<X<arcsiny}+P{7-arcsiny<X<n}

Y

farcsinyXfx2X,

-Jor+Jax

2

0乃2x-arcsiny乃

2

=(arcsin,v.+1_(—arcsiny戶=arcsin丫

兀2萬2n

■丫zjl-y2

所以y=sinX的密度函數(shù)為

o<”l,

其他，

12/

或解y=sinx的分布函數(shù)

F(y)=P{Y<y}=P{sinX<y}>

當(dāng)y40時'F(y)=O,f(y)=F'(y)=0,

YYy

當(dāng)y21時，F(xiàn)=(y)=『(y)=O,

Yyv

當(dāng)0<y<1時

F(v)=1-P{sinX>j}=1-P{arcsiny<X<n-arcsiny}

Y

=1-[F(n-arcsiny)-F(arcsiny)]

XX

〃y)=F'(y)=-【F'("-arcsiny)-(--j---------F(arcsiny)-,]

1

?[f(Tt-arcsiny)+/(arcsiny)]

Ji72

112(K-arcsiny)^2arcsiny

712兀2

2

兀Jl-y2

所以y=sinX的密度函數(shù)為

i,2,

fY(y)=-yz

[0,其他，

補充2.設(shè)隨機變量*服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,

\x,若IxLl,

II

[-X,若lx>1,

求y的概率分布.

解X?N(OJ)，X的密度函數(shù)為

f(x)=1----e2,(-00<x<+co)’

J2乃

Y的分布函數(shù)為尸(y)=P{y“},

當(dāng)|y|>1時，

當(dāng)「海)=P{X2-y}=l-0(-y)=0(y),

IJ<1F(y)=P{-1MXMy}+P{X>1}

Y

所以y的分布函數(shù)為.(y)=0(y),Y的密度函數(shù)為

Y

f(，)="())=f(y)=t----e2,(-00<j<+00)

YJ2〃

即y~N(0,i)。

習(xí)題三

13/

3.設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為

f(6-x-y),Q<x<2,2<y<4

小)=1?！钙渌?/p>

⑴確定常數(shù)A;⑵求p{x<i,y<3}；⑶求P{X<15}；⑷；^P{x+r<4}-

解法一：

⑴1=f(x,y)dxdy=x-y)dy

—QO—0002

212

=kJ[6y-xy-,y2]卜公=女J(6-2x)dx

022°

}

=k[6x-x2]b=8k,k=,

08

⑵P(X<1,y<3}=f'dx\2f(x,y)dy

=1(6-x-y)dy=〔J'[6y-xy-1y2]3(Lc

o288022

1f1717x13

=—J(—-x)dx=—[——--x2]|1=—,

80282208

⑶P{X<1.5}=

,111.51

f'54J[6y-xy-

=Jdx(6-x-y)dyy2]卜山?

0288022

=1f15(6-2x)Jx=1[6x-x2]卜5=27,

8o8032

(4)p[x+r<4}=fff(x,y)dxdy

x+yM4

12

=J2公J4T(6-%-y)dy=\[6y-xy-1y2d1公

0288o22

1fO>?21y32

2

一J(6-4x+,~)dx=-[6x-2x+-~]2=",

80286。3

解法二:

⑴1=f，zff(x,y)dxdyJdyk(6-x-y)dx

20

4

=kj(10-2}>)</)>

2

=k[Wy-y2][4=8Z:,?,k=—

28

14/

(2)P{X<1,y<3}=f3dy[f[x,y)dx

-f3</yf1^(6-x-y)dx=1f3[6x-1x2yx]卜力

2088220

1P(11111v3

-y)dy[

82282At8

⑶尸{Xv1.5}=J15dxfxf(x,y)dy

-8-CO

41.511.41.

=fdy\(6-x-y)dx=J[6x-x2-yx]p^dy

208822°

=5(63_3y)力=1[6y_3T=27

8282884232

(4)p[x+y<4}=fff(x,y)dxdy

x+y<4

=f'-(6-x-y)6fr=1J4[6X--x2-yx]卜r

zo88220

1f412

=J(16-6y+)=[16-3+y3].=,

——dy-yy2l4-

2

822'8,'63

解法三：

(1)當(dāng)0<x<2,2<y<4時,

yKx

F(xty)dv[k(6-u-v)du=4[6〃J-M2-vw]\dv

0

2022

f112

=k]v[6x-x2-vx]dv=k[6xv-x2v-XV]卜

22222

11

=Z(6肛-⑶一肛2-10x+x2)

22

當(dāng)x22,”4時,F(x,y)=1,

尸(2,4)=F(2-0,4-0)得1=8k,；?*=

8

當(dāng)0cx<2,”4時，

F(x,y)=\xdu[^(6-u-v)dv=1J*[(6-M)V-":卜4〃

o288o22

71

=—J[6—2u]du=—(6x—x2)

808

當(dāng)x>2,2<y<4時，

15/

F(x,y)=J'"」？1.(6-u-v)du=Lj[6u--M2-VM]|2</V

208822°

=1J'[10-2v]dv=[10v-v2]y(10^-y2-16)

82828

當(dāng)x40或y42時，F(xiàn)(x,y)=0,

0,x<0或y?2

11

|——(12xy-x2y_xy2_20x+2x2),0<x<2,2<y<4

I161

F(x,y)=〈(6x-x2),0<x<2,y>4

I8

l(10y-y2-16),

x>2,2<y<4

8

I1，x>2,y>4

(2)P{X<1,y<3}=F(1,3)=2,

8

,、27

(3)P{x<1.5}=P{X<1.5,y<+00}=尸(15+8)=,

32

(4)P{X+y<4}=IJf(x,y)dxdy=\2dx\^~x1(6-x-y)dy

028

x+>?<4

=1f2[6v-xy--y^]\-'dx=lf2(6-4x+-)dx

8o228o2

1v3I2

=[6x-2x2+]2=，

8603

5.設(shè)隨機變量(x,y)的具有分布函數(shù)

11-ee-y-ex>0,y>0,

尸(x，y)=〈甘：

Io,其它，

求邊緣分布函數(shù).

解：(x,y)的緣分布函數(shù)為：

-e-x,Q

F(x)=F(x,+oo)=〈X>

X[0,其它，

「1-er,y>0

F(y)=F(a,y)=〈-'

'I0,其它，

16/

6.將以枚硬幣擲三次，以x表示前兩次中出現(xiàn)”的次數(shù)，以y表示三次中出

現(xiàn)H的次數(shù)，求（x,y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.

解：（X,Y）的聯(lián)合分布律為：

P（X=i,y=力=00.53,z=0,1,2,j=i,Z+1,

2

（X,Y）的邊緣分布律為

P{X=z}=C-0.52,/=0,1,2;

2

2{y=7)=c.53,7=0,1,2,3.

3

或解：(x,y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律

0123P.

1

01/81/8001/4

10